- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90
- •1. Теоретическая часть. Введение
- •Раздел 1. Понятие события и его вероятности.
- •1.1. Предмет теории вероятности.
- •1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
- •1.3. Классическое определение вероятности.
- •1.4. Геометрические вероятности.
- •1.5. Частота и вероятность.
- •1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы.
- •1.8. Формула полной вероятности.
- •1.9 Формула Бейеса.
- •Раздел 2. Последовательные независимые испытания
- •2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.
- •2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
- •Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.
- •3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
- •3.2. Свойства функции распределения.
- •3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •3.4. Числовые характеристики случайных величин.
- •Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.
- •4.1. Биномиальное распределение.
- •4.2. Теорема Пуассона
- •4.3. Закон Пуассона.
- •4.4. Равномерное распределение.
- •4.5. Показательное распределение.
- •4.6.Нормальный закон распределения.
- •Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы).
- •5.1. Понятие о системе случайных величин.
- •5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
- •5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
- •5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
- •5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).
- •5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
- •6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
- •6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
- •6.4. Распределение произведения.
- •6.5. Распределение квадрата случайной величины.
- •6.6. Распределение частного.
- •6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
- •7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
- •7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
- •7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
- •Раздел 8. Характеристические функции.
- •8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
- •8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
- •Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
- •9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
- •9.2. Закон больших чисел.
- •9.3. Следствия закона больших чисел.
- •Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •10.1. Центральная предельная теорема.
- •10.2. Теорема Ляпунова.
- •10.3. Теорема Лапласа.
- •2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.
- •1.1. Краткая теоретическая часть.
- •1.2. Тест.
- •1.3. Решение типовых задач.
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.
- •2.1. Краткая теоретическая часть.
- •2.2. Тест
- •2.3. Решение типовых задач
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1. Краткая теоретическая часть
- •3.2. Тест
- •3.3. Решение типовых задач
- •3.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
- •4.1. Краткая теоретическая часть
- •4.2. Тест
- •4.3. Решение типовых задач
- •4.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 5. Формула полной вероятности.
- •5.1. Краткая теоретическая часть
- •5.2. Тест.
- •5.3. Решение типовых задач
- •5.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 6. Формула Бейеса.
- •6.1. Краткая теоретическая часть
- •6.2.Тест
- •6.3. Решение типовых задач
- •6.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 7. Последовательные независимые испытания.
- •7.1. Краткая теоретическая часть
- •7.2. Тест
- •7.3. Решение типовых задач
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •8.1. Краткая теоретическая часть а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •8.2. Тест
- •А) только к дискретным случайным величинам
- •8.3. Решение типовых задач а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •9.1. Краткая теоретическая часть
- •9.2. Тест
- •9.3. Решение типовых задач
- •9.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •10.1. Краткая теоретическая часть
- •10.2. Тест
- •10.3. Решение типовых задач
- •10.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 11. Закон Пуассона.
- •11.1. Краткая теоретическая часть
- •11.2. Тест
- •11.3. Решение типовых задач
- •11.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 12. Закон нормального распределения.
- •12.1. Краткая теоретическая часть
- •12.2. Тест
- •12.3. Решение типовых задач
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
6.4. Распределение произведения.
Пусть , гдеи— скалярные случайные величины с совместной плотностью распределения. Найдем распределениеY.
|
(6.4.1) |
На рис. событие показано штриховкой. Теперь очевидно, что
|
(6.4.2) |
|
(6.4.3) |
6.5. Распределение квадрата случайной величины.
Пусть ; X — непрерыная случайная величина с плотностью . Найдем. Если, тои. В том случае, когдаполучаем:
|
(6.5.1) |
|
(6.5.2) |
В частном случае, когда , имеем:
|
(6.5.3) |
Если при этом , , то
|
(6.5.4) |
6.6. Распределение частного.
Пусть ; X — непрерывная случайная величина с плотностью . Найдем.
|
(6.6.1) |
На рис. 6.6.1 видно, что событие — изображают заштрихованные области. Поэтому
|
(6.6.2) |
|
(6.6.3) |
Если ; ; независимы, то легко получить:
|
(6.6.4) |
Распределение (6.6.4) носит имя Коши. Оказывается, это распределение не имеет математического ожидания и дисперсии.
6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
Рассмотрим следующую задачу: случайная величина Y есть функция нескольких случайных величин ;
|
(6.7.1) |
Пусть нам известен закон распределения системы аргументов ; требуется найти числовые характеристики величины Y, в первую очередь—математическое ожидание и дисперсию.
Представим себе, что нам удалось найти закон распределения g(у) величины Y. Тогда задача об определении числовых характеристик становится простой; они находятся по формулам:
|
(6.7.2) |
|
(6.7.3) |
Однако задача нахождения закона распределения g(y) величины Y часто оказывается довольно сложной. Для решения поставленной задачи нахождение закона распределения величины Y не нужно: чтобы найти только числовые характеристики величины Y, нет надобности знать ее закон распределения; достаточно знать закон распределения аргументов .
Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин, не определяя законов распределения этих функций.
Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая — функции одного аргумента.
Имеется случайная величина X с заданным законом распределения; другая случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью: Y= (Х).
Требуется, не находя закона распределения величины Y, определить ее математическое ожидание:
|
(6.7.4) |
Рассмотрим сначала случай, когда X есть дискретная случайная величина с рядом распределения:
Табл. 6.7.1
xi |
X1 |
x2 |
… |
xn |
pi |
P1 |
p2 |
… |
pn |
Запишем в виде таблицы возможные значения величины Y и вероятности этих значений:
Табл. 6.7.2
( xi) |
( x1) |
( x2) |
… |
( xn) |
pi |
P1 |
P2 |
… |
pn |
Таблица 6.7.2 не является рядом распределения величины Y, так как в общем случае некоторые из значений
|
(6.7.5) |
могут совпадать между собой. Для того чтобы от таблицы (6.7.1) перейти к подлинному ряду распределения величины Y, нужно было бы расположить значения (6.7.5) в порядке возрастания, объединить столбцы, соответствующие равным между собой значениям Y, и сложить соответствующие вероятности. Математическое ожидание величины Y можно определить по формуле
|
(6.7.6) |
Очевидно, величина ту — М((Х)),определяемая по формуле (6.7.6), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут объединены заранее, а порядок членов изменен.
В формуле (6.7.6) для математического ожидания функции не содержится в явном виде закона распределения самой функции, а содержится только закон распределения аргумента. Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не требуется знать закон распределения этой функции, а достаточно знать закон распределения аргумента.
Заменяя в формуле (6.7.6) сумму интегралом, а вероятность рi— элементом вероятности, получим аналогичную формулу для непрерывной случайной величины:
|
(6.7.7) |
где f(x) — плотность распределения величины X.
Аналогично может быть определено математическое ожидание функции у(Х,Y) от двух случайных аргументов X и Y. Для дискретных величин
|
(6.7.8) |
где — вероятность того, что система (X,Y) примет значения (xi yj). Для непрерывных величин
|
(6.7.9) |
где f(x, у) — плотность распределения системы (X, Y).
Аналогично определяется математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных величин:
|
(6.7.10) |
где — плотность распределения системы .
Формулы типа (6.7.10) весьма часто встречаются в практическом применении теории вероятностей, когда речь идет об осреднении каких-либо величин, зависящих от ряда случайных аргументов.
Таким образом, математическое ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено помимо закона распределения функции. Аналогично могут быть найдены и другие числовые характеристики функции — моменты различных порядков. Так как каждый момент представляет собой математическое ожидание некоторой функции исследуемой случайной величины, то вычисление любого момента может быть осуществлено приемами, совершенно аналогичными вышеизложенным. Здесь мы приведем расчетные формулы только для дисперсии, причем лишь для случая непрерывных случайных аргументов.
Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой
|
(6.7.11) |
где т=М[(x)] — математическое ожидание функции (X); f(х) — плотность распределения величины X.
Аналогично выражается дисперсия функции двух случайных аргументов:
|
(6.7.12) |
где — математическое ожидание функции(Х,Y); f(x,у) — плотность распределения системы (X,Y). Наконец, в случае произвольного числа случайных аргументов, в аналогичных обозначениях:
|
(6.7.13) |