9.3. Следствия закона больших чисел.

Пусть производиться n независимых опытов в каждом из которых с вероятностью p может произойти событие A, пусть – статистическая вероятность или частота появления событияA в серии n – опытов.

Теорема Бернулли.

При неограниченном увеличении числа опытов частотасходится к вероятностипо вероятности, то есть

или .

Доказательство. Введем в рассмотрение независимые случайные величины - число появлений событияA в i – ом опыте. - дискретные случайные величины, их ряд распределения имеет вид:

	0	1
	q	p

Тогда

Так как - независимые случайные величины;, то к ним можно применить теорему Чебышева, учитывая, что, тогдаили.

Предельная теорема Пуассона.

Пусть производиться n независимых опытов. Событие A в i - ом опыте может произойти с вероятностью , тогда присходиться к среднему арифметическому вероятностейпо вероятности, то есть.

Доказательство.

- независимые случайные величины(число появлений события A в i – ом опыте), имеющие следующие числовые характеристики ,. Данные случайные величины удовлетворяют условиям обобщенной теоремы Чебышева.

Применяя её, получим

Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.

10.1. Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема теории вероятностей представляет собой совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.

Пусть на заданы независимые случайные величины с числовыми характеристиками

(10.1.1)

Рассмотрим случайные величины

(10.1.2)

и установим условия, при которых распределение случайной величины с возрастаниемп становится сколь угодно близким к нормальному N(0,1), т.е. .

Будем говорить, что последовательность случайных величин удовлетворяет центральной предельной теореме, если .

Заметим, что означает, что при достаточно большом n распределение Y_n становится близким к нормальному .

В самом деле, пусть . Тогда для любого сколь угодно малого существует, что привыполняется условие

Здесь - функция распределения : Ф(y) - функция распределения .

Положим . Тогда для :

(10.1.3)

Поскольку

где – распределение , а - распределение, то вместо (10.1.3) можно записать:

Случайную величину , очевидно, можно представить в виде

(10.1.4)

где - независимые случайные величины с характеристиками

(10.1.5)

Если - характеристическая функция, то характеристическая функция случайной величиныв силу независимости имеет вид:

(10.1.6)

Теперь, учитывая теорему единственности, вопрос о можно свести к установлению сходимости

(10.1.7)

Этот прием будет основным в доказательстве следующей теоремы, дающей достаточное условие для .

10.2. Теорема Ляпунова.

Пусть - независи­мые и одинаково распределенные случайные величины с числовыми характеристиками

(10.2.1)

Тогда

(10.2.2)

Доказательство. Прежде всего отметим, что выражение вида (10.2.2) совпадает с в выражениях (10.1.2), если считать выполненными условия (10.2.1). Поэтому доказательство должно сводиться к установлению сходимости (10.1.7).

Далее, в выражение (10.2.2) для входят только центрированные составляющие , случайных величин , поэтому доказательство можно проводить, полагая в (10.2.2) , т.е. при условиях

(10.2.3)

где - независимые и одинаково распределенные. Поскольку , одинаково распределены, то их характеристические функции совпадают:

(10.2.4)

Учитывая независимость , получим следующее выражение характеристической функции случайной величины :

Отсюда следует

(10.2.5)

Разлагая в ряд по степеням правую часть уравнения (10.2.5) при достаточно больших п получим с учетом теоремы о дифференцируемости характеристических функций

Отсюда найдем

В силу условия и формулыполучим

Теперь можно записать

Отсюда следует требуемое

К числу простейших форм центральной предельной теоремы относится также теорема Лапласа.