Тема 2

Электромагнитные волны в направляющих системах

1. Волновые уравнения для направляемых волн.

Рассмотрим произвольную бесконечно протяженную однородную направляющую систему, ориентированную вдоль оси . Будем считать, что направляющая система не вносит потерь.

В области, где отсутствуют сторонние источники, комплексные амплитуды векторов и, соответствующие волне, бегущей вдоль однородной линии передачи, могут быть представлены в виде

(1)

где (коэффициент фазы), и - координаты, изменяющиеся в поперечном сечении рассматриваемой линии передачи. Выбор конкретной системы координат зависит от формы поперечного сечения линии. Множитель соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси , а множитель - волне, бегущей в обратном направлении. Для определенности будем считать, что волна распространяется в положительном направлении оси Z.

Векторы и должны удовлетворять однородным уравнениям Гельмгольца (. С учетом формул (1) эти уравнения при имогут быть переписаны в виде

(2)

где

(3)

а оператор . Величинуназываютпоперечным волновым числом.

Покажем, что в тех случаях, когда векторы и (оба или один из них) имеют продольные составляющие, нахождение поля направляемой волны может быть сведено к определению составляющих и , так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные. Проецируя уравнения Максвелла на оси и декартовой системы координат и учитывая, что в рассматриваемом случае дифференцирование по переменной эквивалентно умножению на , получаем

(4)

Система уравнений (4) позволяет выразить составляющие ,, и через

и . После элементарных преобразований имеем

(5)

Система уравнений (5) связывает поперечные и продольные составляющие векторов поля в декартовой системе координат. Для выражения этой связи в произвольной системе координат перейдем к векторной форме уравнений (5). Введем векторы

(6)

, (7)

связанные с исоотношениеми.Подставляя а (6) вместо иих выражения из (5), приходим к равенству

,

которое может быть переписано в виде

, (8)

где оператор .

Аналогично доказывается равенство

(9)

Продольные составляющие иудовлетворяют уравнениям

(10)

вытекающим из (2).

Таким образом, для определения поля и гибридных волн достаточно найти составляющиеипутем решения уравнений (10) с учетом краевых условий, соответствующих рассматриваемой направляющей системе, а для вычисления поперечных составляющих использовать равенства (5) или (8) и (9).

У ТЕМ-волн продольные составляющие векторов и отсутствуют (и ).

2. Общие свойства и параметры электрических, магнитных и гибридных волн

В случае электрических (и ), магнитных (,) и гибридных () волн постоянная отлична от нуля. Это следует, в частности, из равенств (8) и (9). Для каждой конкретной линии передачи она может быть определена в результате решения уравнений (10) и учета краевых условий, соответствующих этой линии. Постоянная зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от типа распространяющейся волны, но не зависит от частоты.

Выражая коэффициент фазы р из (3), получаем

(11)

Так как , то в зависимости от частоты подкоренное выражение в (11) может быть положительным (при ), равным нулю (при .) или отрицательным (при ).

В первом случае параметр - действительное число и фазы составляющих векторов поля в фиксированный момент линейно зависят от координаты , что является признаком распространения волны вдоль оси с постоянной скоростью . Как будет видно из дальнейшего, распространение волны в этом случае сопровождается переносом энергии вдоль оси .

В третьем случае . Подкоренное выражение в (11) оказывается отрицательным, и . Знак в правой части последнего равенства выбран из физических соображений: при этом множитель и амплитуды составляющих векторов и экспоненциально убывают вдоль оси . Если принять , то амплитуды векторов поля будут возрастать с удалением от источников, что в рассматриваемой задаче физически невозможно. Фазы составляющих векторов поля в данном случае не зависят от координат: поле имеет характер стоячей волны и экспоненциально уменьшается вдоль оси . Переноса энергии вдоль линии передачи в этом случае не происходит. Подчеркнем, что экспоненциальное убывание поля вдоль линии передачи не связано с потерями энергии: рассматривается идеальная направляющая система, в которой потери отсутствуют.

Во втором случае параметр . Такой режим называют критическим. Частота , определяемая из условия , называется критической частотой:

(12)

Соответствующая этой частоте критическая длина волны

(13)

Выражая из (13) и подставляя в (11), получаем

(14)

Как видно, параметр β является действительной величиной, т.е. поле (1) представляет собой распространяющуюся волну, только при выполнении условия

(15)

Неравенство (15) можно переписать в виде

(16)

Таким образом, , и гибридные волны в идеальной линии передачи могут распространяться только на частотах, превышающих некоторую критическую частоту, определяемую формулой (12). Отметим, что значение зависит от формы и размеров поперечного сечения линии и типа волны.

Неравенство (15), а также (16) называют условием распространения волны в линии передачи.

По аналогии с обычным определением назовем длиной направляемой волны , распространяющейся в линии передачи, расстояние между двумя поперечными сечениями, в которых в один и тот же момент времени фазы составляющих вектора (или ) отличаются на . Очевидно также, что длина волны равна расстоянию, на которое поверхность равной фазы перемещается за период. Так как зависимость всех составляющих векторов поля от координаты определяется множителем , то

(17)

а фазовая скорость вычисляется по формуле

(18)

К

Рис.2

ак видно, придлина волны в линии и фазовая скоростьи гибридных волн больше соответственно длиныволны и фазовой скорости волны, свободно распространяющейся в безграничной однородной среде без потерь с параметрами и . Отметим, что у и гибридных волн фазовая скорость зависит от частоты. Это явление называют дисперсией волн. При фазовая скорость равна бесконечности, при увеличении частоты приближается к скорости света (рис.2).

Общие выражения для критической длины волны (13), критической частоты (12), коэффициента фазы (14), длины волны в линии (17) и фазовой скорости (18) одинаковы для и гибридных волн. Однако из этого не следует, что значения перечисленных параметров будут одинаковыми для этих волн. Критическая длина волны зависит от поперечного волнового числа(). В свою очередь, значение зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от структуры поля распространяющейся волны. Структура поля и гибридных волн различна, поэтому в общем случае соответствующие данным волнам значения могут не совпадать. При этом для указанных волн не будут совпадать и значения параметров .

Перейдем к вычислению характеристических сопротивлений рассматриваемых волн. По определению характеристическое сопротивление волны равно отношению поперечных к направле­нию распространения составляющих векторов и .

В случае волн поперечные составляющие векторов и определяются формулами

(19)

(20)

получающимися из (8) и (9) при . Подставляя в (20) выражение для из (19), приходим к соотношению . Аналогичное равенство выполняется и для векторов и , где и - продольные составляющие векторов и , введенных формулами (1). Как видно, векторы и (а также и )взаимно перпендикулярны. Из полученного соотношения вытекает следующее выражение для характеристического сопротивления волн:

(21)

где . При этом соотношение, связывающее поперечные составляющие векторовив случаеволн принимает вид

(22)

Характеристическое сопротивление волн зависит от длины волны (от частоты). Прионо всегда меньше. На критической частоте (при). При уменьшении(т.е. при увеличении частоты отдо бесконечности)возрастает от нуля до(рис. 3).

Аналогично вычисляется характеристическое сопротивление волн. Полагая в (8) и (9), получаем

(23)

(24)

Подставляя выражение для из (24) в (23), приходим к равенству. Умножая векторно обе части этого равенства на орти раскрывая двойное векторное произведение по формуле (П.31), получаем

(25)

где

(26)

Как видно, в случаеволн векторыи(и соответствующие им векторыи) как и аналогичные им векторы в случаеволн, взаимно перпендикулярны. Характеристическое сопротивлениеволн зависит от частоты. Прионо всегда больше. При увеличении частоты от критической до бесконечностиубывает от бесконечности до(см.рис.3).

В

Рис.3

области волн длиннее критической () характеристические сопротивленияиволн являются чисто мнимыми величинами. Это означает что припоперечные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полейина 90°. Очевидно, что при этом комплексный вектор Пойнтинга принимает чисто мнимые значения, т.е. вдоль линии не происходит переноса энергии. Поле в линии приявлявется чисто реактивным. Напомним, что все формулы данного раздела получены в предположении, что линия является идеальной (не вносит потерь).

В случае гибридных потерь () поперечные составляющие векторовиопределяются общими формулами (8) и (9). Поэтому получить единое простое выражение для характеристического сопротивления не удается: его величина зависит и от линии передачи, и от структуры поля распространяющейся волны и приможет быть как больше, так и меньше. На частотах, меньших критической (), характеристическое сопротивление гибридных волн также принимает чисто мнимые значения.