книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf3 8 2 |
ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА ПЕРЕКРЕСТНЫХ БАЛОК |
представлены функциями *) от аргумента
Когда вместо одной имеется несколько перекрестных балок, за дача сводится к системе совокупных дифференциальных уравнений вида (1) и для решения ее требуется довольно много вычислительной работы.
Ниже мы приводим приближенное решение той же задачи, осно ванное на применении тригонометрических рядов к исследованию изгиба балок главного направления и перекрестных балок. Урав нение поверхности, по которой расположатся узловые точки нашей системы (рис. 1) после искривления, может быть представлено так:
w |
т= со л = OD |
. |
тпх |
. ппи |
|
|
|
|
|
||||
= Е |
Ё а* |
,Sin -т—Sin - ~ |
О) |
|||
|
|
/ |
1г |
|||
|
т в |
I п= 1 |
|
|
|
|
Чтобы из этого выражения получить уравнение изогнутой оси i-й балки главного направления, нужно только вместо х поставить соответствующее значение х(. Точно так же для получения урав нения изогнутой оси /-й перекрестной балки нужно вместо у поста вить соответствующее значение yj.
Если р обозначает число балок главного направления, г — число перекрестных балок, EJ[ — жесткость t-й балки главного направ ления и EJ1— жесткость /-й перекрестной балки, то потенциальная энергия изгиба нашей системы балок представится выражением:
(-Р /ш = о » \ я /т= со v 1
t=1 |
( X |
/ |
+ 2 * ( 2 „ „ . s i n S p ) + |
||
|
\«n=l |
|
/ |
||
m =a> |
\ 1 |
"1 |
l=r |
Г /п = о о |
\ a |
( |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
/Я=4» |
|
|
|
|
|
+ 2«( S |
* sin |
|
|
|
(4) |
\ n = |
1 |
|
|
|
|
Работа сплошной нагрузки при изгибе балок будет равна |
|||||
|
1 |
11' |
|
|
(а) |
|
j\§ q w d x d y . |
|
|||
|
о |
о*416 |
|
|
|
*) Таблицы для этих функций составлены И. Г. Бубновым. См. стр. 393 рабо ты, упомянутой в сноске а) на стр. 381. См. также стр. 12 нашего «Курса теории упругости». Часть II. Стержни и пластинки. Петроград, тип. А. Э. Коллинса, 1916, 416 стр. (С. П. Т и м о ш е н к о . Курс теории упругости. Киев, изд-во «Наукова думка», 1972, 508 стр. См. стр. 196.]
3 8 4 ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА ПЕРЕКРЕСТНЫХ БАЛОК
Практически приходится ограничиваться лишь несколькими первыми членами в общем выражении (3) для прогиба и потому при достаточно большом числе балок [2 (r+ l)> m + n , 2 (р + 1 )> m+п] каждое из уравнений (5) будет заключать лишь один неизвестный коэффициент. Коэффициенты легко вычисляются по такой формуле:
_________ 1_________ |
(6) |
ш‘п‘ " т^п* EJn4 т{ (г+ 1)+ я{(р+ 1)-^£ ' |
|
J1\ |
|
Имея выражение для коэффициентов, легко найти прогиб любой перекрестной балки. Предположим, например, что у нас число пере крестных балок нечетное, и напишем уравнение изогнутой оси для
средней балки, которой соответствует уг+1 =11/2. Вставляя это
2
значение у в выражение (3), получим
o' = sin Дг |
2 |
«т(—I)”5- + |
|
|
л=1, 3. Б, ... |
|
|
|
|
+ sin-5j^ |
03„(—1) * + • • • , |
л=1, 3, 5. . . .
или, пользуясь выражением (6) для коэффициентов атп, получим
|
4qllv Al3 |
|
|
sin |
тих |
|
|
|
|
|
I |
|
|
||
'V |
|
|
|
|
|
||
EJn3(r+ 1) |
2 |
т |
|
hi* |
P+1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
т= 1,3, 5. |
|
Л\ |
г+1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
mnx |
||
|
|
Aqll^-Al3 |
|
|
sin |
||
|
|
|
|
|
l |
||
|
|
3EJna(г+ 1) |
|
2 |
. . /n (/+ + 34- |
h i3 P+1 |
|
|
|
|
|
m=1,3,5, |
Jl* r+1 |
||
Наибольшую роль играет первый член этого выражения и обык новенно в качестве первого приближения им можно ограничиться. Тогда можно сказать, что прогиб рассматриваемой перекрестной балки такой же, как у балки с опертыми концами, лежащей на сплош-
из |
нее |
следует |
|
|
t=p |
|
|
|
( =р |
mni |
|
|
|
|
|
||
X |
sin |
sin |
|
(m 4- n) л i |
(m — n) n ' |
|||
P+1 |
|
cos -— Ц—r--------cos - |
')ni \ |
|||||
1=1 |
P+1 |
|
P+1 |
|
|
P+1 Г |
||
|
|
|
'sin |
[ (m+ ,t)n- ^ T i f 1 |
sin |
[ ( * - п ) я - ^ П т 1 |
||
|
|
|
2 |
sin |
(/71 + п )я |
|
|
(m—n)n |
|
|
|
|
2(P+1) |
|
|
2(P+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА ПЕРЕКРЕСТНЫХ БАЛОК |
385 |
ном упругом основании *) и изгибаемой равномерно распределен ной нагрузкой интенсивности
У1 я ( г + 1) ‘
Жесткость основания характеризуется величинами
Для вычисления прогибов в таком случае проще всего восполь зоваться известной формулой для балки с опертыми концами и ле жащей на сплошном упругом основании 2). Тогда для прогиба по средине получим выражение
Щ= 1/2, y=h/2 =
Здесь через Q обозначена величина qlJKp+l), представляющая собой нагрузку, приходящуюся на одну балку главного направле ния. Множитель, стоящий перед скобками в полученном выраже нии для прогиба перекрестной балки, с достаточной точностью мо жет быть принят равным прогибу балки главного направления при отсутствии перекрестных балок. Множителем 1—ф0(ы) оценивается влияние перекрестных балок. На основании таблицы значений функ ции ф0(ы) заключаем, что при я/2 < и <СЗя/2 перекрестные балки бу дут вредны. Они не только не поддерживают средней балки главного направления, но, наоборот, увеличивают ее прогиб. Когда прогибы перекрестных балок определены намеченным здесь способом, легко может быть рассчитана средняя балка главного направления. Для этого проще всего воспользоваться формулами для неразрезной бал ки с опорами, расположенными на различных высотах.
Мы до сих пор предполагали, что все перекрестные балки имеют одинаковую жесткость, такое же допущение мы делали и относи тельно балок главного направления, но тот же прием может быть с выгодой применен и в тех случаях, когда одной или нескольким балкам придано иное сечение. Ход решения задачи поясним на та ком примере. Предположим, что плоское покрытие, несущее равно мерную нагрузку, поддерживается одиннадцатью равноудаленными балками главного направления и пятью перекрестными балками. Концы всех балок предполагаются свободно поворачивающимися. Поперечные сечения всех балок главного направления одинаковы.
*) См. стр. 69 указанного в сноске на стр. 382 нашего курса теории упру гости [стр. 235 второго издания, приведенного там же].
а) См. стр. 11 указанного в сноске на стр. 382 нашего курса теории упру гости [стр. 195 второго издания, указанного там же].
386 |
ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА ПЕРЕКРЕСТНЫХ БАЛОК |
Что касается перекрестных балок, то средняя из них имеет вдвое большую жесткость, чем другие. Для потенциальной энергии изгиба нашей системы балок мы напишем такое же выражение, как и в слу чае перекрестных балок постоянной жесткости E J, и потом к нему присоединим выражение
представляющее собой ту прибавку к потенциальной энергии, кото рая соответствует удвоению жесткости средней перекрестной балки.
Уравнения для определения коэффициентов ami„t получают при этом такой вид:
4д11х _ 48Q
тхпхЯ2 тхпхп3
Принимая во внимание значение сумм
{—„
при различных т и п и ограничиваясь лишь первыми членами в об щем выражении (3) [m + n < 12], мы найдем, что система уравнений для определения коэффициентов amiJly распадается на группы, при чем в каждую группу войдут лишь коэффициенты с одинаковыми значками тх. Решение этих уравнений крайне просто, так как значе ния величин amiJlt быстро убывают с увеличением п. Если в нашем примере мы возьмем девять членов в общем выражении (3) и введем
для сокращения обозначения |
a = / i / 3///f, A=Ql3/E Jnt, то первая |
|
группа уравнений (m i=l) напишется так: |
||
3 # ц “Ь ( ^ и |
^ 1 з ^ 1б ) — 9 6 i4 , |
|
З4 *6осд13 За13 |
(Яц |
^13"Ь^1б)= 32Л, |
51 • 6aals + 3ai5 + |
{аХ1— а13+ а16) = Ц А. |
|
Произведем вычисления для того случая, когда а=0,438. Ре шение уравнений дает нам:
an =14,494; «х3 = 0.214Л; ах5 = 0,003/1.
388 ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА ПЕРЕКРЕСТНЫХ БАЛОК
Что касается средней балки главного направления, то для нее придется к вычисленным выше опорным моментам присоединить моменты, обусловленные осадкой опор. Обозначая их соответственно через Мг, Мг и Ма, получим, на основании найденных выше про гибов, такую систему уравнений:
4М , + М 3= |
• J g s (7 ,3 8 |
- 5,08), |
М , + 4Mt + Ма = |
• §^-t (5,08-1,75), |
|
2М2+ 4М3 = |
• g j# (1,75 + |
1,75), |
откуда находим
Мг= 0.0425Q/!, /W2 = 0,0572Q/„ М3 = 0,0572(3/,.
Присоединяя сюда найденные выше опорные моменты от на грузки, получаем окончательно для изгибающих моментов в узлах средней балки главного направления значения:
M; = 0,0396Q/„ iW; = 0,0551Q/„ M; = 0,0548Q/,.
Заметим, что при взятом нами числе знаков в выражениях для прогибов перекрестных балок третий знак в числах, полученных для моментов, является сомнительным. Конечно, можно было бы получить и более точные выражения для моментов, но такой расчет не имел бы практического значения, так как все решение задачи является по существу лишь приближенным. Мы, например, совер шенно не принимали во внимание закона распределения давлений, получаемых балками главного направления от пластины плоского перекрытия, и приняли эти давления равномерно распределенными по плоскости покрытия. На самом деле этого нет, и получаемые вслед ствие этого погрешности будут в рассмотренном численном примере, вероятно, не меньше тех погрешностей, которые являются следст вием неточного определения прогибов перекрестных балок. Выяс ненный на численном примере способ расчета перекрестных балок легко может быть распространен на тот случай, когда нагрузка не равномерная, а, например, меняется вдоль оси у по линейному за кону. Если по концам перекрестных балок приложены моменты, то можно пользоваться тем же приемом расчета; нужно только к ра боте нагрузки присоединить работу опорных пар.
кВОПРОСУ О ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
ВМЕТАЛЛИЧЕСКИХ МОСТАХ
Известия собрания инженеров путей сообщения, 1917, № 7, §§ 1—5, стр. 140—146; № 8, §§ 6— 10, стр. 173—179
Непрерывное увеличение веса подвижного состава и скорости движения, крупные успехи, достигнутые металлургией в отношении получения мостовой стали высокого качества, а также непрерывное развитие методов расчета металлических конструкций и приемов экспериментального изучения прочности конструкций привели в последнее время к необходимости пересмотра норм допускаемых нап ряжений в мостах, и мы видим, что за последние десять — пятнад цать лет большинство стран подвергли эти нормы полной переработ ке. Пруссия ввела новые нормы в 1903 г., Бавария — в 1908 г. В Ав стрии новые нормы для железнодорожных мостов были пересмотре ны в 1904 г. В Швейцарии старые нормы 1892 года заменены новыми в 1913 г. Наконец, во Франции новые нормы введены в 1915 г. х). В Соединенных Штатах, где нет каких-либо общих норм, некото рые крупные железнодорожные компании пересмотрели свои нор мы *) и в связи с этим организовали экспериментальные исследо вания напряжений, возникающих в мостах под действием подвиж ной нагрузки.
Вполне естественно, что и у нас в России вопрос о полном пере смотре норм допускаемых напряжений в металлических мостах по ставлен на очередь и должен быть разрешен в ближайшее время. Особый практический интерес этот вопрос получит в связи с пред полагаемым расширением железнодорожного строительства в Рос сии и с изменениями осевых нагрузок подвижного состава.
Вопрос о нормах допускаемых напряжений стоит в самой тесной связи с расчетными нагрузками, с качествами строительных матери алов и с принятыми приемами расчета напряжений. Чем с большим
х) См. Annales des ponts et chaussees. Partie Administrative. Janvier — Fevrier 1915, annee 85, 9 serie, tome V. CM. Pontsrails supportant des voies ferrees etroites a la largeur d’un metre, pp. 98— 100. См. также G о u p i 1 A. Calcul et epreuves des ponts metalliques. Le nouveau Reglement du Ministere des Travaux publics du 8 janvier 1915. Le Genie Civil, 1915, tome 67, № 17 (1732), pp. 258—263. CM. p. 259.
*) Отмечу следующее: New York Central Lines specifications 1910. Union Paci fic railroad company Educational bureau of information Instruction papers. Omaha. 1. Railroad, 2. Union Pacific railroad. 1909; Pennsylvania. Railroad commission. Report, Harrisburg, 1906; American railway engineering association. General spe cification for steel railway bridges. 1910. Chicago, 30 p. (1. Bridges, Iron and steel, 2> Bridges, railroad, 3. Bridges, Specification.)