2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.

Поставим теперь более общую задачу.

Рассмотрим последовательность n независимых испытаний в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна.

Обозначим через .А_i – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании – событие состоящее том чтоА не произойдет в i-ом испытании соответственно.

Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.

Обозначим через В_m – событие состоящее в том что, событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.

(2.2.1)

Здесь А_i – событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие В_m представляет собой сумму несовместных событий, поэтому

Число слагаемых в выражении равно , но они все различные. Для вычисленияиспользуют производящую функцию

ProizFunc

(2.2.2)

Зададимся целью найти в этом произведении коэффициент при. Для этого перемножим биномы и произведем приведение подобных членов. Каждый член содержащийбудет иметь в качестве коэффициента произведениеm букв p с какими-то индексами и n-m букв q с другими оставшимися индексами, а после приведения подобных членов коэффициент при будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа.

Таким образом, вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции, то есть

	(2.2.3)
	(2.2.4)

Пример 1. Производится стрельба по бегущей мишени. Вероятность попадания при первом выстреле p₁ =0,1; при втором p₂ =0,2; при третьем p₃ =0,3 и при четвертом p₄ =0,4. Определить вероятность одного, двух, трех, четырех и ни одного попадания при четырех выстрелах.

Решение:

Составляем производящую функцию для данной задачи

Выполняя, элементарные преобразования и приведение подобных членов получаем

Откуда следует, что

- вероятность ни одного попадания в мишень.

- вероятность одного попадания в мишень.

- вероятность двух попаданий в мишень.

- вероятность трех попаданий в мишень.

- вероятность четырех попаданий в мишень.

При решении многих практических задач, кроме определения вероятности , приходится вычислять вероятность появлений события А не менее m раз в n независимых испытаниях.

Обозначим через событие состоящее в том, чтоА появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность обозначим , тогда

(2.2.5)

Согласно теоремы сложения вероятностей событий имеем

(2.2.6)

В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой

(2.2.7)

Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.

3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Прежде чем переходить к формальному его определению, мы остановимся на рассмотрении примеров.

Пример 1. Число космических частиц, попадающих на определенный участок земной поверхности в течение промежутка времени определенной длины, подвержено значительным колебаниям в зависимости от многих случайных обстоятельств.

Пример 2. Размер уклонения точки падения снаряда от центра цели определяется большим количеством разнообразных причин, носящих случайный характер. В результате в теории стрельбы вынуждены считаться с явлением рассеивания снарядов около центра цели как со случайным явлением и рассматривать указанные уклонения как случайные величины.

Пример 3.Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется в зависимости от столкновений с другими молекулами. Этих столкновений очень много даже в течение короткого промежутка времени. Зная скорость молекулы в данный момент, нельзя с полной определенностью указать ее значение, скажем, через 0,01 или 0,001 секунды. Изменение скорости молекулы носит случайный характер.

Приведенные примеры показывают с достаточной определенностью, что со случайными величинами приходится иметь дело в самых разнообразных областях науки и техники.

Несмотря на всю разнородность конкретного содержания приведенных нами примеров, все они с точки зрения математики представляют одну и ту же картину. А именно, в каждом примере мы имеем дело с величиной, так или иначе характеризующей исследуемое явление. Каждая из этих величин под влиянием случайных обстоятельств способна принимать различные значения. Заранее указать, какое значение примет эта величина, нельзя, так как оно меняется случайным образом от испытания к испытанию.

Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счетным и несчетным; значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы сплошь, или же не заполнять интервалы, но располагаться всюду плотно. Для того чтобы задавать вероятности значений случайных величин, столь различных по своей природе, и притом задавать их одним и тем же способом, в теории вероятностей вводят понятие функции распределения случайной величины.

Рассмотрим пример с подбрасыванием игральной кости:

Выпадению одного и двух очков сопоставим число –1 и будем считать, что это проигрыш;

Выпадению трех и четырех очков сопоставим число 0 и будем считать, что это ничья;

Выпадению пяти и шести очков сопоставим число +1 и будем считать, что это выигрыш;

Множество элементарных исходов в данном случае будет . В соответствии с принятыми правилами на множестве элементарных исходов определена функция

Аргументом это функции является случайное событие. При определении случайной величины будем исходить в соответствии с общими понятиями случайного события из множества элементарных событий U, поля событий F определенной на нем вероятности P(A). Пусть задано вероятностное пространство {U,F,P}.

Определение 1. Случайной величиной называется вещественная функция X(u), определенная на элементах пространства элементарных событий U, так что - числовой оси, множествоU₁ на которых функция X(u) строго меньше x является элементом поля событий F, то есть

(3.1.1)

Иначе можно считать, что X(u) есть случайная величина, если для любого события определена вероятность. Часто аргумент функцииX(u) можно опускать, то есть .

Пусть X — случайная величина и х — произвольное действительное число. Вероятность того, что X, примет значение, меньшее чем х будет зависеть от значений x. Таким образом вероятность события есть некоторая функция аргументаx, которая называется функцией распределения вероятностей случайной величины X:

(3.1.2)

Условимся в дальнейшем, как правило, случайные величины обозначать прописными латинскими буквами, а принимаемые ими значения — строчными.

Резюмируем сказанное, случайной величиной называется переменная величина, зна­чения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей.

Пример 1. Мы скажем, что случайная величина нормально распределена, если ее функция распределения имеет вид

где С > 0, > 0,m — постоянные. Впоследствии мы установим связь между постоянными иС и выясним теоретико-вероятностный смысл параметров m и . Нормально распределенные случайные величины играют особо важную роль в теории вероятностей и ее приложениях; в дальнейшем у нас будет много поводов убедиться в этом.