5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных компонент (маргинальные законы распределения), входящих в систему.

(5.4.1)

Выразим теперь маргинальные плотности распределения каждой из величин, входящих в систему, через плотность распределения системы.

(5.4.2)

дифференцируя по х соотношение (5.4.2), получим выражение для плотности распределения величины X:

(5.4.3)

Аналогично

(5.4.4)

Таким образом, для того чтобы получить плотность распределе­ния одной из величин, входящих в систему, нужно плотность совместного распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине.

Зная закон распределения системы (заданный в виде функции распределения или плотности распределения), можно найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Естественно, возникает вопрос об об­ратной задаче: нельзя ли по маргинальным законам распределения отдельных вели­чин, входящих в систему, восстановить закон распределения системы? Оказывается, что в общем случае этого сделать нельзя, так как неизвестна зависимость между случайными компонентами. Эта зависимость может быть охарактеризована с помощью условных законов распределения.

Определение 1. Условным законом распределения величины X, входящей в си­стему (X,Y), называется ее закон распределения, определенный при условии, что другая случайная величина Y приняла значение у.

Условная функция распределения, обозначается F(x|y), условная плотность распределения f(x|y).

Чтобы усвоить понятие условного закона распреде­ления, рассмотрим пример. Система случайных величин L и Q представляет собой длину и вес осколка снаряда. Пусть нас интересует длина осколка L безотносительно к его весу; это есть случайная величина, подчиненная закону распределения с плотностью f₁(l). Этот закон распределения мы можем исследовать, рассматривая все без исключения, осколки и оценивая их только по длине; f₁(l) есть безусловный закон распределения длины осколка. Однако нас может интересовать и закон распределения длины осколка вполне определенного веса, например 10 г. Для того чтобы его определить, мы будем исследовать не все осколки, а только определенную весовую группу, в которой вес приблизительно равен 10 г, и получим условный закон распределения длины осколка при весе 10 г с плотностью f₁(l|q) при q = 10. Этот условный закон распределе­ния вообще отличается от безусловного f₁(l); очевидно, более тяжелые осколки должны в среднем обладать и большей длиной; следовательно, условный закон распре­деления длины осколка существенно зависит от веса q.

Зная закон распределения одной из величин, входящих в систему, и условный закон распределения вто­рой, можно определить закон распре­деления системы. Для этого воспользуемся понятием элемента вероятности. Рассмотрим прилежащий к точке (х,у) элементарный прямоугольник R_d со сто­ронами dx,dy (рис. 5.4.1). Вероятность попадания в этот прямоугольник

— элемент вероятности f(x,у)dxdy — равна вероятности одновременного попадания случайной точки (X,Y) в элементарную полосу I, опирающуюся на отрезок dx, и в полосу II, опирающуюся на от­резок dy:

Вероятность произведения этих двух событий, по теореме умножения вероятностей, равна вероятности попадания в элементарную полосу I, умноженной на условную вероятность попадания в элементарную полосу II, вычисленную при условии, что первое событие имело место. Это условие в пределе равносильно условию X = х; следовательно,

откуда

(5.4.5)

т. е. плотность распределения системы двух величин равна плот­ности распределения одной из величин, входящих в систему, умно­женной на условную плотность распределения другой величины, вы­численную при условии, что первая величина приняла заданное зна­чение.

Формулу (5.4.5) часто называют теоремой умножения законов распределения. Эта теорема в схеме случайных величин аналогична теореме умножения вероятностей в схеме событий.

Очевидно, формуле (5.4.5) можно придать другой вид, если задать значение не величины X, а величины Y: ,

(5.4.6)

Разрешая формулы (5.4.5) и (5.4.6) относительно f(y|x) и f(x|y), получим выражения условных законов распределения через безусловные:

(5.4.7)

или

(5.4.8)