Томашпольский+В.Я.Числовые+ряды

Пример

Исследовать на сходимость ряд

n=1

3n

∞

n

n

22.

∑

(−1)

2

=

−

3

n=1

∞

2

n

= ∑

.

Решение. Ряд знакочередующийся. Ряд из модулей сходится как

геометрическая прогрессия со знаменателем

q =

3

< 1.

Поэтому

исходный ряд сходится абсолютно.

2

2

−

2

+

Пример

23.

Исследовать на сходимость ряд 1 − 1 +

1

1

1

1

1

1

+

−

+

−

+ ...

3

3

4

4

Решение. Ряд знакочередующийся и сходится, так как четная ча-

стичная сумма S2n = 0, а общий член ряда an → 0 при n → ∞. Поэто-

му Sn

→ 0

и сумма ряда S = 0.

Ряд из модулей представляет собой

удвоенный гармонический ряд и поэтому расходится. Окончатель-

но исходный ряд сходится условно.

Разделение сходимости на абсолютную и условную оправдано

свойствами этих рядов.

Свойства знакопеременных рядов

1. При перестановке членов абсолютно сходящегося ряда его

сумма не меняется.

2.

С помощью перестановки членов условно сходящегося ряда

его сумму можно сделать равной любому числу или бесконечности

(имеются в виду бесконечные перестановки).

который сходился к

Пример

24.

Возьмем ряд из примера 23,

нулевой сумме,

и представим его члены так,

чтобы после одного

положительного члена следовало два отрицательных:

8 + ...

1 −1 − 2 + 2 −

3 −

4 + 3 −

5 −

6 + 4

− 7 −

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Покажем, что сумма нового ряда изменилась. Все выражения в

круглых скобках меньше нуля, поэтому сумма ряда, если она суще-

ствует,

также меньше нуля и отлична от нулевой суммы ряда при-

мера 3.

Если сумма ряда не существует,

то она тем более отлична от

нулевой.

Исследование на сходимость знакопеременного ряда удобно на-

чинать с ряда из модулей. Так как последний является знакополо-

жительным рядом, то можно пользоваться всеми вышеуказанными

признаками.

Далее используем теорему

7 или одну из нижеследую-

щих теорем.

Исследовать на сходимость ряд

∑

2

.

Пример

25.

∞

cos n2

Решение. Ряд знакопеременный. Запишем общий

ряда из

член

модулей и применим признаки сравнения:

n=1

2n −

1

|an| =

2n2

1

≤

при n → ∞.

∞

1

−

−

1

∞

1

cos n2

1

Ряд

∑

сходится как ряд Дирихле с p = 2 > 1 . Ряд ∑

2

2

n=1 n

2

n=1

2n

также сходится, так как коэффициент

не влияет на сходимость.

1

Ряд

∑

2

сходится по предельному признаку сравнения.

∞

1

Ряд из

, члены которого меньше членов сходящегося ря-

модулей

n=1

2n −1

да, также сходится по признаку сравнения, поэтому по теореме 6

исходный ряд сходится абсолютно.

∑

sin n .

Пример

26.

Исследовать на сходимость ряд

∞

Решение. Ряд знакопеременный. Имеем

n=1

shn

|

|

≤ shn

en при

→

shn

en

e

n

an

=

|sin n|

1

=

2

2

n

∞.

−

−

∞

2

Ряд

∑

сходится как ряд, составленный из членов бесконечно

n

n=1 e

убывающей геометрической прогрессии с q =

1

< 1.

Ряд

∑

1

e

также сходится по предельному признаку сравне-

∞

ния. Ряд из модулей сходится по признаку сравнения, и по теореме

n=1

shn

6 исходный ряд сходится абсолютно.

21

Замечание. Если ряд из модулей расходится по признаку Далам-

бера или радикальному признаку Коши, или при невыполнении не-

обходимого условия сходимости, то исходный ряд тоже расходится

(во всех трех случаях не выполняется необходимое условие сходи-

мости).

Исследовать на сходимость ряд n=1

−

n

Пример

∞

1

27.

∑ (

1)n cos

.

Решение.

Ряд знакочередующийся. Имеем

n→∞ |

n| = n→∞

n

=

6=

lim

a

lim cos

1

1

0.

Необходимое условие не выполнено, следовательно, исходный

ряд расходится.

Исследовать на сходимость ряд n=1

(n!)2

Пример

∞

n

28.

∑

(−1) (2n)!

.

Решение.

Ряд знакочередующийся. Общий член ряда из модулей

|an| = (n !)2 .

Применим признак Даламбера:

(2n)!

lim

|an+1|

= lim

(2n + 2)! (n!)2

=

n→∞ |an|

n→∞ ((n + 1)!)2 (2n)!

= lim

(2n + 2)(2n + 1)(2n)! (n!)2

= lim

2 (2n + 1)

= 4 > 1.

(n + 1)2 (n!)2 (2n)!

n + 1

n→∞

n→∞

Ряд из модулей расходится по признаку Даламбера, следова-

тельно, исходный ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости

знакопеременных рядов

Теорема 8. Признак Лейбница. Если ряд

∑ an удовлетворяет

∞

трем условиям:

n=1

1)

ряд знакочередующийся;

2)

последовательность |an| монотонно убывает;

22

то ряд сходится.

0,

lim

|

a

n

| =

3) n

→

∞

Применение этого признака следует начинать с проверки по-

следнего условия, так как если оно не выполняется, то не выполня-

ется необходимое условие сходимости и исходный ряд расходится.

При выполнении всех условий признака Лейбница и расходимости

ряда из модулей исходный ряд сходится условно.

√3 ln n

Пример

Исследовать на сходимость ряд n=2

∞

n

29.

∑

(−1)

.

Решение.

Ряд знакочередующийся. Имеем

|an| =

√3

1

1

, n ≥ 2.

> √3

Ряд n=2

√3

ln n

n

Ряд из мо

n расходится как ряд Дирихле с

3

∞

1

1

∑

,

p =

< 1.

-

дулей также расходится по признаку сравнения. Общий член ряда

стремится к нулю при n → ∞,

монотонно убывая, так как знамена-

тель общего члена монотонно возрастает. Все три условия признака

Лейбница выполняются, поэтому исходный ряд сходится, а так как

ряд из модулей расходится, то, окончательно,

исходный ряд сходит-

ся условно.

Исследовать на сходимость ряд

∞

Пример 30.

(−1)

n

.

∑

p

Решение.

Ряд знакочередующийся. Имеем

n=2

(n2 + 1)ln

(n + 1)

|an| = p(n2 + 1)ln (n + 1)

√n2 ln n = n√ln n при n → ∞.

1

1

1

Функция x√ln x непрерывная и монотонно убывает для x ≥ 2. При-

1

меним

интегральный признак Коши:

∞

∞

Z

x√

= Z

√

= b→+∞

2 =

ln x

ln x

2

2

d ln x

lim

b

∞.

dx

2√ln x

23

Интеграл расходится следовательно ряд n=2 n√ln n расходится

∞

1

,

,

∑

,

и по предельному признаку сравнения ряд из модулей тоже расхо-

дится. Исходный ряд знакочередующийся. Общий член ряда из мо-

дулей монотонно убывает и стремится к нулю при n → ∞,

так как

знаменатель последовательности |an| неограниченно и монотонно

возрастает.

По признаку Лейбница исходный ряд сходится и,

с уче-

том расходимости ряда из модулей,

сходится условно.

В примерах

29

и 30 монотонность последовательности |an| оче-

видна. Рассмотрим примеры, в которых монотонность не очевидна.

Пример

Исследовать на сходимость ряд n=1

√n

∞

n

31.

∑

(−1)

ln n

.

Решение.

Ряд знакочередующийся. Имеем

|an|

ln n

1

, n ≥ 3.

= √

> √

Ряд n=1

n

n

2

Ряд из моду

√n расходится как ряд Дирихле с

∞

1

1

∑

p =

< 1.

-

лей расходится по признаку сравнения. Общий член ряда стремится

к нулю при n

→ ∞, так как ln n

возрастает медленнее, чем √n. Для

доказательства монотонности последовательности |an|

рассмотрим

функцию f (x) = √x

. Ее производная

ln x

1

√

1

ln x

x

−

при

x

x

2x√x

f 0 (x) =

2√x

=

2 −ln x

< 0

x

> e2.

Отсюда следует, что функция f (x) монотонно убывает на интер-

e2, ∞

.

Значит

последовательность

f (n) = ln

n

=

an

также

вале

n

> 8.

√n

|

|

-

монотонно убывает для всех

По признаку Лейбница исход

ный ряд сходится.

Окончательно, ряд сходится условно.

Пример

32.

Исследовать на сходимость ряд

∞

√n

∑

( 1)n+1 arctg

.

n=1

Решение.

Ряд знакочередующийся. Выражение под знаком арк-

−

2 + n√n