Занятие 7. Последовательные независимые испытания.

7.1. Краткая теоретическая часть

В настоящем разделе мы изучим основные закономерности, относя­щиеся к одной из важнейших схем теории вероятностей — схеме по­следовательных независимых испытаний. В это понятие мы вклады­ваем следующий смысл.

Под испытанием(опытом) мы станем понимать осуществление опреде­ленного комплекса условий, в результате которого может произойти то или иное элементарное событие пространства U элементарных событий. Математической моделью последовательности п испытаний является новое пространство элементарных событий, состоящее из точек, где- произвольная точка пространства U, отвечающая испытанию с номером i.

Предположим, что для s-го испытания пространство U разбито на k несовместимых случайных событий , т. е. предположим, что

Событие назовемi-м исходом при s-м испытании. Обозначим вероятность i-го исхода при s-м испытании через .

Обозначим через событие, состоящее из всех тех точекпространства, для которых. Если в пространствеU_n имеет место равенство при любых- то испытания называютсянезависимыми.

В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда вероятности собы­тий не зависят от номера испытанияs; обозначим в этом случае ; в силу несовместимости и единственной возможности исходовочевидно, имеем. Эта схема впервые была рассмотрена Я. Бернулли в важнейшем частном случае; по этой причине указанный случай носит названиесхемы Бернулли. В схеме Бернулли обычно полагают .

Из определения независимых испытаний вытекает следующий результат:

Теорема. Если данные п испытаний независимы, то любые т из них также независимы.

Простейшая задача, относящаяся к схеме независимых испытаний, состоит в определении вероятности того, что прип испыта­ниях событие А наступит т раз, а остальные п—т раз наступит противоположное событие , обозначим это событие В. Тогда

(7.1)

Здесь А_i – событие состоящее в том, что событие А произойдет в i- ом испытании. Событие В представляет собой сумму несовместных событий, тогда согласно теореме сложения вероятностей получаем

(7.2)

Вероятность каждого слагаемого в данной сумме по теореме умножения для независимых событий равна . По теореме сложения вероятностей искомая вероятностьравна сумме только что вычисленных вероятностей для всех различных способовт появлений события А и n—т не появлений среди п испы­таний. Число таких способов, как известно из теории сочетаний, равно ; следовательно, искомая вероятность равна

(7.3)

Так как все возможные несовместимые между собой исходы п испытаний состоят в появлении события 0 раз, 1 раз, 2 раза, ...,n раз, то ясно, что

(7.4)

Легко заметить, что вероятность равна коэффициенту прив разложении биномапо степенямx.

Исследуем далее, как ведет себя вероятность при различных значениях m. с увеличениемm сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает. При этом, если является целым числом, то максимальное значение вероятностьпринимает для двух значенийm, а именно и. Если же не является целым числом, то максимальное значение вероятности достигается при, равном максимальному целому числу, большему изи. Числоназывают наивероятнейшим значением и обозначают через.

Поставим теперь более общую задачу.

Рассмотрим последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти некоторое событие А. При этом вероятность появления события в каждом испытании различна.

Обозначим через .А_i – событие состоящее том что А произойдет в i-ом испытании – событие состоящее том чтоА не произойдет в i-ом испытании соответственно.

Следует определить вероятность того что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний.

Вероятность того, что событие А произойдет m раз в серии из n испытаний равна коэффициенту при в выражении производящей функции

(7.5)

то есть

	(7.6)
	(7.7)

Обозначим через событие состоящее в том, чтоА появляется не менее m раз в n независимых испытаниях, а вероятность обозначим , тогда

(7.8)

В тех случаях когда удобно пользоваться следующей формулой

(7.9)