Томашпольский+В.Я.Числовые+ряды

УДК 517.5.52

ББК 22.16

Т 56

Рецензент К.В. Титов

Т 56

Томашпольский В.Я., Шевченко М.Н., Янов И.О.

Числовые ряды: Методические указания к выполнению ти-

пового расчета. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. –

36

с.: ил.

Даны краткие теоретические сведения, примеры, задачи для

самостоятельной работы и условия типового расчета по теме

«Числовые ряды».

Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана всех спе-

циальностей.

Табл. 1. Библиогр. 4 назв.

ББК 22.16

УДК 517.5.52

Ряд как сумма с бесконечным количеством слагаемых является

важнейшим средством изучения функций и приближенного вычи-

сления значений этих функций. Простейшие примеры рядов встре-

чаются уже в элементарной математике —

это, например, бесконеч-

∞

a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑ an,

где a1, a2

n=1

, a3, . . . , an, . . . —

числовая последовательность.

об-

Слагаемые a1,

a2

, a3

, . . . называются членами ряда, а an —

щим членом ряда. При этом нумерация членов ряда может начинать-

ся не обязательно с единицы,

а с любого целого числа. Например,

для ряда

1

3

5

2n −1

∞

2n −1

+

+

+ ... +

+ ... = ∑

3 5 7

2n + 1

n=1

2n + 1

числа

1

,

3

,

5

—

члены ряда, an =

2n −1

—

общий член ряда.

Обозначим

7

2n + 1

3

5

S1 = a1,

S2 = a1 + a2,

S3 = a1 + a2 + a3,

............

Величины S1,

Sn = a1 + a2 + a3

+ ... + an.

S2,

S3,

... называются частичными сумма-

ми. Сумма первых n

слагаемых называется n-й частичной суммой

ряда и обозначается

Sn.

4

Определение. Ряд ∑ an называется сходящимся,

если суще-

∞

ствует конечный предел последовательности частичных сумм

n=1

lim Sn = S.

n→∞

Число S называется суммой ряда.

Если же для данного ряда такой предел не существует или он

бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Понятия сходимости и расходимости ряда можно проиллю-

стрировать рядом, составленным из членов бесконечной геометри-

ческой прогрессии со знаменателем q и первым членом b (b 6= 0):

∞

∑ bqn−1 = b + bq + bq2 + ... + bqn−1 + ...

n=1

Если q = 1, то ряд получает вид b + b + b + ..., a n-я частичная

сумма —

вид

Sn = b + b + b + ... + b = nb.

Поскольку предел последовательности частичных сумм lim nb бес-

конечен, то ряд расходится.

n→∞

Если же q 6= 1, то n-я частичная сумма

b −bqn

Sn = b + bq + bq2 + ... + bqn−1 =

.

Тогда при |q | < 1 существует предел

1 −q

lim

Sn = lim

b −bqn

=

b

.

n→∞

n→∞ 1 −q

1 −q

b

Значит, при |q | < 1 ряд сходится и имеет сумму S =

. При

1 −q

|q | > 1

конечного предела Sn не существует, т. е. ряд является рас-

ходящимся. Если же q = −1 , то ряд выглядит как

b, 0, b, 0, b, ... ,

которая не имеет предела и является расходящейся. Значит, и ряд

при q = −1

будет расходиться.

Итак, ряд,

составленный из членов бесконечной геометриче-

ской прогрессии

∑ bqn−1,

∞

n=1

при | q | < 1 сходится,

при

| q | ≥ 1

расходится.

Критерий Коши сходимости числового ряда

Для того чтобы ряд

∑ an сходился, необходимо и достаточно,

∞

чтобы для любого ε > 0 существовал номер N = N (ε) такой, что для

n=1

всех натуральных n ≥ N и p выполнялось неравенство

|

|

−

|

k

n

+

1

|

=

n+p

Sn+p

Sn

=

∑ ak

= an+1 + an+2 + ... + an+p < ε.

-

Докажем с помощью

критерия

Коши расходимость так называ

емого гармонического ряда

∞

1

1

1

1

∑

= 1 +

+

+ ... +

+ ...

n=1 n

2

3

n

Доказательство. Пусть p = n,

тогда n + p = 2n. Поскольку ча-

стичная сумма с номером

2n

равна

S2n = 1 +

2

+

3

+ ... +

2n и n-я

1

1

1

частичная сумма равна Sn

= 1 +

2

+

3

+ ... + n , то их разность

1

1

1

S2n −Sn =

1

+

1

+ ... +

1

.

n + 1

n + 2

2n

2n , получим

Заменив каждое слагаемое меньшей величиной

1

S2n −Sn >

1

1

1

1

n

1

+

+ ... +

=

=

.

2n

2n

2n

2n

2

6

Утверждение 1. Отбрасывание, добавление или изменение ко-

нечного числа членов не влияет на сходимость ряда (но влияет на

его сумму).

Утверждение 2. Умножение каждого члена ряда на const k 6= 0

не влияет на сходимость ряда. В случае сходимости сумма нового

ряда равна kS, где S —

сумма исходного ряда.

Утверждение 3.

Если почленно сложить или вычесть соответ-

ствующие члены сходящихся рядов, то получится сходящийся ряд.

Утверждение 4.

Если почленно сложить или вычесть соответ-

ствующие члены сходящегося и расходящегося рядов, то получен-

ный ряд расходится.

Необходимый признак сходимости ряда

Теорема 1. Если ряд ∑ an сходится, то модуль общего чле-

∞

на |an| стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

n=1

n ∞ |

n| =

Следовательно последнее условие есть необходимое

условие сходимости ряда.

,

lim a

0.

→

Заметим,

что это условие не является достаточным, т. е. из

стремления к нулю общего члена ряда нельзя сделать вывод, что

ряд сходится. Например, для гармонического ряда ∑ 1 необхо-

∞

димое условие выполнено: lim

n=1

n

1

= 0, но ряд, как было показано

выше,

расходится. Практически необходимый признак сходимости

n→∞ n

удобно использовать как достаточный признак расходимости, т. е.

если n→∞

|

a

n| 6=

0,

то ряд расходится

.

lim

Решение. Вычислим предел

lim

lim

n2

+ n + 1

1

0.

2

+ 10n2

=

10 6=

n

∞ |an| = n

∞

Следовательно, ряд расходится.

∞

→

→

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∑ cos

√n + 1 .

5

Решение. Вычислим предел

n=1

n→∞

|

n| = n→∞

5

=

=

6=

√n + 1

lim

a

lim cos

cos 0

1

0.

Следовательно, ряд расходится.

∞

2 .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд ∑ sin

Решение. Вычислим предел

πn

n=1

,

|

n| = n→∞

,

2

.

n→∞

.

lim

a

lim

sin

πn

Предела не существует следовательно

ряд расходится

Теорема 2. Признак сравнения. Пусть ∑ an и ∑ bn — два зна-

∞

∞

сходится и ряд ∑ an; если ряд

∑ an расходится, то расходится и

∞

∞

ряд

∑ bn.

n=1

n=1

∞

Этот признак позволяет сделать вывод о сходимости ряда путем

n=1

сравнения его с другим, «эталонным» рядом, сходимость которого

известна.

Кратко его можно записать следующим образом:

0 ≤ an ≤ bn,

∞

∞

∑ an сходится

∑ bn сходится;

n=1

n=1

∞

∞

∑ an расходится

∑ bn расходится.

n=1

n=1

Ряд Дирихле

«Эталонные» ряды

(обобщенный гармонический)

∞

1

∑

n=1 np

сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.

Ряд из членов геометрической прогрессии

∞

∑ bqn−1

сходится при |q|

n=1

< 1 и расходится при |q| ≥ 1.

∞

.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

∑ 2

1

n=1 n

+ 5

Решение. Выбираем для сравнения ряд Дирихле ∑ 12 , который

∞

сходится, так как p = 2.

n=1 n

Поскольку

1

<

1

, то исходный ряд сходится.

n

2

2

+ 5

n

9