книги / Эконометрика. Начальный курс

Упражнения

16.1.Выведите формулы (15.14) и (15.15).

15.2.Выведите формулу (15.16).

15.3.Выведите формулу для оптимального портфеля при наличии без­ рискового актива, аналогичнуюформуле (15.13), повторив шаги (15.8)- (15.12) вывода формулы (15.13), т. е. записав целевую функцию, затем ограничения и решив задачу оптимизации при наличии ограничений методом Лагранжа.

15.4.Докажите эквивалентность двух определений закопа одной цепы

(law of one price) (стр. 461).

15.5.Докажите, что из закона одной цены следует теорема о существо­ вании дисконтирующего множителя (стр. 462).

15.6.В файле index.xls содержатся данные по четырем фондовым индексам.

а) Рассчитайте средние месячные доходности, дисперсии и корре­ ляции доходностей индексов. В дальнейшем предположите, что доходности имеют нормальное распределение и выборочные мо­ менты достаточно точно описывают распределение будущих до­ ходностей.

б) Постройте эффективные портфели, состоящие из фондовых ин­ дексов США, Германии, Великобритании, с годовой ожидаемой доходностью в 6%, 9%, 12%, 15% и 18%.

в) Покажите, как информация о двух эффективных портфелях с годовой доходностью, например, 12% и 15% можег быть исполь­ зована для построения других эффективных портфелей.

г) Найдите портфель с наименьшей дисперсией.

д) Тот же вопрос, что в б), но теперь в случае, когда «короткие продажи» запрещены.

е) Повторите б), в), г), д) для случая портфеля, в который добавлен четвертый актив (фондовый индекс Гонконга).

ж) Повторите предыдущие пункты в предположении, что доступен также безрисковый актив с годовой доходностью 6%.

16.2.Чем собственно занимается эконометрист?

Представим себе океанский лайнер водоизмещением 58000 тонн. Корабль построен 30 лет назад, на ием есть залы отдыха, ресто­ раны, бары, кинотеатр, конференц-зал, библиотека, ночной клуб, художественная галерея и торговый центр. Сколько лет капита­ ну?

На первый взгляд, мы не в состоянии ответить на этот вопрос, поскольку доступная нам информация не содержит никакого упо­ минания о возрасте капитана. Однако это не совсем так. Лайнер водоизмещением 58000 тонн — это очень большой корабль. На его капитане лежит огромная ответственность. И только человек с большим опытом в состоянии справиться с этой работой. В то же время капитан должен обладать хорошей физической формой и быть способным справляться со стрессовыми ситуациями. Здра­ вый смысл подсказывает, что возраст капитана — между 40 и 60 годами. Эконометрист, который хочет выглядеть наукообразно, сказал бы, что его оценка возраста капитана равна 50 со стан­ дартным отклонением 5.

Это хороший пример эконометриста за работой. Он показыва­ ет, что доступная нам информация обычно недостаточна для ре­ шения задачи, и требуются также здравый смысл и знание жизни, а «решение» (возраст = 50, стандартное отклонение = 5) сформу­ лировано в вероятностных терминах без достаточных па то ста­ тистических оснований.

Реальные примеры из экономики всегда труднее. Большинство эконометристов полагают, что главная цель прикладной эконо­ метрики — сопоставление экономических теорий с наблюдаемы­ ми явлениями. Это включает в себя проверку гипотез, например, теории монетаризма или рационального поведения потребителя. Задачей эконометриста (в идеале) было бы проверить, верна ли данная экономическая теория или нет, основываясь на экономи­ ческих данных и статистическом аппарате. Никто не скажет, что это легко. Но возможно ли это? Недавно обсуждая этот вопрос,

Кезенкамп и Магнус в конце своей статьи обратились к читате­ лям с просьбой назвать опубликованную работу, которая, по их мнению, изменила представление экономистов о какой-либо эко­ номической проблеме (Kcuzenkanip, Magnus, 1995). Если бы такал работа нашлась, она была бы примером успешной проверки тео­ рии. Никто не ответил!

16.3.Эконометрика и физика

Индивидуумы, семьи, фирмы ведут* себя так иррационально и их групповое поведение настолько мало предсказуемо, что трудно предположить существование какого-либо закона, претендующе­ го на универсальность. Это сильное утверждение, но оно верно. Причем более огорчительно даже не столько отсутствие этого за­ кона, сколько отсутствие тех выводов, которые могли бы быть получены из него. Давайте коротко обсудим последствии одного универсального закона. Это знаменитый пример, взятый из физи­ ки и показывающий, как один верный закон может быть исполь­ зован для открытия другого.

Наблюдая спутники Юпитера, можно заметить, что иногда они на восемь минут впереди, а иногда на восемь минут отстают от времени, рассчитанного по законам Ньютона. Можно также за­ метить, что спутники опережают расчетное время, когда Юпитер ближе к Земле, и отстают, когда Юпитер удален. Если мы доверя­ ем теории Ньютона, то должны заключить отсюда, что свет имеет конечную скорость, и то положение спутпиков, которое мы наблю­ даем, является вовсе не их текущим положением, а тем, в котором они находились некоторое время назад, необходимое, чтобы свет дошел от Юпитера до Земли. Олаф Ремер таким образом показал в 1675 г., что свет имеет конечную скорость, и годом позже он при­ вел оценку скорости света 214000 км/с, что было замечательным достижением — лишь на 30% меньше истинного значения.

Ничего подобного этой строгой красоте невозможно в эконо­ метрике. Люди, фирмы, организации, их взаимодействие на раз­ личных уровнях агрегирования настолько богаче и интереснее

планет, что неизбежно являются гораздо более сложными объ­ ектами для моделирования и прогноза.

16.4.Эконометрика и математическая статистика

Данные в эконометрике никогда не являются экспериментальны­ ми. Не правда ли, было бы интересно удвоить цены на сахар, оста­ вив все остальные цены неизменными, и посмотреть на реакцию потребителя? Вероятно, это и было возможно в Советском Сою­ зе, но определенно невозможно в современной России, и, следова­ тельно, эконометрист не может ставить подобные эксперименты.

Все параметры изменяются одновременно. Данные, с которы­ ми мы должны работать, не являются результатом контролируе­ мого эксперимента. Они — не экспериментальные.

В физике, химии, биологии, медицине можно проводить кон­ тролируемые эксперименты, но только не в экономике. (Астро­ номические данные также не являются экспериментальными: мы не можем изменить орбиту Марса, чтобы посмотреть, как это по­ влияет на орбиту Земли.) Отсюда следуют серьезные последствия для эконометрической теории. Традиционные методы математи­ ческой статистики — теория оценивания и проверки гипотез — были развиты для экспериментальных паук, но не для экономи­ ки. Эти методы, таким образом, не могут быть без какой-либо модификации применены в эконометрике.

Так как эконометрист имеет дело с данными не эксперимен­ тальной природы, то, как правило, он нс может получить больше данных, чем у него имеется, по крайней мере, при анализе вре­ менных рядов. Физики-экспериментаторы и представители дру­ гих экспериментальных наук могут поступать так, как предписы­ вают книги по статистике. У них есть теория, они собирают дан­ ные н формируют новую теорию, основанную на этих данных, затем они выбрасывают старые данные и собирают новые дан­ ные, затем проверяют новую теорию и так далее. Эконометрист

не может поступать таким образом. Если он выбросит старые дан­ ные, у него ничего не останется.

Втрадиционной математической статистике проверка гипотез

иоценивание являются двумя разными темами, излагаемыми в разных главах разных томов. Прикладной статистик либо прове­ ряет гипотезу, либо оценивает некоторые параметры, но никогда не делает и то и другое одновременно. Эконометрист, напротив, вынужден оценивать параметры и проверять гипотезу одновре­ менно. Еще в 1949 г. Купманс высказал идею, что необходима совершенно новая теория статистического вывода, которая позво­ ляла бы делать это, но такая теория до сих пор не создана (Коорmans Т., 1949).

16.5.Теория и практика

Нам кажется, что разрыв между теорией и практикой в эконо­ метрике больше, чем в физике, медицине и других науках. Когда Эд Лимер около тридцати лет назад был студентом Мичиганского университета, там работала очень активная группа, занятая по­ строением эконометрической модели США. Группа работала на первом этаже, а теоретические курсы по эконометрике читались на последнем, четвертом, этаже. «Я был ошеломлен тем, - пи­ сал Лнмер, - что один и тот же язык использовался в обоих ме­ стах. Еще более забавно было наблюдать метаморфозы отдельных индивидуумов, которые буйно грешили на первом этаже и пре­ вращались в святейших жрецов, поднимаясь на четвертый этаж» (Learner, 1978).

За последние тридцать лет ситуация не изменилась. Конечно, есть некоторое количество экономистов и эконометристов, кото­ рые нашли верный баланс между тем, что может быть сделано те­ оретически, и тем, что может быть сделано на практике. Они зна­ ют данные, знают экономическую теорию, владеют необходимыми эконометрическими методами и они способны смешать эти ингре­ диенты в питательную и вкусную похлебку. Но их меньшинство.

Подавляющее большинство принадлежит к тому или другому ла­ герю. Два лагеря оторваны друг от друга и почти нс общаются.

Этот разрыв между теорией и практикой имеет довольно ин­ тересные последствия. Одно из них то, что прикладные эконо­ метристы чувствуют необходимость проверки гипотез, потому что они проходили курс «Теория эконометрики» и хотят использовать свои знания. Однако они редко могут объяснить, почему они те­ стируют конкретную гипотезу, скажем, однородность или выпук­ лость. Если гипотеза отклоняется, как и происходит в большин­ стве случаев, они видят в этом свидетельство ошибки спецификаг ции. Зачем же тогда проводить тестирование, если его логические следствия игнорируются? Размышление о последствиях тестиро­ вания перед его выполнением было бы разумным, но редко встре­ чается в эконометрической практике.

Одна история, известная среди эконометристов, иллюстрирует этот разрыв между теорией и практикой.

Ночь. Некто А идет по улице и видит другого человека, Б, чтото ищущего под уличным фонарем. «Что Вы ищете?» - спраши­ вает А. «Я потерял ключи», - отвечает Б. «Где Вы их потеряли?»

-снова спрашивает А. «Там», - отвечает Б, указывая на трид­ цать метров в сторону. «Тогда почему же Вы их ищете здесь?»

-спрашивает А, являясь, очевидно, человеком с практическим складом ума. «Там слишком темно», - отвечает Б и продолжает свои поиски под уличным фонарем.

16.6.Эконометрический метод

Существует ли эконометрический метод? Конечно, не такой ме­ тод, который берет за руку неискушенного исследователя и ведет его от А к В, затем к С и так далее. К счастью, такого мето­ да не существует, иначе все эконометристы остались бы без ра­ боты. Имеется в виду нечто менее амбициозное. Существует ли единый подход к прикладным эконометрическим исследованиям7 Если просмотреть статьи, опубликованные в ведущих журналах, можег показаться, что такой подход существует. В самом деле,

478 Гл. 16 Перспективы эконометрики

большинство работ имеют одну и ту же структуру: введение, об­ зор литературы, модель, описание данных, некоторые экономет­ рические трудности и как автор их преодолел, прикладные ре­ зультаты, заключение. Таким образом, существует некий единый подход к тому, как должны быть изложены результаты приклад­ ной работы, но это имеет мало отношения к тому, как проводить собственно исследования. Ведь статьи никогда не содержат разде­ ла «журнал экспериментов», в котором автор рассказал бы о том, как и в каком порядке ои проводил исследование, какие ошибки делал и т. д.

Традиционная эконометрика предписывает исследователю по­ строить модель, собрать данные, выбрать подходящий метод оце­ нивания и затем оценить модель. После того как получена подхо­ дящая модель, можно делать шаги в разных направлениях: оце­ нивать функции параметров (например, эластичности), проверять гипотезы, представляющие интерес, делать прогнозы или давать рекомендации по экономической политике. Это хороший метод, но ои не работает. Он слишком амбициозный. В отличие от физики в экономике нет моделей, которые были бы справедливы во всех случаях. Лучшее, на что можно надеяться, — то, что модель будет справедлива локально. Это озиачаст, что модель должна зависеть от того, на какой главный вопрос собирается ответить исследова­ тель. Назовем его центром (фокусом) исследования. По нашему мнению, выбор центра исследования — это единственный здравый путь его начала. Все остальное: модели, необходимые данные, ме­ тод оценивания - зависит от этого. Вышесказанное может мно­ гим показаться очевидным, но это не очевидно для большинства эконометристов.

Эконометристы, конечно, имеют разные представления о том, как проводить прикладные исследования. Недавно было несколь­ ко дискуссий на эту тему. Всемирный конгресс Эконометрическо­ го общества в Кембридже (Массачусетс) в 1985 г. и Австрало­ азиатский конгресс в Канберре в 1988 г. содержали в своих про­ граммах пленарные дискуссии по методологии эконометрики. В ходе этих дискуссий выяснилось, что есть только один пункт,

с которым согласны все эконометристы, — это подход «сверху вниз». В этом «сверху вниз» методе нам советуют начать с боль­ шой модели, включающей большое количество переменных, и за­ тем тестировать их значимость. Бели в результате проверки ста­ тистических гипотез переменная оказывается незначимой, ее уда­ ляют из модели. Несколько таких шагов приводят к меньшей мо­ дели, в которой остались только значимые переменные. В прин­ ципе это звучит прекрасно и имеет определенные теоретические преимущества. Но есть некоторые трудности. Первая — то, что это не работает. Если вы пытаетесь оценить модель, содержанию все мыслимые переменные, вы получаете бессмысленный результат. Это знакомо каждому, связанному с прикладной эконометрикой. Вторая трудность состоит в том, что вы не можете получить чтото новое этим методом, так как самое интересное и есть построе­ ние «верхней» модели, а о том, как это делать, ничего не сказа­ но. Поэтому никто из прикладных эконометристов не идет таким путем. Вместо этою они используют подход «снизу вверх». При этом подходе сначала выбирается простая модель, которая затем усложняется. В сущности, так же поступают исследователи и в других областях знаний.

Таким образом, существует некоторая теория для подхода «сверху вниз», но нет теории для подхода «снизу вверх», кото­ рый используется на практике. Нет теории, подсказывающей при­ кладному эконометристу, как переходить от малого к большому, например, как выбрать новую переменную, если он чувствует, что небольшое число переменных в простейшей модели недостаточно. Это непростая задача для эконометриста-теоретика, но это, по крайней мере, то, что прикладные исследователи могли бы ис­ пользовать.

Печальным следствием этого столкновения между теорией «сверху вниз» и практикой «снизу вверх» является представление результатов. Здесь прикладной эконометрист встречает некоторое затруднение, так как свои результаты он получил с использовани­ ем подхода «снизу вверх», в то время как журнальные традиции предписывают придерживаться в статьях подхода «сверху вниз».

На практике это происходит таким образом. Сначала прикладной эконометрист «играет» с данными, начиная с небольшой модели, затем добавляет в нее компоненты до тех пор, пока не будет удо­ влетворен моделью. (Снизу вверх!) Затем, чтобы удовлетворить требованиям редактора журнала, он добавляет в модель перемен­ ные, которые, по его мнению, в ней должны отсутствовать. Эту расширенную модель он и представляет в начале статьи. Далее, следуя подходу «сверху вниз», он проверяет, должны ли присут­ ствовать в модели переменные, которые он только что добавил, удаляет их и приходит к ранее полученной модели. Не слишком-то почтенный способ заниматься наукой!

16.7.Слабое звено

Попробуем представить себе, какую теорию мог бы вызвать к жизни подход «снизу вверх», учитывая, что такая теория пока отсутствует. Такая теория должна была бы, например, помогать ответить на вопрос, какие звенья модели являются наиболее сла­ быми. Прикладная часть работы имеет несколько аспектов: дан­ ные, экономическая теория, эконометрический метод оцепивания и др. Исследователь начинает с простейшей модели и с данными, которые есть у него иод рукой. Он получает некоторые результа­ ты, которыми не вполне удовлетворен. Что дальше? Следует ли расширить модель, применить более сложную процедуру оценива­ ния или необходимо собрать больше данных (или данные лучше­ го качества)? Эконометристы редко прибегают к этому просто­ му, зачастую самому разумному, средству — улучшить данные. Вместо этого внимание сосредоточивается на модели и методах оценивания. Зачастую встречаются утонченные улучшения (на­ пример, метод максимума правдоподобия с полной информацией вместо инструментальных переменных, непараметрические мето­ ды вместо ргоЬИ-моцели) даже в тех случаях, когда используе­ мые данные содержат много «шума», и было бы гораздо полезнее потратить усилия на добывание более надежных данных. Оче­ видно, должен быть баланс между различными ингредиентами в