1.8. Формула полной вероятности.

Предположим теперь, что событие В может осуществиться с одним и только с одним из n несовместимых событий . Иными словами, положим, где событияBA_i и BA_j с разными индексами i и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем: .

Применяя теорему умножения, находим:

(1.8.1)

Это равенство носит название формулы полной вероятности и играет важную роль во всей дальнейшей теории.

В качестве иллюстрации рассмотрим два примера.

Пример 1. Имеется пять урн:

2 урны состава A₁ — по два белых шара и одному черному,

1 урна состава A₂—по 10 черных шаров,

2 урны состава A₃ — по три белых шара и одному черному.

Наудачу выбирается урна и из нее наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность, что вынутый шар белый (событие В)?

Так как вынутый шар может быть только из урны 1-го, 2-го или 3-го состава, то .

По формуле полной вероятности

Но

Таким образом, .

Пример 2. Известно, что вероятность поступления k вызовов на телефонную станцию за промежуток времени t равна .

Считая, что появление какого-либо числа вызовов за два соседних промежутка времени являются событиями независимыми, найти вероятность поступления s вызовов за промежуток времени длительности 2t.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в поступленииk вызовов за время . Очевидно, что мы имеем следующее равенство: , которое означает, что событиеможно рассматривать как суммуs+1 несовместимых событий, состоящих в том, что за первый промежуток времени длительности t поступает i вызовов, а за следующий промежуток той же продолжительности — поступает s — i вызовов .

По теореме сложения вероятностей

По теореме умножения вероятностей для независимых событий

Таким образом, если положить , то.

Впоследствии мы увидим, что при некоторых весьма общих условиях ., гдеа — некоторая константа.

находим:

Но

Поэтому

Для промежутков времени, в два раза больших, и, как легко убедиться, для любых кратных t промежутков времени характер формулы для вероятности сохраняется.

1.9 Формула Бейеса.

Получим важные формулы Бейеса или, как иногда говорят, формулы вероятности гипотез. Требуется найти вероятность события A_i, если известно, что В произошло. Согласно теореме умножения имеем:

(1.9.1)

Из соотношения (1.9.1) получаем

(1.9.2)

используя формулу полной вероятности (1.8.1), находим:

(1.9.3)

Полученные формулы (1.9.3) носят название формул Бейеса. Общая схема применения этих формул к решению практических задач такова. Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано n гипотез: . По тем или иным причинам нам известны вероятностиэтих гипотез до испытания(априорные вероятности гипотез). Известно также, что гипотезасообщает событиюВ вероятность . Произведен опыт, в ко­тором событиеВ наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез ; формулы Бейеса количественно решают этот вопрос.

Вероятности называются апостериорными вероятностями события . В артиллерийской практике производится так называемая пристрелка, имеющая своей целью уточнить наши знания относительно условий стрельбы (например, правильность прицела). В теории пристрелки широко используется формула Бейеса. Мы ограничимся приведением чисто схематического примера исключительно ради иллю­страции характера задач, решаемых этой формулой.

Пример 1. Имеется пять урн следующего состава:

2 урны (состава ) по 2 белых и 3 черных шара,

2 урны (состава ) по 1 белому и 4 черных шара,

1 урна (состава ) по 4 белых и 1 черный шар.

Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие В). Чему равна после опыта вероятность (апостериорная вероятность) того, что шар вынут из урны третьего состава? Согласно предположению

Согласно формуле Бейеса имеем:

Точно так же находим: