fadeeva / Лекция 7

Тема 7

Объемные резонаторы

1. Общие сведения

П

Рис.39

ростейшие типы объемных резонаторов представляют собой часть пространства, ограниченную со всех сторон металлической оболочкой. Сюда относятся резонаторы в виде короткозамкнутых отрезков коаксиальной линии, полых металлических волноводов и др. По аналогии с направляющими системами резонаторы этого типа называют закрытыми. Можно также почти полностью устранить излучение в окружающее пространство, используя явление полного отражения от границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями. В качестве примера на рис.39 показан объемный резонатор этого типа, представляющий собой отрезок диэлектрического волновода, торцы которого металлизированы. По аналогии с направляющими системами резонаторы, в которых отсутствует замкнутая металлическая оболочка, называют открытыми.

2. Свободные гармонические колебания в объемных резонаторах

Предположим, что в объеме V₀ (в произвольном резонаторе) тепловые потери равны нулю и, кроме того, отсутствует обмен энергией между внешним пространством и внутренним объемом резонатора. Уравнение баланса при этих условиях имеет вид

(1)

Под влиянием источника в объеме V₀ возникнут электромагнитные колебания. Пусть через некоторое время сторонний источник отключается. При этом за счет запасенной в резонаторе энергии колебательный процесс будет продолжаться сколь угодно долго и при отсутствии источников. В резонаторе возникнут свободные или, другими словами, не связанные со сторонним источником электромагнитные колебания. При Р^ст=0 из (1) получаем

(2)

т.е. в соответствии с законом сохранения энергии полная энергия, запасенная в изолированном от внешнего пространства объеме, при отсутствии потерь в любой момент времени остается постоянной. В момент t=0 у рассматриваемого свободного колебания вся энергия сосредоточена в магнитном поле, что при гармонических колебаниях означает наличие фазового сдвига, равного π/2, между векторами Е и Н, т.е. Н = H₁ cos w₀t, где H₁- функция пространственных координат. Переписывая (2) для гармонических колебаний, получаем

(3)

Так как равенство (3) должно выполняться в любой момент времени, то

(4)

3. Резонансные частоты свободных колебаний

В рассматриваемом случае уравнения Максвелла можно переписать в виде

(5)

Выражая в (4) вектор E₁ через H₁ или, наоборот, вектор H₁ через E₁ получаем

(6)

Слева в (6) стоит квадрат резонансной угловой частоты объемного резонатора, а справа - всегда положительная величина, равная отношению двух объемных интегралов. Численное значение каждого из этих интегралов зависит от формы объема V₀ и его размеров, а также от характера подынтегральной функции. Поэтому резонансная частота резонатора зависит от структуры полей в резонаторе, его формы и размеров.

Структура полей в резонаторе, как и в направляющих системах, определяется путем решения уравнений Максвелла при определенных граничных условиях на поверхности, окружающей объем V₀. В случае закрытых резонаторов без потерь задача сводится к решению трехмерного векторного волнового уравнения:

(7)

при граничном условии:

(8)

где S - внутренняя поверхность металлической оболочки резонатора, а n₀ - орт нормали к этой поверхности.

Можно доказать, что уравнение (7) при граничном условии (8), как и аналогичные уравнения теории направляющих систем, имеет бесконечное число различных решений, каждому из которых согласно (6) соответствует определенное значение резонансной угловой частоты w₀. т.е. объемные резонаторы, в отличие от обычных контуров из сосредоточенных элементов, резонируют не на одной частоте, а на бесконечном множестве дискретных частот w_01, w_02, w_{03 ,,,…}. To колебание, которому при данных размерах резонатора соответствует минимальная резонансная частота w₀, называют низшим колебанием. Каждой резонансной частоте соответствует определенная структура электромагнитного поля в резонаторе.

Не исключено, что в объемном резонаторе резонансные частоты двух или большего числа колебаний с различной структурой полей совпадут. Обладающие этим свойством колебания принято называть вырожденными.

Наряду с резонансной угловой частотой w_0p вводят понятия

резонансной или собственной длины волны

и резонансной (собственной) частоты

4. Добротность объемных резонаторов

Потери электромагнитной энергии в резонаторе складываются из потерь в среде, заполняющей резонатор, и потерь в металлической оболочке резонатора. Кроме того, часть энергии из резонатора передается через элементы связи в устройства, связанные с резонатором. Элементы связи объемных резонаторов с внешними устройствами, идентичные элементам связи в направляющих системах, во-первых, необходимы для возбуждения и поддержания незатухающих колебаний и, во-вторых, позволяют часть энергии из резонатора передать другим элементам аппаратуры (усилителю, линии передачи и др.). В открытых резонаторах дополнительно часть энергии теряется на излучение. Поэтому общие потери энергии в резонаторе

(9)

где - энергия потерь за период колебаний в оболочке резонатора; -энергия потерь в среде, заполняющей резонатор; - энергия, отдаваемая резонатором во внешние устройства; - энергия, теряемая на излучение (радиационные потери).

С учетом (9) можно записать

(10)

что позволяет выразить полную добротность Q через "частичные" добротности:

(11)

Полную добротность резонатора Q обычно называют нагруженной, а величины и -соответственно радиационной и внешней добротностями. Если связь резонатора с внешними устройствами полностью отсутствует, то = 0, = и для собственной или ненагруженной добротности резонатора выполняется соотношение

(12)

При этом формулу (0) можно переписать в виде

(13)

При анализе резонаторов обычно исходят из предположения, что небольшие общие потери, которые имеют место в резонаторе, не сказываются существенно на структуре полей в нем, т.е. предполагают, что в первом приближении структура поля в резонаторе с потерями и без них одинакова. В указанном приближении энергия, запасенная в резонаторе с малыми потерями и без потерь, практически одинакова.

5. Собственная добротность закрытых резонаторов

Собственная добротность произвольного резонатора, как следует из (12), зависит от , и В закрытых резонаторах радиационные потери отсутствуют, поэтому

(14)

Средняя за период мощность джоулевых потерь в металлической оболочке определяется формулой

(15)

Подставляя (15) в (11) и учитывая (4), получаем

(16)

Если резонатор заполнен однородной средой с комплексной диэлектрической проницаемостью , то при отсутствии магнитных потерь (= 0) имеем

Так как

то из (11) следует, что

(17)

Аналогично можно показать, что добротность, обусловленная магнитными потерями, равна отношению . Добротность резонатора, заполненного веществом с параметрами и, находится из формулы

(18)

6. Связь между добротностью объемного резонатора и длительностью процесса свободных колебаний в нем

При наличии потерь свободные электромагнитные колебания в резонаторах должны быть затухающими. Чем выше собственная добротность резонатора, тем меньше потери в нем и тем дольше свободные колебания сохраняют заметную амплитуду. Для закрытого резонатора при наличии джоулевых потерь должно выполняться соотношение

(19)

Очевидно, что в случае монохроматических колебаний мгновенные значения Рп и 1/V связаны, как и средние значения этих величин, равенством

(20)

Подставляя (20) в (19) и интегрируя, получаем

(21)

где W₀ - начальный запас энергии в резонаторе при t = 0.

Как видно из (21), запас энергии в резонаторе с потерями экспоненциально убывает. За время, равное , энергия, запасенная в резонаторе, уменьшится в 100 раз. Если Q = и = 1000 МГц, то t=7,5 мкс, что свидетельствует о весьма быстром затухании свободных колебаний даже в высокодобротных резонаторах. Поэтому для поддержания незатухающих колебаний в резонаторы вводят постоянно восполняющие потери сторонние источники. При этом резонатор уже работает в режиме вынужденных, а не свободных колебаний.

В момент подключения стороннего источника резонатору сообщается некоторый начальный запас энергии, что влечет за собой возникновение свободных колебаний,. Свободные колебания, как было показано выше, при наличии потерь в резонаторе весьма быстро затухают, а электромагнитные колебания с частотой источника, т.е. вынужденные колебания, поддерживаются за счет энергии последнего. Поэтому уже через небольшой интервал времени после включения стороннего источника частота электромагнитных колебаний в резонаторе практически не отличается от частоты электромагнитных колебаний стороннего источника. Согласно (21) длительность периода установления стационарного режима тем больше, чем выше добротность объемного резонатора и ниже частота электромагнитных колебаний.