fadeeva / Лекция 5

Тема 5.

Круглый металлический волновод

1. Вывод формул для поля

П

Рис.18

ри анализе волн в круглом волноводе (рис.18) будем считать, что заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ, а оболочка обладает бесконечной проводимостью. В таком волноводе возможно раздельное существование Е- и Н-волн и невозможно существование ТЕМ-волн. При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат, совместив ось Ζ с продольной осью волновода. Для упрощения изложения введем функцию w=w (r, φ, z) = w⁰ (r, φ) exp (- i ßz), которая в случае Ε-волн равна E_mz, а в случае Н-волн - Н_тz. Функция w⁰ (r, φ) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

(1)

где, как обычно, . Представим функцию w⁰ в виде w⁰= R(r) Φ(φ). Разделяя переменные в уравнении (1) 1, получаем

(2) (3)

где , C и D -произвольные постоянные.

При r→0 функция Неймана стремится к бесконечности, а составляющие Е_mz и Н_тz должны быть ограничены. Поэтому нужно считать D = 0. При этом имеем

. (4 )

В случае Е-волн w(r, φ, z) = E_z(r, φ, z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные формулами (9.19) и (9.20). Вводя обозначение ВС = E_0Ζ получаем

(5a)

где

(5б)

а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу.

Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс т в формулах (10.32а) и (10.326) имеет разный смысл. В (10.32а) он означает, что записана комплексная амплитуда рас­сматриваемой функции, а в (10.32б) т - определяет порядок функции Бесселя.

Входящая в (10.32б) постоянная φ₀ влияет только на начало отсчета угла φ, ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Ζ. В рамках используемой физико-математической модели постоянные E_Oz и φ₀ определить нельзя. Для их нахождения требуются дополнительные данные об источнике, создающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ориентации вектора E и т.д.).

Чтобы найти неизвестную постоянную , используем граничное условие. В рассматриваемом случае из него следует равенство

, (6)

где а - радиус волновода (см. рис.18). Подставляя выражение для из (5б) в (6), получаем

. (7)

И

Рис.19

меется бесконечное множество значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называют корнями функции Бесселя. Обозначая п-й корень функции Бесселя т-го порядка

через (см. рис.19), из (7) находим

. (8)

Параметр β вычисляется по известной формуле.

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры. Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней уравнения (7). Например, корню v₀₁ ^E соответствует волна E₀₁, корню v₁₂ ^E -волна E₁₂, корню v_mn ^E - волна Е_тп.

Зависимость структуры поля волны от угла φ определяется индексом т. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на т секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе: поле волны периодично по углу φ с периодом 2π/т. Индекс m, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла φ).

На распределение составляющих векторов поля вдоль радиуса в интервале [0, а] влияют оба индекса m и n. При этом т определяет порядок функции Бесселя, а n - число вариаций составляющих векторов поля при изменении r от 0 до а: при n=1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при n - 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д.

Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной соотношением (6). В рассматриваемом случае

. (9)

Несколько первых корней функций Бесселя v_mn^E в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн, рассчитанные по формуле (9), приведены в табл.1. Низшим типом среди волн E в круглом волноводе является волна E₀₁.

Таблица 1

Тип волны	E01	E11	E21	E02	E31	E12
	2,405	3,832	5,135	5,520	6,379	7,016
	2,613	1,640	1,223	1,138	0,985	0,895

Фазовая скорость, скорость распространения энергии, длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление рассчитываются по известным формулам

. На рис. 10.15 показана структура поля волны E₀₁.

Рис.20

В случае Η-волн функция w = Н_тz (r, φ, z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через H_тz. Вводя обозначение ВС = H_0z, получаем

(10а)

где

(106)

Все сказанное о постоянных m, E_0z и φ₀ в полной мере относится и к постоянным т, H_0z и φ₀

Для определения поперечного волнового числа воспользуемся граничным условием = 0. Подставляя в это равенство приходим к уравнению

. (11)

Обозначая корни уравнения (11) через v_mn^H (см. рис. 20), находим, что

. (12)

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-волн различной структуры, которые принято обозначать Н_тn. Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Е_тп. Индекс т совпадает с порядком функции Бесселя, а n - с номером нуля первой производной функции Бесселя m-го порядка. Также как и в случае Ε-волн, структура поля волны Н_тп периодична по углу φ с периодом 2п/т, т.е. индекс т равен числу периодов структуры поля волны Н_тп, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что поле волны не зависит от угла φ. Индекс n равен числу вариаций составляющих векторов поля вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней v_mn^H в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн, рассчитанные по формуле

λ_κρΗmn=2πa/ v_mn^H (13)

2

Рис.21

приведены в табл. 2. Низшим типом среди не только волн Н, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из табл.1 и 2, является волна Η₁₁- Интересно отметить, что структура поля этой волны близка к структуре поля волны Η₁₀ в прямоугольном волноводе, также имеющей наибольшую критическую длину волны. На рис.10.17 показана структура поля волны Η₀₁.

Параметры Н-волн β, ν_φ, ν_э и Λ вычисляются по известным формулам.

2. Токи на стенках круглого волновода

Плотность токов на стенках круглого волновода j_Sm в соответствии с граничным условием определяется формулой

. (14)

Рис.22

Рис.23

И

Рис.22

Рис.23

з предыдущих формул следует, что при распространении по волноводу основной волны Н₁₁ на его стенках текут и поперечные, и продольные токи (рис.22), а волна Н₀₁ возбуждает только поперечные токи (рис.23), В случае волны E₀₁, текут только продольные токи, равномерно распределенные по периметру волновода.

3. Передача энергии по круглому волноводу

Основной волной круглого волновода является волна Н₁₁, а первым высшим типом - E₀₁. Поэтому в соответствии с данными табл.10.1 и 10.2 условие одноволновости имеет вид 2,61а< λ <3,41а, откуда

λ/3,41 < a <λ/2,61. (15)

Мощность, переносимая волной по круглому волноводу (мощность бегущей волны), рассчитывается по известной формуле. Вычисляя входящие в эту формулу интегралы, для волны Н₁₁ получаем:

Где - длина волны Н₁₁ в волноводе.

Коэффициент ослабления α_Μ, соответствующий волне Н₁₁, в

Рис.24

ычисляется по формуле

(16)

Формулы для коэффициента ослабления α_Μ, соответствующие другим типам волн, могут быть получены из этой формулы, График, характеризующий зависимость коэффициента ослабления от частоты для волны Н₀₁ в круглом волноводе, имеет существенное отличие от графиков для волн Н₁₁ и Е₀₁. У этих волн коэффициент α_Μ неограниченно возрастает при и . Указанные особенности поведения α_Μ объясняются так же, как в случае прямоугольного волновода. Поведение коэффициента ослабления волны Н₀₁ в круглом волноводе при увеличении частоты имеет иной характер, а именно коэффициент α_Μ для этой волны монотонно убывает с ростом частоты. Эта особенность объясняется тем, что у волны Н₀₁ в круглом волноводе вектор плотности поверхностного тока проводимости не имеет продольной составляющей (j_Smz = 0). Отличная от нуля составляющая j_Smφ возбуждается продольной составляющей напряженности магнитного поля H_mz(a, φ, z). При повышении частоты в волноводе с фиксированными размерами поперечного сечения структура поля любой волны приближается к структуре поля TEM-волны, у которой Η_z = 0. Следовательно, у волны Н₀₁ при повышении частоты Н_тz → О и одновременно стремится к нулю плотность поперечных токов проводимости. Но это означает, что потери должны непрерывно уменьшаться. Как показывает численный расчет, потери в круглом волноводе на волне Н₀₁ меньше потерь в волноводе того же радиуса на волне Н₁₁, если только а/λ>2, а существенный выигрыш достигается при а/λ≥3,...4.