книги / Математические методы принятия решений
..pdfЕсли шум результатов наблюдений автокоррелирован незначи тельно, то дисперсия ошибок прогноза переменной интенсивно сти в течение времени упреждения будет равна сумме дисперсий ошибок прогнозов для отдельных интервалов, на которые разби вается время упреждения I с целью периодического уточнения прогнозов. Следовательно, стандартное отклонение, используемое для принятия решений, приблизительно равно ауД. В тех слу чаях, когда имеет место автокорреляция шума, выражение для стандартного отклонения может быть записано в виде о; = 1ьо\, где a i —стандартное отклонение ошибок одного знака, / — время упреждения, измеренное в интервалах между проверками прогноза, и 5 — постоянная, которая является характеристикой всего семей ства прогнозируемых рядов.
Как уже отмечалось, точность прогноза зависит от шума вход ных переменных. При этом разумно считать, что прогнозы не со держат систематической ошибки, так как средняя ошибка прогноза должна быть равна нулю. Пока модель соответствует изучаемому процессу, ошибки прогноза должны колебаться около нуля. Если же модель прогноза ошибочна или станет ошибочной из-за того, что резко изменится сам процесс, то появится последовательность «положительных» или «отрицательных» ошибок и, следователь но, средняя ошибка прогноза больше не будет равна нулю. Имеет смысл систематически осуществлять проверку близости средней ошибки прогноза к нулю. Если средняя ошибка превысит неко торый заранее установленный предел, пользователю необходимо принять меры для своевременной корректировки прогноза. Для осуществления такой корректировки прежде всего требуется уста новить конкретную причину смещения прогноза, после этого вне сти в модель достаточно обоснованные изменения, принять новые значения для одного или большего количества коэффициентов, изменить некоторые или все весовые множители либо, вообще, изменить сам вид модели.
§ 10.11. Пример прогнозирования газопотребления
Рассмотрим пример построения прогноза потребления газа неко торым объектом в зависимости от температуры окружающей среды. Значения газопотребления р в базовом периоде задавались каждые
сутки, а также задавались соответствующие им значения темпера туры t воздуха. Особенностью данной задачи является тот факт, что значения температуры t воздуха имеют одно распределение, а зна чения газопотребления р(£) при фиксированной температуре в силу различных причин имеет другое распределение. Распределения зна чений газопотребления и температуры легко установить по резуль татам наблюдений и с помощью ММП составить функционал для оценки параметров предлагаемых зависимостей. В приведенных ниже расчетах прогнозов принималось, что все исходные данные не коррелированны и подчиняются нормальному закону распре деления с известными дисперсиями о2(р*) и o2{U), г = 1,2....... т, значения которых находятся по результатам наблюдений. Предпо лагалось также, что продолжительность периода прогнозирования составляет семь дней с уточнением прогноза каждый день по мере поступления новой информации.
В процессе исследований имеющихся данных было установ лено, что в поставленной задаче для получения прогнозных зна чений достаточно воспользоваться линейной конфлюэнтной моде лью, учитывающей неопределенности и в значениях температуры f, и в значениях газопотребления р(£), т. е. оценки параметров к и b линейной функции p = kt + b, описывающей газопотребление в за висимости от температуры, находятся как координаты точки мини мума функционала
(10.4)
Ковариационная (дисперсионная) матрица оценок кн Ь является обратной матрице
Элементы матрицы вычисляются при найденных оценках пара метров к и Ь.
При учете дополнительных природных факторов, таких как влажность воздуха v, скорость ветра w и других, достаточно
воспользоваться линейной зависимостью газопотребления р от этих факторов, т. е.
р = b + к\ t + kjv + k-iw.
Оценки параметров Ъ, к\, кг, кг находятся в процессе миними зации функционала (см. § 7.12)
F(p, t, v, w) |
2 |
(pi — b — k \ t — k i v |
— h i w ) 2 |
(10.5) |
|
o 2(p i) + k \ o 2( ti) |
|
|
|||
|
+ k \ o 2{vi) + k 2o 2( w i ) 9 |
||||
Ковариационная |
матрица оценок |
6, к ь |
^2» |
находится так |
|
же с помощью матрицы четвертого порядка, составленной из вто рых производных этого функционала по искомым параметрам Ь, к\,
кг, къ.
Верхний предел суммирования в (10.4) и (10.5) определяется продолжительностью базового периода. Продолжительность базо вого периода, с одной стороны, должна содержать число точек, превышающее число параметров как минимум в два раза, а с дру гой стороны, должна быть не столь велика, чтобы не изменились условия протекающего процесса, хотя увеличение числа точек уве личивает точность получаемых оценок параметров. Проведенные расчеты показали, что продолжительность базового периода может быть от 10 до 20 дней.
Часто для анализа газопотребления используют нелинейные зависимости. Например, потребление газа при переходе от зим него периода через весенний до летнего периода или от летнего периода через осенний до зимнего периода хорошо описывается логистической функцией. При коротких временных периодах для описания газопотребления можно использовать полиномиальную зависимость; как правило, порядок полинома не превышает двух. Тогда можно применить формулы из §7.13 или воспользоваться приближенной формулой: если потребление как функция темпера туры имеет вид р = b + k\t + kit2, то оценки b, к\ и кг находятся как координаты точки минимума функционала
(Pi - |
b - k \ t j - |
k i t ] ) 1 |
F I (P. O = 2 |
+ o 2( t i ) ( t f |
+ 4к Щ ) ' |
i=1 a 2(p i) |
Рис. 10.2. Блок заданий
Результаты расчетов прогнозов газопотребления приведены на рис. 10.4 и 10.5. Расчеты проводились для рабочих и нерабочих дней. Весь массив исходных данных за год (356 дней) разбивался на две части: первая часть —база для прогноза, вторая часть ис пользовалась для сравнения прогноза с реальными данными. База для прогноза составляла 30 дней (см. рис. 10.4).
Предварительно для получения оценок параметров прогнозиру ющих функций строилась зависимость газопотребления от темпе ратуры. Чтобы продемонстрировать различие оценок для разных моделей, методом наименьших квадратов строились для каждого варианта три прямые регрессии: одна не учитывала неопределен-
Рис. 10.3. Блок обработки данных
ность по температуре, т. е. невязка бралась только по газопотреблению, другая не учитывала неопределенность по газопотреблению, а также строилась прямая с учетом неопределенностей температу ры и газопотребления (условия для конфлюэнтного анализа).
Соответственно параметры А: и 6 для регрессионных моделей были обозначены: ktpw и btpw (если учитывалась только неопреде ленность по температуре) или kptw и bptw (если учитывалась толь ко неопределенность по газопотреблению) для рабочих дней, ktpr и btpr или kptr и bptr для нерабочих дней.
Для конфлюэнтной модели использовались обозначения k^onf w
И ^konfiüî ^ k o n fr И frkonfr*
Для примера, приведенного на рис. 10.4, получены следующие оценки значений параметров к и b при o(U) = 7°С и дисперсии o2(pi) для заданных значений pi и фиксированной температуры U.
Дисперсия значений газопотребления вычислялась по представ ленным результатам, предварительно отнормированным по значе ниям температуры.
по температуре были ненадежны: трудно предположить, что пер вая точка прогноза будет так отклоняться от прогнозного значения по какой-то другой причине.
Далее была проведена корректировка значений температуры в прогнозируемых точках. Результаты уточненного прогноза пред ставлены на рис. 10.5. Заметим, что использование скорректи рованных значений температуры несущественно меняет оценки параметров модели, применяемой для прогнозирования газопотреб-