2.2. Тест

1. Применимо ли геометрическое определение вероятности, если число исходов опыта бесконечно?

а) Да

б) Нет

2. Пусть на плоскости имеется некоторая область G с квадрируемой границей и в ней содержится подобласть g. В область G наудачу бросается точка. Определить, какова вероятность того, что точка попадет в подобласть g. Выберите условия, выполнение которых необходимо для того, чтобы эту задачу можно было бы решить с использованием геометрического определения вероятности.

а) Точка может попасть в любую точку области G с равной вероятностью

б) Вероятность попадания брошенной точки в каждую точку области G определяется по некоторому закону и необязательно одинакова

в) Вероятность попадания точки в подобласть g зависит от ее формы и расположения

г) Вероятность попадания точки в подобласть g не зависит от ее формы и расположения

д) Вероятность попадания точки в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади и т.д.)

е) Вероятность попадания точки в какую-либо часть области G не пропорциональна мере этой части

2. Если выполняются все необходимые условия для применения геометрического определения вероятности, то вероятность попадания в подобласть g при бросании наудачу точки в область G равна:

а) P = mes g / mes G

б) P = mes G / mes g

в) P = 1 / mes G

г) P = 1 / mes g

д) P = mes G - mes g

е) P = mes g mes G

2. В чем заключается основное преимущество геометрического определения вероятности над классическим?

а) Наглядность

б) Возможность применения в случае бесконечного числа исходов опыта

в) Нет необходимости в том, чтобы исходы опыта были равновозможны

г) Никаких преимуществ нет, эти определения полностью эквивалентны

2. Какую из следующих задач нельзя решить с использованием геометрического определения вероятности?

а) В большой лекционной аудитории объема V летает комар. Один из студентов выпустил струю газа инсектицида из баллончика, в результате чего образовалось облако объема v. Какова вероятность того, что комар попадет в это облако, если нахождение его в любой точке аудитории равновероятно и вероятность попадания в любую подобласть аудитории пропорциональна размерам этой подобласти.

б) В лужу площади S падает камушек. Определить вероятность того, что камушек упадет на монетку, лежащую на дне, если и камушек, и монетка рассматриваются как материальные точки, расположение монетки в луже известно заранее, а попадание камушка в любое место лужи равновозможно.

в) В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r.Определить вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

г) Все задачи можно решать с использованием геометрического определения вероятности.

д) Ни к одной из перечисленных задач геометрическое определение неприменимо.

2.3. Решение типовых задач

Пример 2.1. На горизонтальной плоскости вдоль прямой АВ через интервал l расположены оси одинаковых вертикальных цилиндров с радиусом основания г. Под углом q к прямой бросается шар радиуса R. Определить вероятность столкновения шара с цилиндром, если пересечение линии движения центра шара с прямой АВ равновозможное в любой точке.

Решение.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что произойдет столкновение шара с цилиндром. Пусть х — расстояние от центра шара до ближайшей линии, проходящей через центр цилиндра параллельно направлению перемещения центра шара. Возможные значения x определяются условиями (рис.1):

Столкновение шара с цилиндром произойдет в том случае, если .

Искомая вероятность равна отношению длин отрезков, на которых находятся благоприятствующие и все возможные значения x.

Поэтому

Пример 2.2. На одной дорожке магнитофонной ленты длиной 200 м записано сообщение на интервале 20 м, на второй — записано аналогичное сообщение. Определить вероятность того, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи, если начала обоих сообщений равновозможные в любой точке от 0 до 180 м.

Решение.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи. Пусть x и у — координаты начала записей, причем . Так как, то областью возможных значенийx и у является, треугольник с катетами по 180 м. Площадь этого треугольника .

Найдем область значений x и у, благоприятствующих указанному событию. Для того чтобы получилась непрерывная запись, необходимо выполнение неравенства . Чтобы интервал записи был не менее 25 м, должно быть. Кроме того, для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85м должно быть,.

Проведя границы указанных областей, получим, что благоприятствующие значенияx и y заключены в треугольнике, площадь которого (рис. 2). Искомая вероятность равна отношению площадиS_Б, попадание в которую благоприятствует данному событию, к площади области S возможных значений x и у, т. е. .

Пример 2.3. В любые моменты промежутка времени Т равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше . Определить вероятность того, что приемник будет забит.

Решение.

Введем в рассмотрение событиеА, состоящее в том, что приемник будет забит.

Пусть x и у — моменты поступления сигналов в приемник.

Областью возможных значений x, у является квадрат площадью T² (рис. 3). Приемник будет забит, если . Данная область лежит между прямымии.

Ее площадь , поэтому.

Пример 2.4. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше ?

Решение.

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше . Пустьx и у — взятые числа. Их возможные значения ,, что на плоскости соответствует квадрату с площадьюS=1. Благоприятствующие значения удовлетворяют условиям: и.

Границаделит квадрат пополам, причем областьпредставляет собой нижний треугольник (рис. 4).

Вторая граница является гиперболой. Абсциссы точек пересечения этих границ:и. Величина благоприятствующей площади. Искомая вероятность.