3.Критерії сумісності і визначеності си-ми лін. Р-нь.

Лінійною системою рівнянь назив. с-ма р-нь у якій всі р-ня лінійні відносно даних невідомих.Лін.с-ма р-нь має вигляд:

(S)

Розв’язком с-ми Sназив. упорядкований набір чисел (α_1,…α_n),який є розв’язком усих

р-нь с-ми,таким чином множина розв’язків с-ми є перетин множин розв’язків її рівнянь.Х_s=∩X_i (i=1,..,m).С-ма S назив. сумісною,якщо має розв’язки Х_s≠

і несумісною,якщо не має розв’язків Х_s=,означена,якщо має тільки один розв’язок

Card X_s=1,неозначена,якщо має >1 розв’язку Card X_s >1.

А=-основна матриця с-ми,вона має розмірm×n(m-рядків,n-стовпців). Ã=-розширена матриця с-ми.Мінор М_ij-це детермінант,який одержується з даного викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця.Нехай матриця А має розмір m×n.Виберемо довільно к-рядків і к-стовпців,к≤ mіn(m,n). Елементи,що стоять на перетині вибраних рядків і стовпців утворюють матрицю к-го порядку, детермінант якої назив.мінором к-го порядку для даної матриці М(і₁,і₂,…,і_к; j₁,…, j_к).

Вектор-впорядкований набір n дійсних чисел. а=(α₁,…α_n),а-вектор, α₁,…,α_n-його компоненти. S=(а₁,а₂,…а_n)єRⁿ, а₁=( α₁₁,α₁₂…α_1n)

……..а_m=( α_m1,α_m2…α_mn) ,b=(β₁,..β_m)

якщо b=λ₁а₁+λ₂а₂+…+λ_mа_m,то вектор b назив.лінійною комбінацією даних векторів, λ₁,λ₂,…,λ_m-коефіцієнти комбінації.

Система векторів назив.лін.залежною, якщо існують такі коефіцієнти λ₁,λ₂,…,λ_n, серед яких хочаб один не дор.0,при яких лін. комбінація заданої с-ми векторів=нуль вектору.

С-ма векторів назив. лін. незалежною,якщо лін. комбінація цих векторів= =Ō і тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти λ₁,λ₂,…,λ_n=0.Рангом не нульової с-ми назив. кількість векторів у будь-якому її базисі rang S. Лінійно незалежна с-ма твірних наз. базис або база даної с-ми Bas S.

Системою твірних с-ми векторів S назив. така підсистема Т через яку виражається вся с-ма. Рангом ненульової с-ми є максимальна к-сть незалежних векторів в ній. Критерій сумісності с-ми лінійних р-нь.С-ма S сумісна тоді і тільки тоді,коли ранг її основної матриці =рангу розширеної матриці._▲Необхідність.Нехай S-сумісна Х_s≠ для будь-яких (α₁,…,α_n) є Х_s, тоді α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n=

=b,де v₁=(а₁₁,…,а_m1),

v₂= (а₁₂,…,а_m2),…,v_n= =(а_1n,…,а_mn).rang A= =rang(v₁,v₂,…,v_n)= =rang(v₁,v₂,...,v_n,b)=rang Ã

(розширеної матриці).

Достатність.Нехай

rang A=rang Ã, rang(v₁,v₂,…,v_n)= =rang(v₁,v₂,...,v_n,b), значить b виражається через (v₁,v₂,…,v_n). Існує α₁,…,α_n є R: α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n=b

(α₁,…,α_n) є Х_vs=Х_s≠,

значить S-сумісна._▲

Наслідок.С-ма S несумісна тоді і тільки тоді,коли rang A< rang Ã.

Спільне значення rang A, rang à сумісної с-ми рів-нь наз.рангом с-ми.rang S.

Критерій означеності сумісної с-ми лін.рів-нь.

Сумісна с-ма лін.рів-нь означена тоді і тільки тоді,коли її ранг дорівнює кількості невідомих. rang=n._▲Необхідність.Нехай S-означена. Покажемо,що rang S=n.

Нехай(α₁,…,α_n)-єдиний розв’язок S,значить α₁v₁+α₂v₂+…+α_nv_n=b (1)

Припустимо супротивне:

rang S<n,значить rang S=

=rang A= rang(v₁,…,v_n)<n. v₁,…,v_n-лін.залеж. Існує λ₁,λ₂,…,λ_n є R:λ_і≠0 і

λ₁v₁+…+λ_nv_n=Θ (2).(1)+(2):(α₁+λ₁) v₁+… +(α_n+λn)v_n=b.Значить (α₁+λ₁,…, α_n+λn) є Х_s.

α_іо+α_іо≠α_іо це інший розв’язок.С-ма S має 2 різні розв’язки,вона неозначена; протирічча умові,значить rang S=n.

Достатність.Нехай rang S=n,покажемо,що S-означена. rang S=

=rang A= rang(v₁,…,v_n)=n.

v₁,…,v_n-лінійно незалежні.S-сумісна, значить b виражається через v₁,…,v_n.Оскільки v₁,…,v_n-незалежні,то це вираження однозначне, т.б.S-означена._▲Наслідок.

Сумісна с-ма неозначена тоді і тільки тоді,коли її ранг менше кількості невідомих.Приклад.

~~~

rang A=3, rang Ã=4.С-ма несумісна, розв’язків немає.