1.4. Геометрические вероятности.

Еще в самом начале развития теории вероятностей была замечена недостаточность «классического» определения вероятности, основан­ного на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этого определения и построению понятия вероятности также для случаев, когда мыслимо бесконечное множество исходов. При этом по-прежнему основную роль играло понятие «равновероятности» не­которых событий.

Общая задача, которая ставилась и привела к расширению поня­тия вероятности, может быть сформулирована следующим способом.

Пусть, например, на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g с квадрируемой границей. В область G наудачу бросается точка и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область g. При этом выра­жению «точка бросается наудачу в область G» придается следующий смысл: брошенная точка может попасть в любую точку области G, вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади и т. д.) и не зависит от ее рас­положения и формы.

Таким образом, по определению, вероятность попадания в область g при бросании наудачу точки в область G равна

(1.4.1)

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Задача о встрече. Два лица А и В условились Встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. При­шедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу и мо­менты прихода независимы.

Решение. Обозначим моменты прихода лица А через х и лица В через у. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы .

Будем изображать хOу как декартовы координаты на плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60; благоприятствующие

встрече — расположатся в заштрихован­ной области (рис. 1.4.1).

Искомая вероятность равна отно­шению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата: .

Пример 3. Задача Бюффона. Плоскость разграфлена парал­лельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длины 2l(l≤a). Найти вероят­ность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Решение. Обозначим через х расстояние от центра до ближай­шей параллели и через —угол, составленный иглой с этой парал­лелью. Величины х и полностью определяют положение иглы. Всевозможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами a и . Из рис. 1.4.2. видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы .

Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отноше­нию площади заштрихованной на рис. 1.4.3. области к площади прямо­угольника

Заметим, что задача Бюффона являлась исходным пунктом для решения некоторых проблем теории стрельбы, учитывающих размеры снаряда.

Полученная формула была использована для опытного определе­ния приближенного значения числа . Таких опытов с бросанием иглы было проведено довольно много. Мы приведем результаты лишь некоторых из них(см. Табл. 1.4.1).

Табл. 1.4.1

Экспериментатор	Год	Число бросков иглы	Экспериментальное значение
Вольф	1850	5000	3,1596
Смит	1855	3204	3,1553
Фокс	1894	1120	3,1419

Так как из полученной нами формулы следует равенство , то при большом числе бросанийп приближенно , гдет — число происшедших при этом пересечений.