книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
.pdfСвободные колебания цилиндрических оболочек |
433 |
|||
здесь |
+ (о |
1 — V |
|
|
А ------- |
+ а11а221 |
|
||
ап “ а12^ ^ |
|
|||
Д(1) = |
( 1 |
2~~ ^ + а12°23— |
; |
|
Д(2) =: %2 {уа12 — д23) — ап а23.
Удовлетворение граничным условиям (по четыре условия на каждом
из краев а = 0 и а = у = приводит к системе восьми однородных
уравнений относительно постоянных интегрирования С/я. Приравнивая нулю определитель этой си стемы, можно получить урав нение частот. Эта задача рас смотрена Ю. Ю. Швейко, Ю. В. Гавриловым и А. Д.
Брусиловским [31], а также Форсбергом [36].
Зависимость частот пер вого тона колебаний для раз личных видов граничных условий показана на рис. 6— 10. На рис. 7 штрих-пунктир ной линией показаны прибли женные результаты Арнольда и Уорбертона [33].
Обозначения граничны условий см. в табл. 1.
Сопоставление форм собст венных колебаний цилиндри ческой оболочки при различ ных условиях на торцах пока зано на рис. И.
Минимальные частоты колебаний замкнутой цилиндрической обо лочки, защемленной по краям, приведены в табл. 3. Для сопоставления даны минимальные частоты для опертой оболочки. В скобках указано соответствующее число волн в окружном направлении.
Сопоставление с большим количеством данных вычислении пока зало, что для приближенного (с погрешностью до 5%) определения значений минимальных частот колебаний оболочек с защемленными
торцами в |
диапазоне безразмерных параметров |
1 ^ - 5- 10, 100-^ |
||
|
|
|
|
К |
^ - ^ - ^ 8 0 |
0 можно использовать следующую полуэмпирическую фор- |
|||
Л |
|
|
|
|
мулу [31]: |
|
|
|
|
|
«2 _ |
а2 / и2 |
„,,2\2 / , _„,2\____Ф* |
|
|
со“ |
=62 (гг + |
ф2)2 + (1 — V2) |
+ ^)2)2 I |
где |
|
|
|
|
|
|
Ф = — |
0 + 7 ) ; |
|
434 |
Колебания оболочек |
Свободные колебания цилиндрических оболочек |
437 |
Коэффициент <7 принимает знамен
0,3 |
при |
1 |
100 ==5 |
200; |
? = ' 0,38 |
при |
|
2 0 0 = 5 -^ -^ 5 0 0 ; |
|
0,42 в остальных случаях.
Другие типы граничных условий. Применение вариационных мето дов. В общем случае произвольных граничных условий для определе ния собственных частот и форм колебаний могут быть использованы вариационные методы. Ниже дано применение метода Ритца в случае замкнутой цилиндрической оболочки.
Потенциальная энергия
12пК
и = |
I {Л^еп + № ,*% ..+ 2ЛГ,Л г + Л 111*11 + |
о |
о |
|
-{- ^22^22 ~Т~^ ^ 12^12} &Х |
Максимум к нетической энергии будет
I 2пЛ
Гш а х = 4 '1 1 РЛ“ 2 (“! + “2 -|-щ2)
оо
Приближенные решения удобно искать в классе произведений ба лочных функций переменной х и синусоидальных функций перемен ной 5:
|
„ |
1 |
|
АтХ |
] СОЗ |
|
П8 |
«1 |
~ Сьп Л,л |
р т ( - ~ Г . |
|
|
Я |
||
«2 |
— С%тРТП ^ |
Х,пх |
> |
П5 |
|
(25) |
|
|
) 5111 |
Я |
; |
||||
|
|
/ |
|
|
|
||
|
|
ХщХ '\ |
П5 |
|
|
||
Ш— С^тРт ^ |
“ Т |
1С05 |
~ 1 Г ' |
|
|||
|
|
|
\ |
|
|||
При этом балочные функции должны удовлетворять граничным условиям, соответствующим рассматриваемым граничным условиям
для оболочки.
Условия минимума дроби Рэлея дают
-дТ?— (Р - <*гТ) = 0 (/ = 1, 2, 3);
дС/пг
отсюда можно найти уравнение частот в виде ю® — й2оо* + ^1°^ — А0 = 0.
440 |
Колебания оболочек |
Соответствующие частоты вычисляют по формулам (21) или (22), полученным для опертой оболочки.
Влияние граничных условий на частоты и формы собственных коле баний. Влияние граничных условий на спектр собственных частот колебаний, вообще говоря, тем больше, чем проще соответствующая форма колебаний, т. е. чем меньше узловых линий в окружном и ра диальном направлениях. При этом на собственную форму колебаний граничные условия существенно влияют лишь в пределах полуволны вблизи края (см. стр. 437—439). Кроме того, преимущественно изгнбные формы колебаний особенно чувствительны к условиям моментного типа [условия (8) и (9)], а безмоментные формы колебаний обычно чувствительны к тангенциальным граничным условиям (10) и (11)*
г
ЦЗ |
|
\ (Ч |
Яи |
|
|
|
1 |
л |
|
||
|
|
|
|
||
0,2 |
|
|
^ 1 |
|
|
|
|
4 |
|
||
0,1 |
|
Л |
Л\ /, > |
— 1 |
|
0 |
2 4 т2 0 2 4 тг 0 |
2 4 6 |
8 т , |
||
Рнс. 13
Сопоставление собственных частот и форм колебаний, соответству ющих различным граничным условиям, приведено в работах [31, 36], см. также рис. 6—11.
Влияние тангенциальных сил инерции. Влияние тангенциальных сил инерции на величину частоты собственных колебаний цилиндрической оболочки можно оценить по формуле [21 ]
где © — значение частоты, вычисленное при учете тангенциальных сил
инерции; © — значение частоты, полученное при пренебрежении тангенциальными силами инерции:
г ■ ^ в 2 (Х2 + |
(3+2г) > , 2 + т^ |
т5) + |
|
|
(Х’ + т 2)2 |
1 |
птхК |
|
Г ~ ' |
Зависимость г от т1 или т2 показана на рис. 13.
Влияние начальных усилий в срединной поверхности. Дифферен циальные уравнения собственных колебаний цилиндрической оболочки