Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Пример 8.5. Проекция Х радиуса-вектора случайной точки окружности радиуса a на диаметр - имеет функцию распределения (закон арксинуса)

Определить:

а) вероятность того, что Х окажется в пределах промежутка ();

б) квантиль x_0,75;

в) плотность вероятности f(x) случайной величины X;

г) моду и медиану распределения.

Решение.

а) Вероятность того, что Х окажется в пределах (), равна

.

б) По условию p = 0,75; решая уравнение

,

находим

.

в) Плотность вероятности f(x) случайной величины Х равна:

1) для всех x, принадлежащих промежутку (- а, а),

,

2) нулю для всех остальных значений x.

г) Закон арксинуса моды не имеет, так как функция

не имеет максимума.

Решая уравнение

,

находим медиану x_0,5 = 0.

Пример 8.6. Плотность вероятности случайной величины равна

Требуется:

а) найти коэффициент а;

6) найти функцию распределения случайной величины X;

в) вычислить вероят­ность попадания случайной величины в интервал .

Решение.

а) Коэффициент а определяем с помощью равенства

.

Отсюда

.

Двукратным интегрированием по частям получаем

.

Следовательно, и плотность вероятности имеет вид

.

б) Функция распределения F(x) случайной величины Х определяется по формуле

.

в) Вероятность попадания случайной величиныХ в заданный промежуток вычисляется по формуле

.

8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины

8.1. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если вероятность попадания мячом в корзину при одном броске p=0,3.

8.2. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью p = 0,5. Для случайного числа появлений герба построить:

а) ряд распределения;

б) многоугольник распределения;

в) функцию распределения.

8.3. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайно­го числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9.

8.4. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого, равна 0,4, а для второго 0,6.

8.5. Сигналы на включение приборов подаются через каждые 5 сек. Время от момента передачи сигнала до включения прибора 16 сек. Подача сигналов прекращается сразу же после того, как включится хотя бы один прибор. Найти ряд распределения для случайного числа поданных сигналов, если вероятность включения для каждого прибора равна .

8.6. Производятся испытания n изделий на надежность, причем вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна р. Построить ряд распределения случайного числа изделий, выдержавших испытания.

8.7. Вероятность выпадения герба при каждом из пяти бросаний монеты равна 0,5. Составить ряд распределения отношения числа Х появлений герба к числу Y появлений решетки.

б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

8.8. Функция распределения равномерно распределенной случайной величины Х имеет вид

.

Найти плотность вероятности случайной величины X.

8.9. Дана функция распределения случайной величины (закон нормального распределения):

.

Найти плотность вероятности случайной величины X.

8.10. В книге Г. Крамера дана функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом:

.

Определить размер годового дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью 0,5.

8.11. Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет вид (экспоненциальный закон распределения)

.

Найти:

а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т;

б) плотность вероятности f(t).

8.12. Случайная величина эксцентриситета детали характеризуется функцией распределения Рэлея

.

Найти:

а) плотность вероятности f(x);

б) медиану распределения;

в) моду распределения.

8.13. Функция распределения Вейбулла

в ряде случаев характеризует срок службы элементов электронной аппаратуры.

Найти:

а) плотность вероятности f(x);

б) квантиль распределения порядка p;

в) моду распределения.

8.14. Дана функция распределения случайной величины X (закон Коши):

F(х) = с + barctg.

Определить:

а) постоянные с и b;

б) плотность вероятности;

в) Р().

8.15. Каково должно быть а, чтобы являлось плотностью вероятности случайной величины X, изменяющейся в бесконечных пределах?

8.16. При каком значении а функция

является плотностью вероятности случайной величины X? Найти:

а) функцию распределения случайной величины X;

б) вероятность попадания случайной величины, в интервал (- 1, 1).

8.17. Азимутальный лимб имеет цену деления 1°. Какова вероятность при считывании азимутального угла сделать ошибку в пределах ± 10', если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов?