6.2.Тест

1. При решении каких задач следует применить формулу Бейеса?

а) Найти вероятность события В, которое зависит от гипотез

б) Найти вероятность справедливости гипотезы при условии, что связанное с ней событиеВ произошло

в) Найти апостериорную вероятность гипотезы при условии, что событиеВ, связанное с ней, имело место

г) Найти априорную вероятность гипотезы при условии, что событиеВ, связанное с ней, имело место

д) Найти вероятность справедливости гипотезы в проводимом опыте

2. Какие условия должны накладываться на событие В и гипотезы ?

а) Гипотезы представляют собой полную группу несовместных событий

б) Гипотезы представляют собой полную группу равновозможных событий

в) Событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано n гипотез

г) Событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых не может быть сделана ни одна из n гипотез

3. Какой вид имеет формула Бейеса?

а)

б)

в)

1. Как называются вероятности ?

а) Априорные вероятности события

б) Апостериорные вероятности события

6.3. Решение типовых задач

Пример 6.1. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3.

Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если:

а) принят сигнал «точка»;

б) принят сигнал «тире».

Решение.

Пусть событие А—принят сигнал «точка», а событие В — принят сигнал «тире».

Можно сделать две гипотезы: Н₁ — передан сигнал «точка», Н₂ — передан сигнал «тире».

По условию Р(Н₁):Р(Н₂) = 5:3.

Кроме того, P(Н₁) + P(Н₂) = l.

Поэтому P(Н₁) = , P(Н₂) = .

Известно, что

Вероятности событий A и В находим по формуле полной вероятности:

Искомые вероятности будут:

Пример 6.2. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию.

Решение.

Введем событие А, состоящее в том, что первая деталь доброкачественная.

Гипотезы:

H₁ — взята партия с недоброкачественными деталями,

H₂ — взята партия доброкачественных деталей.

По условию задачи

Р(H₁) = Р(H₂) = ,

Р (A| H₁) = ,

Р (A| H₂) = 1.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность события А будет

.

После первого испытания вероятность того, что партия содержит недоброкачественные детали, равна

Вероятность того, что партия содержит только доброкачественные детали,

Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события также находится по формуле полной вероятности.

Если и— вероятности гипотезH₁ и H₂ после испытания, то согласно предыдущим вычислениям

, .

Кроме того,

,

.

Поэтому искомая вероятность