книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

3.1.2. Стационарные случайные последовательности. Дискретный белый шум

Рассмотрим некоторые наиболее распространенные типы слу­ чайных последовательностей. Зафиксируем моменты времени в порядке их возрастания и сопоставим им в соответствие значения последовательности xj,x2 ..... xk. . Важным классом случайных по­

следовательностей являются стационарные случайные последо­ вательности.

Стационарной в широком смысле называется такая последо­ вательность, у которой математическое ожидание от времени не зависит, а корреляционная функция зависит от разности (г - j) :

Xj = х ;

k{i - j) = М{(ху - х,-)(xj - xj У }

Из последнего соотношения также следует независимость от времени дисперсии стационарной последовательности, поскольку

<т2 = / с ( 0 ) .

Если перечисленные свойства не выполняются, то последова­ тельность называется нестационарной.

Стационарной в узком смысле является такая последователь­ ность, для которой плотность /(Х ],,....хк) , введенная для любого конечного набора значений процесса, при одновременном измене­ нии всех моментов времени на некоторую величину ц не изменя­ ется, т.е. Д х ,,,....хк) = Д х 1+И „.... хА-+ц)

Последовательность, у которой математическое ожидание ну­ левое (х = 0), называется центрированной. Реализации, пред­ ставленные на рис. 3.1.1, соответствуют центрированной последо­ вательности. Пример реализации нецентрированной случайной последовательности приведен на рис. 3 .1 .2 .

Понятно, что нецентрированная случайная последовательность, у которой математическое ожидание непостоянно, является неста­ ционарной, так что реализация на рис. 3 .1 . 2 представляет собой пример нестационарной последовательности.

Рассмотрим последовательность, значения которой в разные моменты времени между собой независимы

к

Н

Рис. 3.1.2. Пример реализации нецентрированной случайной последовательности

Поскольку из условия независимости следует некоррелирован­ ность значений случайной последовательности, нетрудно понять, что корреляционная функция такой последовательности будет иметь следующий вид:

где <,у - символ Кронеккера.

Последовательность, имеющая корреляционную функцию вида (3.1.8) называется дискретным белым шумом. Иными словами, дискретный белый шум это такая последовательность, значения которой в различные моменты времени между собой некоррелиро­ ванны. Если белый шум центрированный, а дисперсии для всех моментов времени одинаковы, то шум будет стационарным. При­ мер реализации такого шума представлен на рис. 3.1.3.

но определить ф.п.р.в. / ( х )5.... хк) для любого набора значений

последовательности в произвольные моменты времени, в том чис­ ле и для вектора, включающего значения последовательности во все предшествующие моменты времени. Иными словами, задание (3.1.1) и (3.1.3) обеспечивает полное описание его статистических свойств. Это есть следствие того факта, что гауссовская плотность полностью определяется двумя первыми моментами.

f (Х[,х2,х 3 ) для вектора, составленного из значений последовательно­

сти х = (х ,,х 2,х 3)т

Поскольку вектор х = (Х| ,х 2 ,х 3 )т гауссовский, то для отыскания со­ ответствующей ему ф.п.р.в. достаточно найти математическое ожидание

моменты времени в порядке возрастания и сформируем вектор Х],х2.....хк . Для этого вектора может быть записана совместная плотность распределения вероятности / (Х],.... хк), для которой (см. задачу 3.1.1), как следует из формулы умножения плотностей вероятности (1.4.1), в общем случае справедливо представление

Л * i>....хк ) = Я хк 1 хк-\>хк-г,~х\)/(хк-\ /хк-2 ,хк-з.-х,)•••/(х,).(3.1.9)

При исследовании временных свойств последовательностей существенным является вопрос о зависимости статистических

дания и матрицы ковариаций для последовательности (3.1.11) оп­ ределяется с помощью рекуррентных соотношений:

позволяющих значения на текущем шаге вычислять с использова­ нием соответствующих значений на предыдущем шаге.

Из (3.1.15) с очевидностью следует, что последовательность, формируемая с помощью соотношения (3.1.11), при центрирован­ ном характере порождающих шумов будет центрированной, когда центрированным является вектор начальных условий.

При необходимости нетрудно, используя правила преобразова­ ния случайных векторов и соотношения (3.1.11), (3.1.12), получить

матрицу ковариаций />\ для составного вектора х ( -(.vo,.V|T,...,x/)T,

со значениями последовательности во все предшествующие мо­ менты времени, включая начальное значение (см. задачу 3.1.6).

Достоинство описания последовательностей с использованием формирующего фильтра (3.1.11) и соотношений (3.1.15), (3.1.16), заключается в том, что с их помощью рекуррентно может решать­ ся как задача формирования самой последовательности, так и за­ дача вычисления соответствующих ей расчетных статистических характеристик в виде математических ожиданий и матриц кова­ риаций. В частности, диагональные элементы матрицы ковариаций

определяют расчетные значения СКО ст;(у) = /)(У,у], / = 1.л для

каждой компоненты вектора состояния. С учетом сказанного фор­ мирующие фильтры (3.1.11) широко используются при решении прикладных задач для моделирования случайных последователь­ ностей. С этой целью необходимо, как это описано в разделе 1.5, с использованием датчика случайных чисел сформировать случай­ ный вектор л'0, векторы w,- и, привлекая рекуррентные соотноше­ ния (3.1.11), получать необходимые значения реализаций, форми­ руемых в общем случае с использованием соотношения

г/=Я,.лу. (3.1.17)

Далее, если это особо не оговаривается, при рассмотрении при­ меров получения реализаций с помощью формирующих фильтров для определенности предполагается, что используется датчики га­ уссовских случайных величин.

♦ П р и м e p 3.1.2. Частным случаем последовательности (3.1.11) является последовательность, в которой отсутствуют порождающие шу­ мы, т.е. последовательность вида

(3.1.18) Для определения ее математического ожидания необходимо исполь­ зовать (3.1.15), а матрица ковариаций в этом случае может быть найдена, если задаться матрицей ковариаций в начальный момент времени Р0 и

выражением Pj = O iPj_id>]

Если матрица Ф, - единичная, т.е. Ф,- = Е , то в результате получаем

представляющую собой постоянный вектор, с математическим ожидани­ ем х0 и матрицей ковариаций Р0 .

П р и м е р 3.1.3. Если в уравнении формирующего фильтра (3.1.11)

Ф, = Е и имеются порождающие шумы, причем Г, = Е , то тогда

Xj = + Wj (3.1.20)

Ясно, что такая последовательность может быть представлена в виде суммы двух некоррелированных между собой слагаемых, одним из кото­ рых является постоянный случайный вектор, а другим - сумма некорре­ лированных между собой значений дискретного белого шума от первого до текущего моментов времени, т.е.

Xj = х 0, для любого i Соотношение (3.1.16) в данном случае конкрети­

зируется как

Pj = Pj-\ + Q i .

Если матрицы ковариаций для порождающего шума постоянные, т.е.

Из последних двух соотношений следует, что, несмотря на постоянст­ во матриц, определяющих формирующий фильтр, получающаяся после­ довательность не является стационарной, поскольку соответствующая ей матрица ковариаций при увеличении времени также увеличивается.

Последовательность (3.1.20) называется последовательностью с не­ коррелированными приращениями. Это определение есть следствие

того, что для нее приращения (х,- - Xj ) на непересекающихся интерва­

лах времени между собой некоррелированны. В этом легко убедиться, поскольку на таких интервалах приращения определяются значениями белого шума, соответствующими различным моментам времени. Если все векторы гауссовские, то такие приращения будут между собой независи­ мыми, а последовательность (3.1.20) будет называться последовательно­ стью с независимыми приращениями.

В скалярном случае последовательность (3.1.20) называется винеровской последовательностью. В англоязычной литературе для нее исполь­ зуется термин (random walk - случайное блуждание).

П р и м е р 3.1.4. В разделе 2.1 главы 2 приводился пример описа­ ния изменения высоты за время проведения измерений в виде

где Xg, V - начальная высота и вертикальная скорость, полагаемая по­

стоянной; /,• = (/ - 1)Дt - моменты времени от начала наблюдения.

В главе 2 такая модель изменения высоты сводилась к заданию двух неизвестных величин. Покажем, что эту модель можно получить и с ис­ пользованием формирующего фильтра. Введем вектор состояния

Если задаться матрицей ковариаций для начального момента времени в виде

то, используя (3.1.16), нетрудно убедиться в том, что

= /^[U] = erg + [(/ - 1)Д/]2 •