4.Векторні простори над полем.Приклади.Лінійна залежність векторів. Базис і ранг с-ми векторів.

Не порожня множина L з заданими на ній операціями «+»е-тів та множення їх на число з поля Р назив.векторним (лінійним)простором над полем Р,якщо виконуються аксіоми:

1.замкненість«+»е-тів з L

х,у є L ! z є L:[z=х+у]

2.замкненість множення е-тів з L на число з поляР

х є Lα є Р! z є L:

[z=αх].3.асоціативність «+»:х,у,z є L: [(х+у)+z=х+(у+z)].

4.комутативність «+»:

х,у є L:[х+у=у+х]. 5.існування нульового е-та:х є LΘ є L: [х+Θ=Θ+х=х]6.існування протилежного е-тахє Lє L:[х+=Θ]7.хє L

1 є Р:[1·х=х];8.х є L

α,β є Р [α(βх)=(αβ)х]-зовнішня асоціативніст множення;9.х є Lα,β є Р [(α+β)х=αх+βх]-дистрибутивність множ. вектора на суму скалярів;

10.х,у є Lα є Р [α(х+у)=αх+αу].(L,+,Р)-лінійний простір над полем Р.Е-ти простору L назив.векторами.Якщо Р=R,то L-дійсний лін. простір,якщо Р=С,то L-

комплексний лін.простір.

Прикл.Rⁿ,(R,+,R),(С,+,С),(Q,+,Q),(С,+,R),(Р_[х],+,Р), (Мn(R),+,R).

Властивості ЛП.

1)лін.прост.має єдиний нульовий Θ._▲Нехай Θ₁ є L, Θ₁-нульов.вектор.Тоді Θ+ +Θ₁=Θ₁.З іншого боку Θ+ +Θ₁=ΘΘ₁=Θ_▲

2)вектор простору L має єдиний протилежний

_▲Нехай для х є Lх₁ і х₂ є L:х+х₁=Θ і х+х₂=Θ. Віднімемо: х₁-х₂=Θ х₁=х_2▲

3)α є Р: α·Θ=Θ.

_▲α·а=α(а+Θ)=αа+αΘ αа=αа+αΘ; αΘ=Θ._▲

4) α≠Θх≠Θ αх≠Θ

_▲Нехай αх=Θ і α≠Θ,х≠Θ. Так як α є Р,α≠0,то . Помножимо першу рівність на:αх=Θх=Θ(3а 3))

що суперечить умові_▲

5)х є L і 0 є Р:0·х=Θ_▲

Θх=0х-Θ 0х=Θх+Θ= =0х+(х-х)=0х+х-х = =(0+1)х-х=Θ_▲

6)Якщо α≠β і х≠Θ,то αх≠βх_▲

Припустимо що αх=βх за умови,що α≠β і х≠Θ. Розглянемо різницю лівої і правої частин: αх-βх=Θ.

(α-β)х=Θ(α-β)=0 або х=Θ.α=β, а це суперечить умові_▲С-ма векторів а₁,а₂,…а_m простору L назив.лінійнонезадежною,якщо їх лінійна комбінація дор. нуль вектору,лише за умови, що всі λ_і =0.

λ₁а₁+λ₂а₂+…+λ_mа_m=Θ,

λ_і =0.С-ма векторів а₁,а₂,…а_m простору L назив.лінійнозалежною, якщо її комбінація є нуль вектором при умові,що хочаб 1 з λ_і ≠0,т.б.λ_і ≠0:

λ₁а₁+λ₂а₂+…+λ_mа_m=Θ. Властивості:1.С-ма векторів ЛЗ,коли хочаб 1 з її векторів лінійно виражається через інші.2.Якщо с-ма має нуль вектор,то вона ЛЗ.3.С-ма,що має 2 колінеарні вектори- ЛЗ. 4.Якщо підсистема с-ми векторів ЛЗ,то і вся с0ма ЛЗ.5.Якщо с-ма ЛНЗ,то іїї підсистема також ЛНЗ.6.Нехай задано 2 с-ми векторів:S=

={ а₁,а₂,..а_m} і Т={b₁,b₂,..,b_k},причому m>k. Якщо всі вектори

с-ми S лінійно виражаються через вектори с-ми Т,то с-ма S- ЛЗ.n-вимірним векторним простором назив.простір L у якому існує с-ма з n ЛНЗвекторів,а с-ма векторів цього простору, що містить > n векторів є ЛЗ.При цьому Lназив. скінченно вимірним простором і познач. L_n (Lⁿ),а число n-його розмірністю і познач.n=dim L_n. Приклади:(С,+,R)-дійсний простір комплексних чисел; множина многочленів від 1-ї змінної з дійсними коефіцієнтами степеня < або = n утворює дійсний лін.простір розмірності (n+1);Р[х] над Р; Р(х) над Р; М_n(Р) над Р; Д³. Рангом ненульової с-ми є максимальна к-сть незалежних векторів в ній. Базисом простору L назив. ЛНЗ с-ма векторів цього простору, через які лінійно вираж. кожен вектор цього простору. {е₁,е₂,…е_n}-

Bas L_n {е₁,е₂,…е_n}-ЛНЗ с-ма і х є L х= α₁е₁+…+α_nе_n.Коефіц. α₁,…,α_n у цьому розкладі назив. координатами вектора х у цьому базисі.

Т-ма. Довільний вектор простору виражається через базисні однозначно._▲Нехай 2 розклади вектору:

х= α₁е₁+α₂е₂+…+α_nе_n і

х= β₁е₁+β₂е₂+…+β_nе_n. Віднімемо: (α₁-β₁)е₁+(α₂-

-β₂)е₂+…+(α_n-β_n)е_n=Θ. Оскільки{е₁,е₂,…е_n}-ЛНЗ с-ма,то остання рівність виконується лише за умови α₁-β₁=0, α₂-β₂=0, …, α_n-β_n=0 або α₁=β₁, α₂=β₂, …, α_n=β_n.Т.б. розклад вектора через базис-однозначний._▲

Т-ма:Лінійний простір L є n-вимірним коли він має базис з n векторів._▲ Необхідність.Нехай L-n-вимірний векторний простір.Тоді він містить n-ЛНЗ векторів: а₁,а₂,…а_n. Причому вектор х є L,с-ма

{х,а₁,а₂,…а_n}- ЛЗ.

Це означає,що існує не нульова лінійна комбінація цих векторів, що рівна Θ. λх+λ₁а₁+…+λ_nа_n=Θ (1).

Доведемо,що λ≠0. Припустимо супротивне: λ=0,тоді λ₁а₁+…+λ_nа_n=Θ і так як вектори а₁,а₂,…а_n-ЛНЗ,то λ_і=0 і=1,..,n. Таким чином с-ма {х,а₁,а₂,…а_n}-ЛНЗ,що суперечить умові. Отже λ≠0.Перенесемо у рівності (1) всі доданки починаючи з другого вправо, та поділимо обидві частини на λ:

т.б. вектор х розкладається через а₁,а₂,…а_n.Отже {а₁,а₂,…а_n}-Bas L.

Достатня. Нехай простір L містить базис {а₁,а₂,…а_n}.Покажемо що L- n-вимірний.Так як базисні вектори ЛНЗ і кожен вектор х є L лінійно вираж. через базис, то с-ма {х,а₁,а₂,…а_n}-ЛЗ і за означенням L-n-вимірна._▲ Наслідок1.

В n-вимірному просторі будь-яка с-ма, що складається з лін. не залеж. Векторів – є базисом._▲Нехай простір L n-вимірний і {а₁,а₂,…а_n}- с-ма ЛНЗ векторів.Покажемо,що ця с-ма є базисом.За означ. N-вимірного простору. Для вектора х є L с-ма

{х,а₁,а₂,…а_n}-ЛЗ і за т-мою х=λ₁а₁+…+λ_nа_n,т.б.

Кожен вектор простору лінійно виражається через вказану с-му векторів,а значить вона є базисом._▲Наслідок2.

Будь-які 2 базиси n-вимірного простору містять однакову кількість векторів.

Т-ма:Будь-яку ЛНЗ с-му векторів n-вимірного простору можна доповнити до базису цього простору._▲Нехай {а₁,а₂,…а_m}-ЛНЗ с-ма простору L_n.1.Якщо m=n, то ця с-ма і є базисом L_n.

2.Нехай m<n.За означ.n-вимірного простору, знайдеться вектор а_m+1 {а₁,а₂,…а_m, а_m+1 }-ЛНЗ с-ма.m+1=n,то остання с-ма є базисом L_n.В іншому випадку процес можна продовжити далі. Через скінчену кількість кроків одержимо с-му ЛНЗ векторів, яка і є базисом._▲