книги / Математические методы принятия решений

Необходимо иметь в виду следующее:

1)по рядам ограниченной длины никогда не удается доказать, что корень оператора авторегрессии, определяющий скорость стрем­ ления автокорреляций к нулю, точно равен единице;

2)не существует, конечно, резкого перехода от стационарного поведения ряда к нестационарному.

Вряде случаев некоторыми преимуществами может обладать использование нестационарных моделей в задачах прогнозирова­ ния. Когда коэффициент процесса авторегрессии Ф1 близок к еди­ нице, мы не знаем, имеет ли среднее значение ряда какой-либо смысл или не имеет. Если использовать нестационарную модель, которая не содержит среднего значения (i, то прогнозы будущего поведения не будут зависеть от выборочного среднего, найденного по предыдущему периоду, которое может не иметь никакого отно­ шения к будущему уровню ряда.

§10.7. Методы уточнения прогнозов по модели АРПСС

Разные методы прогнозирования должны приводить практиче­ ски к одному результату — выбору одной и той же модели из воз­ можных—и одинаковой оценке последствий выбранного вариан­ та. Правильное ведение прогнозирования предполагает, в частно­ сти, применение соответствующих критериев при пересмотре про­ гнозов.

Для уточнения прогноза применяется метод адаптивного сгла­ живания, основы которого были заложены при разработке метода экспоненциального сглаживания и затем развиты путем включе­ ния в рассмотрение сезонных моделей. Этот метод целесообраз­ но использовать в тех случаях, когда явления достаточно хорошо описываются с помощью постоянного уровня (константы), тренда и сезонных моделей, которые не претерпевают резких изменений для большинства рядов. Во многих случаях адаптивное сглажива­ ние позволяет получать хорошие результаты в течение короткого промежутка времени, что иногда имеет более важное значение, чем получение более точного прогноза в течение длительного времени, но с применением значительных усилий (больших затрат).

Если прогнозы составляются для переменных интенсивности и результаты наблюдений получены в нерегулярные интервалы

времени, то исходные данные преобразуются к величинам, харак­ теризующим скорость их изменения на равномерных интервалах времени. Получаемые в результате прогнозы могут быть приве­ дены в соответствие с величинами будущих интервалов времени. Заметим, что подобное использование сечения какой-либо входной переменной одинаково пригодно для любых рядов и не приводит к увеличению дисперсии, какое имело бы место в случае получения сечения из данных предыстории.

Рассмотрим получение прогноза для модели АРПСС. Для то­ го чтобы в полной мере использовать достоинства метода, необ­ ходимо иметь достаточно длинные ряды (содержащие не менее 100 результатов наблюдений); это в значительной степени помогает понять изучаемый процесс с точки зрения получения предвари­ тельных данных относительно возможных изменений процесса в будущем. С помощью данного метода может быть проанализи­ рован гораздо более широкий круг моделей, чем с помощью метода адаптивного сглаживания. Кроме того, он особенно полезен в тех случаях, когда требуется получить как можно более точный про­ гноз.

Анализ моделей начинается с формирования разностей из исходных данных yt и вычисления частных автокорреляционных функций ср для разностных рядов cot = A dyt. Затем разностные ря­ ды вводятся в модель с соответствующим числом коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего:

Для оценки коэффициентов модели такого типа и для вычисле­ ния дисперсии шума в результатах наблюдений используется метод максимума правдоподобия, т. е., как уже указывалось, операторы разности скользящего среднего могут быть разложены таким об­ разом, чтобы выразить модель прогнозов через исходные данные наблюдений:

Сначала прогнозируется изменение преобразованных входных переменных, а затем осуществляется обратное преобразование.

Если необходимо проанализировать сезонные циклы, то вклад от каждого из них в прогноз вычисляется путем составления разно­ стей для определенных отрезков цикла. Для годового цикла, напри­ мер, в качестве таких отрезков можно использовать месяцы, и тогда прогноз для каких-то месяцев в будущем будет основываться на из­ вестных данных для этих месяцев в прошлые годы.

Приведем основные формулы для получения прогнозов, веро­ ятностных пределов для прогнозов и для коррекции прогнозов. Пусть yt —отклонение наблюдаемого ряда от любой известной де­ терминированной функции f(t). В частности, для стационарного ряда функция f(t) может быть равна среднему значению (i ряда или нулю. В последнем случае yt образуют наблюдаемый ряд. Рас­ смотрим общую модель АРПСС

Ф ( В ) А \ = B(B)at

или

q(B)yt = 6(B)at.

Пусть известны значения наблюдаемого ряда до момента t. То­ гда прогноз yt(l), I > 0, с минимальной средней квадратической ошибкой —это условное математическое ожидание величины yt+i при заданных значениях yt, yt- ь • • •:

Ы l) = [Vt+l] = M[yt+i Iyt, yt- ь • • •]•

Отсюда следует, что ошибки прогноза с упреждением, равным единице (на шаг вперед),— это некоррелированные между собой импульсы, генерируемые моделью.

На практике простейший способ вычисления прогнозов — непо­ средственное использование разностного уравнения, составленного из условных математических ожиданий:

Для вычисления условных математических ожиданий вместо значений у, известных к этому моменту, подставляются их реальные значения, вместо будущих значений у —их прогноз, вместо извест­ ных о — их реальные значения и вместо будущих а —нули. Процесс

прогнозирования может быть начат аппроксимацией неизвестных а нулями.

Пусть требуется найти прогнозы с упреждением 1 , 2 , ... ,/ и их доверительные пределы как взвешенную сумму текущего и пред­ шествующих импульсов Oj [6]:

t + l ОО

Зная значения ф и 0, после оценки их по результатам наблюде­ ний используем следующие выражения для ф = (ф], ..., ф^):

Фр = ф 1фJ _ J + + фр+^ф^-р-й — Qj,

где фо = 1, фj = 0 при j < 0 и Qj = 0 при j > q. Если к —наибольшее из целых чисел р + d —1 и q, то при j > к координаты вектора ф удовлетворяют разностному уравнению

Фi = cP14’i —1+ ф2ф^-2 + + фр+аф^-р-с*.

Следовательно, координаты вектора ф вычисляются рекуррент­ ным способом. Подставляем вес ф в yt+i и получаем значение про­ гноза для каждого нужного уровня значимости е и для каждого упреждения /:

Здесь среднее квадратическое отклонение а(а) можно заменить практически его оценкой $(а) — выборочным стандартным отклоне­ нием белого шума at\ ие/2— квантиль уровня 1 - е/2 стандартного нормального распределения.

Дисперсия ошибки прогноза на I шагов вперед для любого момента £, определяемая как математическое ожидание величины е?(/) = (Vt+i - mil))2, имеет вид

Из предположения, что о подчиняется нормальному закону рас­ пределения, следует, что при известных значениях процесса до мо­ мента t условное распределение вероятности P{yt+i \ yt, y t- ь • • •) бу­ дущего значения процесса yt+i будет также нормальным со средним значением mil) и стандартным отклонением

J 1

Можно выразить прогнозы т+1(0 и mil + 1) будущего наблю­ дения yt+i+i, сделанные в моменты t + 1 и t:

Vt+iil) = фга<+1 + фг+iût + фг+2а«-1 + • • •

mil + 1) = фг+iat + фг+20<_1 +

Вычитая второе уравнение из первого, получаем

Отсюда видно, что если прогноз величины yt+i+ь сделанный в мо­ мент t, подправить добавлением ошибки прогноза на шаг впе­ ред 0(+1 с коэффициентом ф;, то получится прогноз той же ве­ личины yt+i+1, но сделанный в момент t + 1.

Положим, что делаются прогнозы в момент t с упреждения­ ми 1 ,2 , ... ,/ . Затем, как только становится известным yt+i, можно найти 0(+i =yt+ 1 —yti 1) и пропорционально подправить прогноз Vt+iil) = m il + 1) + фг04+1 в момент t + 1 для упреждений 1, 2, ...

. . . , / — 1. Новый прогноз уtil + 1) для упреждения I этим способом

найти нельзя, но он легко вычисляется по прогнозам с меньшими упреждениями из разностного уравнения.

Когда становится известным новое отклонение зд+ь прогноз для момента t + 1 может быть скорректирован. Для этого необхо­ димо вычислить новую ошибку прогноза at+i = y t+1 —у*(1) и ис­ пользовать разностное уравнение (10.1), где t заменено на t+ 1. Другой возможный метод корректировки — использовать прогнозы yt(l), ÿt(2), ■• •, yt(l) на момент t, получить первые I - 1 прогнозов $t+i(l), yt+i(2), ••■,yt+\(l - 1) на момент t + 1 из формулы (10.2) и затем найти последний прогноз yt+\(l), используя разностное уравнение (10.1).

> p + d, первые q —p — d прогнозов не описываются этой функци­ ей. В общем случае стационарный оператор авторегрессии приво­ дит к появлению затухающих экспоненциальных и синусоидальных членов, а нестационарный оператор A d — к появлению полиноми­ альных членов.

Подстраивающиеся коэффициенты tip в (10.3) при переходе от момента t к моменту t + 1 могут быть скорректированы на вели­ чину, зависящую от последней ошибки прогноза на шаг вперед at+i согласно общей формуле

b{t+l) = Lrb(t) + gat+u

2. П р о г н о з ка к в з в е ш е н н а я с у м м а п р о ш л ы х н а ­ б л ю д е н и й . С теоретической точки зрения полезно представить прогноз как взвешенную сумму прошлых наблюдений с весами к. Так, если модель представлена в обращенной форме:

a t = л(B)yt = (1 - щ В - п2В 2 - .. .)yt,

где веса itj можно получить из выражения

9 ( B ) = (1 - щ В - к 2В 2 - . . .)9(В),

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях В , то про­ гноз с упреждением 1 имеет вид

îit(l) = n iy t+ * 2y t-l + •••

а прогнозы для больших упреждений можно получить из выра­ жения

Vt(l) = Tll[yt+l-l] + n2[yt+l-2] +

где условные математические ожидания известных значений у необ­ ходимо заменить их реальными значениями, а будущие значения у — их прогнозом.

Прогноз для любого упреждения можно записать как линейную функцию имеющихся наблюдений, т. е.

ОО

ш(0 = Y , nfyt+3- Ь j - \

где —функции весов itj.

§ 10.8. Байесовские прогнозы

При байесовском подходе каждому наблюдению до его проведе­ ния ставится в соответствие ряд первичных вероятностных значе­ ний (априорных вероятностей) коэффициентов модели. Построение модели можно начинать из состояния полной неопределенности, так как даже в этом случае метод позволяет довольно точно уста­ навливать вероятностные значения коэффициентов.

После того как получены результаты наблюдений у, по пра­ вилу Байеса определяют апостериорные вероятности, основываясь на которых, вычисляют распределение вероятностей прогнозируе­ мой величины yi-

Апостериорная плотность вероятности события, состоящего в том, чтобы получить прогнозируемое значение yt при заданной априорной плотности распределения вероятностей p (yi) и услов­ ной плотности распределения вероятностей р(у |yi), определяется

по формуле

pjyiMy 1уд

Р(У11У) =

J p(yi)p(y\yi)dyi

Такой подход позволяет игнорировать кратковременные измене­ ния прогнозируемой переменной и в то же время четко регистри­ ровать изменения, происходящие в основном процессе, которые на графике временной зависимости изображаются в виде ступеней и кривых, имеющих соответствующий наклон. Многократное по­ вторение приведенной схемы вычислений дает возможность умень­ шить число вероятностных распределений до числа состояний изу­ чаемого процесса. В число состояний обычно входят нейтральное состояние, которое характеризуется неизменными значениями всех элементов процесса, и состояния, которые соответствуют различ­ ным возможным значениям каждого коэффициента и помех. В этих состояниях дисперсия распределения намного выше, чем в ней­ тральном состоянии, что указывает на отклонение того или иного коэффициента модели от нормы. Возможность уменьшения количе­ ства состояний существенна, так как в противном случае число распределений возрастало бы пропорционально квадрату числа наблюдений.

Объем вычислений при использовании рассматриваемого ме­ тода гораздо больше, чем при адаптивном сглаживании, но здесь успешное прогнозирование гарантированно и в тех случаях, ко­ гда могут возникнуть непредвиденные и существенные измене­ ния в прогнозируемом процессе. Если мы имеем предварительные сведения об ожидаемых событиях, то можно начинать прогно­ зирование при небольшом массиве данных или вообще при их отсутствии. Вместе с тем, если имеется большой объем результатов наблюдений, прогнозирование можно начинать при отсутствии ис­ ходных предпосылок о поведении прогнозируемой величины. Алго­ ритм позволяет построить модель процесса по данным его предыс­ тории.

Результаты текущих наблюдений представляются выражени­ ем d t= [ it+ tt, где (if —уровень полезной составляющей и Et — шум текущего наблюдения. Текущий уровень связан с трендом pt выражением (j-t = i + Pt + Yt, где тренд изменяется по закону

(3t = Pt_i + bt- Будем зачитывать возможность скачкообразного изменения основного уровня yt, изменение тангенса угла наклона 8* кривой и изменение шума е*. Предполагается, что скачкообразное изменение уt основного уровня, изменение тангенса угла наклона кривой ht, а также изменение шума et независимы и распреде­ лены по нормальным законам с нулевым средним и известными (но не обязательно постоянными) дисперсиями De, DY и Dg соот­ ветственно.

В модели, которая описывает j состояний, j » 1, обычно име­ ются два состояния для каждого возможного возмущения, причем каждое из них характеризуется своим значением дисперсии Dj. В устойчивом состоянии дисперсия мала, а в состоянии измене­ ния велика. Имеются также априорные вероятности Hj того, что состояние j не изменяется. Ниже приведен пример четырех состоя­ ний и соответствующих им условных вероятностей и дисперсий, использованных авторами метода в качестве типичных началь­ ных условий. Дисперсия шума Do зависит от соотношения между фактическими изменениями процесса и текущим прогнозом и опи­ сывается соотношением Rj = D.,/Do (табл. 10.4).

Таблица 10.4

Начальные условия для байесовского прогноза

Пусть вектор ср содержит следующие элементы (параметры): ожидаемое значение уровня, ожидаемое значение тангенса угла на­ клона, дисперсию ошибок при определении уровня, ковариацию наклона и уровня, а также дисперсию ошибок при определении тангенса угла наклона. Тогда если в момент времени t — 1 сов­ местное распределение уровня и тангенса уша наклона являет­ ся двумерным нормальным и характеризуется параметрами cpt_i,

то соответствующее распределение в момент времени t также бу­ дет двумерным нормальным, а его параметры будут определяться вектором (р<.

Существуют также выражения для коэффициентов сезонных се­ чений при анализе сезонных рядов методом Байеса [37].

§10.9. Анализ сезонных рядов

Ксезонным относят такие явления, в развитии которых обна­ руживаются закономерности, более или менее регулярно повторя­ ющиеся в определенные промежутки времени. В анализе сезонных явлений ставятся следующие задачи: численно выразить проявле­ ние сезонных колебаний, а также установить факторы, вызывающие сезонные колебания, дать прогноз сезонных колебаний. Сезонные ряды можно разбить на составляющие: тенденции (тренд), сезон­ ные волны (кратковременные колебания) и помехи (случайные ко­ лебания).

Тренд отражает общее изменение ряда за длительный проме­ жуток времени (постоянное увеличение или постоянное умень­ шение числового ряда). Сезонные волны —это более или менее регулярные изменения временного ряда, повторяющиеся через опре­ деленные промежутки времени. Сезонные колебания обычно имеют постоянный период. Случайные колебания вызываются внешними случайными причинами. Они искажают тренд, а также сезонные

ициклические колебания. Выявив закономерные изменения дина­ мики составляющих временного ряда, можно использовать их для экстраполяции значений ряда в будущем.

Методы нахождения основной тенденции развития явления (тренда) идентичны рассмотренным: методу наименьших квадра­ тов, методу скользящих средних и т. д. В последнем случае интер­ вал сглаживания определяется периодом сезонных колебаний.

Для описания сезонных моделей существуют два разных подхо­ да, каждый из которых имеет множество вариантов.

Если дано N результатов наблюдений за какой-то период вре­ мени, то можно записать N поправочных членов (положитель­ ных и отрицательных) или N коэффициентов (больших или мень­ ших единицы), которые затем либо суммируются с результатами