книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов
..pdfТогда эмпирически наблюдаемое распределение есть
Е (т; т, а, 6) = j Р ( - J -, т ) dW ( ' " У " ) * |
(6-68) |
Оно зависит от трех параметров: тУа и Ь> которые можно найти с помощью экспериментальных данных по разбросу т, рассмотрев, например, начальные моменты Alrk до 3-го порядка распределения £(т). В этом случае
* = 1, 2, 3, |
(6.69) 2Q |
Решив алгебраическую систему (6.69), по-' лучим:
т = (1 — z) 42— 1, г — (Мт/Ahf)3 /Их3; b = In [mMx2l(m -J- 1) (Мт)2];
а = In Mr — In m — (6/2).
|
|
(6.70) |
Числен |
|
Зависимость |
m(z) приведена |
иа рис. 6.6. |
||
ная зависимость |
||||
Исходя из вида |
графика можно |
заключить, |
т{1) (6.70) |
что т довольно чувствительна к величинам |
|
|
||
эмпирических моментов Мгк. В частности, если моменты |
||||
таковы, что z < 0,75, то это свидетельствует о практическом |
||||
отсутствии в наблюдаемом распределении термофлукдуа- |
||||
ционной компоненты. Значение |
г« 0 ,9 |
позволяет |
разбить |
об |
ласть изменения т на области |
малых |
и больших |
значении |
т9 |
что важно для качественного анализа. |
(6.68). |
|
Рассмотрим влияние величин т и b на распределение |
||
Его коэффициент вариации следующий: |
|
|
WE— |
1~ л /Ч г + Ч 1+-5Г-)- |
(6.71) |
Как видно из выражения (6.71), возможны два предельных случая. Сравнивая слагаемые в (6.71), с учетом зависимостей от уо/кТ m и Ь находим, что при
_ут_ |
(,фИ1Г - О |
(6.72) |
|
кт |
|||
|
|
|
|
Wj7 : |
—ч2 |
Wpу |
|
пг 12= |
|
т. е. распределение ^(т) контролируется термофлуктуаиноииым фактором разброса и близко к Г-распределеиию.
В случае неравенства, обратного (6.72),
w E ж syjb — W w ,
271
и распределение (6.68) является лог-иормальныад, что обуслов лено лимитирующим влиянием технологического фактора.
В промежуточном случае разброс т обусловлен действием обоих факторов. Соотношение нх вкладов в разброс следующее:
ft= -J -- =■ V nib ~ |
V уя/кТ; |
(6.73) |
технологический разброс больше термофлуктуацнониого, если
6 > 1 .
При обычных испытаньях на долговечность уа/к7'~10°н
условие б > 1 |
равносильно % ^10“1р1/2. Согласно выражению |
|||
Ц"А |
(6.73) |
доля |
технологического |
разброса |
(при заданном к) тем больше, чем мень |
||||
|
ше р (больше т )у чего и следовало ожи |
|||
|
дать. |
|
анализ экспериментальных |
|
\ |
Проведем |
|||
|
данных |
по |
статистическому |
разбросу |
\долговечности, исходя из развитого
|
представления |
о двух |
его факторах — |
|||
|
термофлуктуационном |
и технологиче |
||||
Рис. 6.7. Схематическая |
ском. |
Наша |
основная |
цель — обнару |
||
силовая зависимость дол |
жить, выделить и оценить величину тер- |
|||||
говечности УФ-облучае- |
мофлуктуационной компоненты. |
измене |
||||
мого полимера 208 |
Для расширения |
интервала |
||||
|
ния |
величины уо/'кТ |
используем |
также |
и результаты испытаний полимеров, подвергнутых иод на грузкой ультрафиолетовому (УФ) облучению. Изучению воздействия на долговечность полимеров УФ-облучения по
священы многие исследования. Мы но |
будем проводить сколь- |
|||
нибудь детального |
обзора полученных |
при этом результатов |
||
(он |
содержится в |
работе |
[208]), ограничившись привлече |
|
нием |
сведений, необходимых |
для обоснования использования |
данных по УФ-облучению при выяснении природы статистиче ского разброса. График эмпирической зависимости среднего зна чения долговечности полимера при УФ-облучспнн представлен на рис. 6.7 и. как видно, имеет два участка. Установлено, что в области а воздействие УФ нс проявляется, п разрушение но сит термофлуктуацпоннын характер, описываемый обычной за висимостью (В.З). В области б процесс разрушения лимитиру ется нс ожиданием соответствующих тепловых флуктуаций, а благоприятным попа чанном УФ-кванта, разрывающего меж атомные связи (возможно путем своеобразной термодеструкции, где роль тепловых флуктуаций играет локальный разогрев за счет поглощения части энергии кгаита света). Эмпирическое выражение для долговечности при этом имеет пил
туф = туф ехр (—ст/ггуф), |
(6.74) |
272
где т у ф и о у ф — некие параметры, связанные с воздействием
УФ-облучения, причем 0уф^> у/кТ. Принято считать, что наблю даемый при УФ-разрушении статистический «разброс частично может быть связан с систематическими ошибками опыта, вы званными методическими недостатками, однако главным образом он отражает присущий всем прочностным характеристикам ста тистический разброс степени опасности дефектных мест, с кото рых начинается разрушение» [208]. Мы полагаем, что указан ная совокупность причин образует лишь технологический фак тор разброса, который нс является единственным. В области а технологический фактор должен быть дополнен термофлуктуациоиным, а в области б — фактором, обусловленным случайным характером попадания на связь разрушающего ее УФ-кванта. Несмотря на различия в микроскопическом механизме разруше ния, характер статистической кинетики в обоих случаях одина ков: однородная марковская нспь. Эту общую аналогию можно углубить, сравнивая кинетики накопления продуктов разруше ния (свободных радикалов, субмикротрещин и т. д.), которые подобны |208]. Вследствие этого функция распределения долго вечности при УФ-разрушсшш должна быть такой же, как и в случае чисто термоактивированиого разрушения, т. е. в ко нечном счете распределением Е(т) (6.68). Однако физический смысл и величины параметров изменяются, что соответствует замене в 0
Toexp(f/o/kT) туф; у о / к Т оуф
в «радиационном» случае.
Таким образом, УФ-разрупюнне моделирует кинетику термоактнвированного разрушения и может быть привлечено для проверки предсказаний о виде функции распределения долговеч
ности (6.68) |
зависимостей пг(о/о), Ь(о/о) и др., где теперь |
|
Н |
у/кТ |
при термоактивированном разрушении; |
|
(6.75) |
|
СТуф |
при УФ-разрушении. |
Помимо этого представляет интерес выяснение собственно характера разброса долговечности УФ-облучаемых образцов.
По развитой выше методике разделения термофлуктуациониого и технологического вкладов нами обработаны опытные данные по разбросу долговечности серий идентичных образцов. В табл. 6.1 приведена информация об образцах (материал, объем серин), условия испытаний (температура всюду комнат ная), а также результаты обработки исходных данных: средние значения долговечности Л/т, значения других начальных момен тов Мт*, рассчитанные для них по формулам (6.70) значения параметров пи Ьу а и др. Поскольку имеющиеся в нашем рас поряжении данные по распределению «обычной» долговечности
18 Зтка.» |
248 |
273 |
<3
гг
а
'о
к
Информация об образцах и результаты обработки статистических исходных данных
(£L'9)
%‘9
ЕЭ ЧАИ
го *zMV
п '1JV
CUWО
( S ' -9 )
I-B U W
*1-9
1г—1
‘Л
TVиийээ
н eoticBd
- 9 0 OlfDHh
u/u qv
|
|
ID |
сэ |
— |
N |
|||
|
|
О |
о" |
сч |
со" |
|||
сч |
|
Г'- |
сп |
CD |
|
|||
со |
|
со |
со |
CD |
|
|||
|
|
ю |
|
|
|
|
|
|
о |
|
<хГ |
|
|
LD |
СО |
||
8 |
|
|
|
|
—Г |
сч" |
||
со |
со |
со |
CD |
|
||||
IO |
|
сч" |
|
СП |
|
|||
о |
|
|
|
|
|
|
|
О |
сч |
|
|
|
|
|
|
|
ID |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
OI |
|
г» |
|
г» |
ос |
|
|
|
||
О |
|
О |
О |
|
О |
О |
||
|
|
|
|
|
|
|||
X |
|
X |
X |
|
X |
X |
||
ю |
|
со |
1^ |
|
||||
|
СЮ |
|
сч |
со |
||||
«о |
|
со |
|
со |
||||
ID |
|
|
05 |
|
|
|
|
|
X |
|
X |
X |
|
X |
X |
||
О |
т—I |
о |
|
о |
о |
|||
CD |
|
оо |
ю |
|
|
|
Ю |
|
ОО |
|
СП |
о |
|
ОО |
05 |
||
|
|
|
|
|
|
о |
о |
|
X |
|
X |
X |
|
X |
X |
||
ю |
|
ю |
ID |
|
|
|
|
|
о |
о |
ID |
|
|
|
|
||
|
|
|
05 |
|
|
|
|
|
о |
|
о |
о |
|
|
|
|
|
00 |
|
сч |
ID |
|
|
|
|
|
|
00 |
CD |
|
|
|
|
||
0 |
|
ID |
ID |
|
о |
|
||
|
0 |
g |
|
& |
||||
^ |
о |
|
05 |
|||||
о |
о |
о |
|
|
|
сч |
||
|
|
|
|
|
|
со |
CD |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
—1 |
|
|
Ж |
Жо |
|
ж о |
|
жО |
||
. С , о Ж , |
о ж |
|
5 ° |
|
||||
О Он оСи Ж о |
Ж-Ж |
|
|
|||||
о с |
а с о с, |
g g |
|
ж сч |
||||
S Я |
S rt ^ |
S |
|
|||||
н ж |
н fas: >? |
н |
|
|
с |
„ |
||
— |
|
д |
^ к |
|
|
|
|
|
О »Ж (У«К О |
О«VD , |
|
||||||
Ж |
2 |
К |
3 о ж |
г ? |
|
|
ЗЙ |
|
С яО ^ у О |
5 © : |
|
||||||
|
«я |
|
са>> |
|
са >J |
|
|
|
|
со |
|
са -—• |
|
|
|
|
|
ограничены, для более широкого сопоставления с опытными данными ис пользованы также стати стические данные по дол говечности образцов, под вергаемых под нагрузкой УФ-облученшо (см, вы ше).
Как видно из табл. 6.1, в рассмотренных слу чаях технологический разброс б не превышает 15 % от термофлуктуани онного (и радиационного при УФ-облучеиии). Это означает, что распределе ние £(т) (6.68) должно быть близко к Г-распре- делеиию. Действительно, оказалось, что эмпириче ское распределение дол говечности (так называе мая кумулятивная ча стота)
E ( Tl) = * 7 ( A f + l ) ,
где i — номер в порядке возрастания наблюдаемо
го |
значения |
т = т,-, во |
всех |
случаях |
хорошо — |
с |
критерием |
согласия |
Колмогорова |
|
|
К = max \Р — Е \!^Й , |
||
равным 0,8 ^ |
К ^ 0,99— |
описывается Г-расиреде-
лением с |
указанными |
в |
|
табл. |
6.1 |
параметрами |
т |
и 0. |
Это |
проиллюстриро |
вано на рис. 6.8 и рнс. 6.9. На рис. 6.8 построена эмпирическая функция распределения Е\уотнося
щаяся к |
первой |
строке |
таблицы. |
Точки |
Y{ = |
= — 1р (1 — £]) |
соответ |
ствуют эмпирическим зна чениям Е I, отвечающим т,
274
взятым через каждые 50 с. Как видно, они хорошо ложатся на прямую, что соответствует показательному распределению (пре-
Рис. 6.8. Эмпирическая функ ция распределения долговечно сти 7:,(т) капрона, построенная на иеронпюстнон бумаге пока зательного распределения Y (т)
Рис. 6.9. Сопоставление рас четного (сплошная линия) и эмпирического (точки) рас пределений т УФ-облучаемо- го капрона
дельному выражению для Г-распределения при т = 1). Для наглядного представления технологического разброса нанесена
описывающая его лог-нормальная функция W\ |
|
(lnx—5,3)J |
|||||||||||||
(параметры взяты из 1-й строки табл. |
6.1)— таким |
было бы |
|||||||||||||
эмпирическое |
|
распределение |
долго |
|
|
|
|
|
|
||||||
вечности при отсутствии термофлук- |
С) |
1 |
2' |
3■ 4 Цб/( |
|||||||||||
туационного разброса. |
|
|
|
1дб |
|
i |
I |
|
/ |
||||||
Иа рис. 6.9 представлено сплошной |
-7 |
|
i |
у |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
линией |
расчетное |
Г-распределение, |
|
|
|
|
|||||||||
табулированное |
в работе |
1170], |
с па |
~2 |
|
А / |
I |
||||||||
раметрами из 3-й строки табл. |
6.1 — |
|
|
|
|
||||||||||
£ 3(т). Шкала |
времени т |
деформиро |
|
|
У |
|
|||||||||
вана |
неким |
преобразованием |
Уз(т), |
|
|
|
|
|
|||||||
выпрямляющим |
Е3у так |
что |
график |
-4 |
|
|
|
|
|
||||||
E3(YZ) — Уз является прямой |
линией. |
Рис. |
6.10. |
Эксперименталь |
|||||||||||
В этих же координатах нанесены точ |
ная |
зависимость |
|
дисперсии |
|||||||||||
ки, отвечающие |
значениям эмпириче |
технологического |
|
разброса |
|||||||||||
от величины ст/ст (точки, но |
|||||||||||||||
ского |
распределения. (Способ их по |
||||||||||||||
мера которых соответствуют |
|||||||||||||||
строения тот же, что и для зависимо |
строкам |
таблицы |
6.1) и со |
||||||||||||
сти Y\ на рис. 6.8.) Как видно, |
поставление |
ес |
с |
расчетной |
|||||||||||
обнаруживается хорошое совпадение. |
(6.66) |
(сплошная |
прямая |
||||||||||||
По найденным значениям Ь (при |
с произвольным |
наклоном) |
|||||||||||||
веденным |
в табл. |
6.1) |
на |
рис. 6.10 |
|
(6.67), |
обобщенной |
||||||||
построен |
график |
зависимости |
Ь(о/б) |
||||||||||||
с учетом |
(6.75). |
Видно, |
что |
экспериментальные точки ло |
жатся на прямую, что свидетельствует о постоянстве величины х^З-10"*3. Конечно, точек слишком мало для серьезной про верки расчетной зависимости 6 (a), однако полученное значение х приемлемо. Найденному значению х при доверительной
i8* |
275 |
|
вероятности 0,99 соответствует ошибка ± 1 % при задании на опыте величины уа/кТ.
Согласно расчету величина m (6.50), обобщенная в соответ ствии с выражением (6.75), есть
m = [1 — exp (—Pa/a)]'_I. |
(6.76) |
Как видно из данных табл. 6.1, значения m убывают с ро стом ъ/6 в качественном согласии с формулой (6.76), причем на примере капрона можно убедиться в справедливости выте кающей из (6.76) асимптотики
m ~ a/pa; ра/а «С 1, |
(6.76а) |
где в данном случае р = 8-10~3.
Перейдем к обсуждению полученных результатов. Они сви детельствуют о сравнительном малости вклада технологической компоненты и малости величины m — эффективного числа теп ловых разрушающих флуктуаций. Это вдвойне неожиданно, по скольку нашей работе предшествовало убеждение в том, что переход с микропа макроуровень связан с преодолением до статочно большого числа равновеликих барьеров, так что /и—^оо и выполняется закон больших чисел, уничтожающий проявления случайного характера тепловых флуктуаций, который прпс\ш элементарным событиям. Тсрмофлуктуационныо эффекты при разрушении тела исчезающе малы п, в частности, статистиче ский разброс поэтому контролируется технологическим фак тором. Надежны ли сделанные нами «революционные» выводы?
Как известно, статистические выводы должны быть осно ваны на испытании достаточно больших серий образцов. Так, доверительной вероятности 0,95 отвечает серия из 384 образцов.
Нами испытаны |
гораздо |
меньшие |
серин |
образцов (объемом |
N ~ 1 0 2). Кроме |
того, мало |
и само |
число |
серин: всего 5. Эта |
ограниченность экспериментальных данных не позволяет делать окончательных статистических выводов и обобщений о виде функции распределения и функциональной зависимости се па раметров.
Большой объем статистических испытаний необходим для выявления вида распределения на его периферии, поскольку центральные области любых распределений при соответствую щем подборе свободных параметров (среднего и дисперсии) всегда совпадают. Привлечения больших серин можно избежать, если для функции распределения удастся построить «вероятно стную бумагу», т. е. указать такие координаты, в которых она выпрямляется [66]. На вероятностной бумаге даже малые серии достаточно представительны, особенно если заранее можно ука зать наклон прямой. Именно построение вероятностных бумаг нами и использовалось. Особенно убедительным выглядит пере строение функции распределения долговечности капрона в полу логарифмических координатах (см. рис. 6.9). Оно свидетель-
276
ствуег о показательном распределении в данном случае, что является прямым отражением термофлуктуациоиной статистики элементарного акта разрушения (6*1). Отметим, что на пока зательное распределение долговечностей стеклянных пластин, установленное посредством построения вероятностной бумаги,
указано также в работе |
|302]. |
|
||||
Чтобы |
выяснить, |
не явля |
wr |
|||
ется ли |
эмпирическое |
распре |
||||
деление |
долговечности |
ввиду |
|
|||
малости |
объема |
серии |
образ |
|
||
цов нечувствительным |
к виду |
|
||||
описывающей |
его |
функции |
|
|||
распределсния, эмпирическое |
|
|||||
распределение |
долговечности |
|
||||
УФ-облучаемого |
|
капрона-3 |
|
|||
(согласно рис. 6.9 являющееся |
|
|||||
Г-распределением) на рис. 6.11 |
|
|||||
построено |
на |
вероятностной |
|
|||
бумаге широко |
используемого |
|
||||
распределения Вейбулла |
|
|||||
W (т) = |
|
1 — ехр [— (т/т*)6], |
|
туационное происхождение, ofусловленное случайным характе ром тепловых разрушающих флуктуаций. Разумеется, этот вы вод опирается на использование довольно ограниченных данных. Для общих выводов необходимы дополнительные исследования. Здесь нам важна лишь демонстрация возможностей эмпириче ской интерпретации термофлуктуациоиного разброса. В этой связи обсуждаемый вопрос о количественном соотношении тсрмофлуктуацношюго и технологического вкладов не столь важен, поскольку термофлуктуационнаи компонента разброса, отражая фундаментальный аспект термоактивированного разрушения, всегда качественно присутствует в той или иной количественной мере, определяя его нижнюю границу, зависящую от вели чины т. Доля технологического разброса отражает, в конечном счете, технику проведения эксперимента — реальную степень идентичности опыта при статистических испытаниях. Однако поднятая при анализе природы разброса проблема величины т имеет фундаментальный характер, поскольку т — основная ха рактеристика проявлений термофлуктуацнонной статистики при разрушении, содержащая информацию о кинетике разрыва об разца. Малые значения т приводят к важному физическому выводу о быстром «критическом» разрушении по истечении не которого инкубационного периода — «затишья», величина кото рого и лимитирует долговечность.