1.2. Тест.

1. Какие из приведенных событий не являются элементарными? Укажите два события.

а) Выпадение определенной грани при подбрасывании игральной кости

б) Извлечение белого шара из урны, содержащей белые и черные шары

в) Выпадение четного числа очков при подбрасывании кубика

г) Извлечение карты определенной масти из колоды

д) Попадание баскетболистом в кольцо5

2. Какие из приведенных событий являются равновозможными? Укажите три события.

а) Выпадение четного и нечетного числа очков при подбрасывании кубика

б) Попадание охотником в медведя или зайца

в) Прием на руководящую должность женщины и мужчины по Конституции РФ

г) Выпадение герба и цифры при подбрасывании монетки

д) Успешная сдача экзамена по теории вероятностей студентом-отличником и студентом-троечником

е) Извлечение внучкой из корзинки бабушки наудачу яблока и груши, если в ней лежал 1 кг яблок и 2 кг груш

3. Группу событий называют полной, если:

а) ни одно из них не произойдет в ходе опыта

б) ровно одно из них произойдет в ходе опыта

в) по крайней мере одно из них произойдет в ходе опыта

г) каждое из них произойдет в ходе опыта

4. В каких случаях применимо классическое определение вероятности?

а) Если результат опыта можно представить как сумму несовместных элементарных событий

б) Если результат опыта можно представить как сумму равновозможных элементарных событий

в) Если результат опыта можно представить как сумму противоположных элементарных событий

г) Если результат опыта можно представить как полную группу попарно несовместных и равновозможных элементарных событий

д) Если результат опыта можно представить как полную группу равновозможных элементарных событий

5. Пусть n – число всех возможных исходов испытания, а m - число благоприятствующих исходов появлению события А исходов. Какой вид будет иметь формула непосредственного подсчета вероятности события А?

а) P =

б) P =

в) P =

г) P =

д) P =

6. Можно ли использовать классическое определение вероятности, если число исходов испытания бесконечно?

а) Да

б) Нет

1.3. Решение типовых задач.

Пример 1.1. Монета брошена 2 раза. Определить вероятность того, что хотя бы 1 раз появится «герб».

Решение.

Шаг 1. Определение события, вероятность которого требуется вычислить.

Если какая-то проблема взята из реальной жизни, то самое трудное и самое важное – сформулировать эту задачу на математическом языке. Основным этапом, от которого напрямую будет зависеть дальнейшее решение задачи, является определение события, вероятность которого требуется вычислить. Неправильно определить событие значит неправильно решить задачу.

Укажем событие, вероятность которого требуется посчитать. Для этого уточним, что тот факт, что хотя бы 1 раз при двух подбрасываниях монеты появится «герб» означает, что «герб» появится 1 раз или 2 раза.

Таким образом, событие А состоит в том, что при подбрасывании монетки «герб» появится 1 раз или 2 раза.

Определим подход, который целесообразнее применить для подсчета вероятности названного события. Задачу можно решать непосредственным подсчетом вероятности данного события А или методом определения вероятности события, противоположного А.

Конечно, разумнее вычислять вероятность противоположного А события, которое состоит в том, что «герб» не появится ни разу, поскольку оно является элементарным. Событие А же представляет собой сумму двух элементарных событий, а именно: события В, состоящего в том, что «герб» появится 1 раз, и события С, состоящего в том, что «герб» появится 2 раза при подбрасывании монетки.

Если мы вычислим вероятность противоположного события, то вероятность события А определим из соображения, что сумма вероятностей события А и противоположного с А события равна 1.

Шаг 2. Определение числа возможных исходов испытания.

При одном подбрасывании монетки число исходов равно 2, тогда при двух подбрасываниях число всех возможных исходов составляет 4.

Значит, n=4.

Шаг 3. Определение числа исходов, благоприятствующих событию, противоположному А.

Событие, противоположное А, состоит в том, что «герб» не появится ни разу, то есть при обоих подбрасываниях монетки выпадет «решка».

Количество исходов, благоприятствующих этому событию, очевидно, равно 1.

Итак, m=1.

Шаг 4. Применение формулы непосредственного подсчета вероятности.

Воспользовавшись формулой непосредственного подсчета вероятности, получим, что вероятность события, противоположного событию А, равна: m/n=¼.

Значит, искомая вероятность события А равна: Р(А) = 1 – ¼ = ¾.

Пример 1.2.Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Получен­ные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две окрашенные стороны.

Решение.

Введем событие А, состоящее в том, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две окрашенные стороны. Всего кубиков n =1000. Куб имеет 12 ре­бер, на каждом из которых по 8 кубиков с двумя окрашен­ными сторонами. Поэтому m = 12*8 =96, P(A)== =0,096.

Пример 1.3.В партии из n изделий k бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки m изделий ровно l окажутся бракованными.

Решение.

Введем событие А, состоящее в том, что среди выбранных наудачу для проверки m изделий ровно l окажутся бракованными. Число возможных способов взять m изделий из n равно . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа k бракованных изделий взято l (это можно сделать способами), а остальные m – l - изделий не бракованные, т. е. они взяты из общего числа n - k (количество способов равно ). Поэтому число благо­приятствующих случаев равно . Искомая вероятность будет P(A)=

Пример 1.4.Из полного набора костей домино наудачу берутся пять костей. Найти вероятность p того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой.

Решение.

Введем событие А, состоящее в том, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой. Найдем вероятность q- противоположного события. Тогда p=1 - q. Вероятность того, что все взятые пять костей не содержат шестерки (см. пример 2.2), равна . Поэтому P(A)=.