1.Групи, підгрупи. Приклади. Найпростіші властивості груп.

Алгебраїчна операція-це функція, що діє з декартового квадрату (АxА→А) в А(не порожня множина).АxА={(а,b),а є А, b є А}.

Внутрішня алгебраїчна операція завжди є необмежено виконана, однозначна та замкнена на мн.А. Результат дії операції прийнято позначати с=а f b або с=a*b.

Не порожня множина А, на якій задано хоча б одну алгебраїчну операцію, назив.алгебраїчною системою, та познач.: (А;*), де *-алгебраїчне позначення. Наприклад:групи, кільця, тіла..

Непорожня множина G на якій задана бінарна алгебраїчна операція(функція f, що діє з декартового добутку f:Р×А→А) назив.групою,якщо виконуються наступні умови:1) для будь-яких a,b є G, існує і єдиний елемент с є G:[с=a*b]-замкненість ;2)для будь-яких a,b,с є G:[а*(b*с)=(а*b)*с]-асоціативність;3)для будь-якого a є G існує e є G: [а*e=e*а=а]-існування нейтрального;

4) для будь-якого a є G існує х є G:[а*х=х*а=e]-існування симетричного.

Якщо крім цього виконується аксіома 5) для будь-яких a,b є G:[а*b=b*а],то група назив. комутативною або абелевою.

Групи, у яких «*» означає множення назив. мультиплікативною, а в яких «*» позначено додавання – адитивною.

Приклади:Адетивні гр. (Z;+),(Q;+),(R;+),(C;+).

Мультиплікативні абелеві гр. (Q\_{0};*), ( R\_{0};·), (С\_{0};*). Загальна лінійна гр.(GLn(R);·) в якій GLn(R)-множина не вироджених матриць n-го порядку над полем R; Р(х)-(поліном), М_m,n-(матриці) -групи. М_n – не група, особливі матриці обернених не мають, С[а,b] – не група,бо не всі функції мають обернені.

Найпростіші властивості груп:

1)Нейтральний елемент визначений в групі однозначно._▲Нехай е₁ і е₂ – нейтральні елементи.Покажемо, що е₁=е₂.Тоді для будь-якого а є G:а_*е₁ = =е_1*а=а; а_*е₂ = =е_2*а=а.Тоді е₂ = е_1* е₂= е_1▲

2)Кожний елемент групи має єдиний симетричний._▲Припустимо,що існує а є G:

а_*х₁=е і а_*х₂=е,(х₁ та х₂ – його симетричні).

х₁=х_1*е= х_1*(а_*х₂)=( х_1*а)_*х₂=е_*х₂=х₂

х₁=х_2▲

3) Для будь-якого а є G обернений а^-1 тільки один._▲Нехай u і v-довільні обернені для а: аu=uа=е і аv=vа=е. u=uе=u(аv)=(uа)v=

=еv= v u = v_▲

4) е^-1=е._▲Дійсно, е_*е=е е^-1=е _▲

5)(а^-1)^-1=а. _▲Дійсно а^-1_*а=а_*а^-1=е

(а^-1)^-1=а_▲

6)(аb)^-1= b^-1а^-1._▲Дійсно,

(аb)( b^-1а^-1)=а(bb^-1)а^-1=аеа^-1=аа^-1=

=е. Аналогічно ( b^-1а^-1)(аb)=е, значить(аb)^-1= b^-1а^-1_▲

Не порожня підмножина Н групи G називається підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно операції визначеної на G.(Познач. Н≤ G) Напр.(Q\_{0}; ٠)≤(R\_{0};٠)≤ ≤(С\_{0};٠), (2Ζ;+)≤(Ζ;+)? (SLn;٠)≤ (СLn;٠). Підгрупами будь-якої групи є одинична підгрупа Е і сама ця група. Критерій підгрупи:Не порожня підмножина Н мультиплікативної групи G є її підгрупою тоді і тільки тоді,коли Н замкнена відносно«_*»елементів та взяття обернених елементів,т.б. Н містить добутки всіх своїх елементів і містить обернені до всіх своїх елементів._▲Необхідність. Нехай Н< G,покажемо виконання умов:

Н₁: для будь-яких а, b є Н [аb є Н]

[а+b є Н]; Н₂: для будь-якого а є Н

[а^-1є Н] [-а є Н].Тоді Н сама є групою і за означенням групи

аb є Н(замкненість операції над Н),а^-1 є Н(існування обернених

е-тів). Достатність.Якщо Н містить добутки своїх елементів і обернених до них, то виконуються аксіоми (1,4) групи.Асоціативність множення елементів у Н випливає із асоціативності множення у G. Якщо х є Н, то х^-1є Н і х_*х^-1=е=1 є Н. Отже, Н є групою._▲

Наслідок.Н є підгрупою G, коли виконується умова:для будь-яких х,у є Н [ху^-1 є Н].

Другий критерій підгрупи.

Н є G , Н≠0 є підгрупа G, коли виконана умова Н₁^/:для будь-яких х,у є Н [ху^-1 є Н] [х-у є Н]._▲Покажемо,що Н₁Н₂ – Н₁^/

1)Нехай є Н₁Н₂ для будь-якого у є Н у^-1 є Н - (Н₂); для будь-яких х, у є Нху^-1 є Н – (Н₁). Н₁^/ - виконана. 2) Нехай виконана Н₁^/. Покладемо в Н₁^/ що х=а, у=b^-1,тоді у^-1=1, ху^-1=аb є Н. Покладемо х=е, у=а. ху^-1=еа^-1=а^-1 є Н Н₁ і Н₂ виконано_▲.

Т-ма: перетин довільної кількості підгруп G теж є підгрупа групи G. _▲Нехай х,у-довільні елементи Н=∩Н_і,і є І. Тоді х,у є Н_і.Оскільки

кожна Н_і – підгрупа групи G,то за наслідком з критерія ху^-1 є Н_і,і є І.

Отже, х,у^-1 є ∩Н_і=Н,і є І._▲

Т-ма:будь-яка підгрупа абелевої групи є абелевою

_▲Оскільки комутативність множення виконується для

всієї групи, то вона буде виконуватись для всих її підмножин._▲