Министерство образования Российской Федерации

Казанский государственный технический университет

им. А.Н. Туполева

Теория вероятностей

(Учебное пособие)

Казань 2004

Предназначено для студентов специальностей 0102, 2201-2205, занимающихся изучением компьютерных и информационных технологий.

Основная цель, которую ставили перед собой авторы состоит в том чтобы в методически более удобной форме изложить материал необходимый для изучения курса теории вероятностей и получения навыков решения вероятностных задач. Пособие содержит теоретическую часть, практические занятия, тесты и разделы, позволяющие самостоятельно развивать навыки решения практических задач.

Пособие выполнено в электронном виде, работает в среде Learning Space 5.01 и может быть использовано для обучения студентов по дистанционной технологии.

Содержание

Содержание 3

1. Теоретическая часть. 7

Введение 7

Раздел 1. Понятие события и его вероятности. 10

1.1. Предмет теории вероятности. 10

1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий. 12

1.3. Классическое определение вероятности. 15

1.4. Геометрические вероятности. 19

1.5. Частота и вероятность. 22

1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей. 23

1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы. 28

1.8. Формула полной вероятности. 32

1.9 Формула Бейеса. 34

Раздел 2. Последовательные независимые испытания 36

2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли. 36

2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов. 39

Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства. 42

3.1. Понятие случайной величины и функции распределения. 42

3.2. Свойства функции распределения. 44

3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины. 45

3.4. Числовые характеристики случайных величин. 48

Раздел 4. Примеры распределений случайных величин. 56

4.1. Биномиальное распределение. 56

4.2. Теорема Пуассона 57

4.3. Закон Пуассона. 58

4.4. Равномерное распределение. 60

4.5. Показательное распределение. 62

4.6. Нормальный закон распределения. 63

Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы). 71

5.1. Понятие о системе случайных величин. 71

5.2. Функция распределения системы двух случайных величин. 72

5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. 74

5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения. 76

5.5. Зависимые и независимые случайные величины. 79

5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. 81

5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора). 85

5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин. 87

Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90

6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента. 90

6.2. Закон распределения функции двух случайных величин. 94

6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения. 95

6.4. Распределение произведения. 99

6.5. Распределение квадрата случайной величины. 100

6.6. Распределение частного. 100

6.7. Числовые характеристики функций случайных величин. 101

Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках. 105

7.1. Основные теоремы о математическом ожидании. 105

7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины. 108

7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин. 111

Раздел 8. Характеристические функции. 113

8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций. 113

8.2. Предельные теоремы для характеристических функций. 117

Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин. 119

9.1. Сходимость последовательностей случайных величин. 119

9.2. Закон больших чисел. 120

9.3. Следствия закона больших чисел. 125

Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей. 127

10.1. Центральная предельная теорема. 127

10.2. Теорема Ляпунова. 128

10.3. Теорема Лапласа. 130

2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. 132

Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности. 132

1.1. Краткая теоретическая часть. 132

1.2. Тест. 133

1.3. Решение типовых задач. 134

1.4. Задачи для самостоятельной работы. 137

Занятие 2. Геометрическое определение вероятности. 139

2.1. Краткая теоретическая часть. 139

2.2. Тест 140

2.3. Решение типовых задач 142

2.4. Задачи для самостоятельной работы 145

Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. 148

3.1. Краткая теоретическая часть 148

3.2. Тест 148

3.3. Решение типовых задач 150

3.4. Задачи для самостоятельной работы 152

Занятие 4. Теорема сложения вероятностей. 155

4.1. Краткая теоретическая часть 155

4.2. Тест 155

4.3. Решение типовых задач 157

4.4. Задачи для самостоятельной работы 159

Занятие 5. Формула полной вероятности. 162

5.1. Краткая теоретическая часть 162

5.2. Тест. 162

5.3. Решение типовых задач 163

5.4. Задачи для самостоятельной работы 165

Занятие 6. Формула Бейеса. 168

6.1. Краткая теоретическая часть 168

6.2.Тест 168

6.3. Решение типовых задач 169

6.4. Задачи для самостоятельной работы 171

Занятие 7. Последовательные независимые испытания. 174

7.1. Краткая теоретическая часть 174

7.2. Тест 176

7.3. Решение типовых задач 178

7.4. Задачи для самостоятельной работы 180

Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины. 184

8.1. Краткая теоретическая часть 184

8.2. Тест 185

8.3. Решение типовых задач 187

8.4. Задачи для самостоятельной работы 192

Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин. 196

9.1. Краткая теоретическая часть 196

9.2. Тест 197

9.3. Решение типовых задач 198

9.4. Задачи для самостоятельной работы 202

Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины. 211

10.1. Краткая теоретическая часть 211

10.2. Тест 211

10.3. Решение типовых задач 213

10.4. Задачи для самостоятельной работы 215

Занятие 11. Закон Пуассона. 221

11.1. Краткая теоретическая часть 221

11.2. Тест 221

11.3. Решение типовых задач 222

11.4. Задачи для самостоятельной работы 223

Занятие 12. Закон нормального распределения. 227

12.1. Краткая теоретическая часть 227

12.2. Тест 227

12.3. Решение типовых задач 229

12.4. Задачи для самостоятельной работы 231

Литература 235