книги / Математические методы принятия решений

Ковариационную матрицу оценок D(9) найдем как матрицу N 1,

вычисленными при найденных значениях оценок 02 и 0}.

После определения точечных оценок 0ь 02 или 0'15 02 и их дис­

персий D(0i), D(02) и л и D(9'j ), D(02) находят доверительные интер­ валы для координат вектора параметров 0. Если число экспери­ ментальных точек достаточно велико и можно считать, что оценки параметров распределены относительно их математических ожи­ даний по нормальному закону, то для получения доверительных интервалов применяют безразмерную ^-статистику Стьюдента, ко­ торая подчиняется ^-распределению с v = п —1 степенями свободы.

Для получения оценок свободных параметров функции Гаусса

нейшего анализа экспериментальных данных и правильной трак­ товки результатов их обработки, а также для выявления послед­ ствий сделанных допущений. Приведем результаты числовых экспериментов для определения закона распределения оценок пара­ метров 01 и 02 функции Гаусса.

Для различных погрешностей элементов выборок х н у ис­ следовалась зависимость средних квадратических отклонений оце­ нок параметров функции Гаусса, соответствующей прямой линии г) = 2 + £, от числа заданных точек на отрезке [0,2; 9,8] и закона их расположения на этом отрезке. Как и следовало ожидать из обще­ теоретических соображений, концентрация точек к концам прямой

гистограммы распределения значений оценок 0i и 02 для разно­ го числа экспериментальных точек, имевших погрешность 10% по осям координат.

В каждом варианте вычислялись также дисперсии оценок и опре­ делялись доверительные интервалы дисперсий. Приведем резуль­

таты, полученные для 17 экспериментальных точек. Как показал

Ц, N

0,375

0,250 •

0,125 -

Рис. 8.3. Гистограммы распределения оценок параметров функции Гаусса для различного числа экспериментальных точек при погрешности 10% по обеим осям координат;

/—для 49 точек, 2—для 17 точек, 3 —для 6 точек; а—распределение параметра 0i ;

б—распределение параметра 02

анализ оценок параметров 0i и 02 по критерию х2-распределения с вероятностью, приблизительно равной 0,80, закон распределения оценок можно считать нормальным со средними квадратическими отклонениями соответственно o(0i) = 0,060 и о(0г) = 0,017.

Процедура линеаризации имеет и свои недостатки. При обра­ ботке нелинейных функций таким методом следует иметь в виду, что для того, чтобы оценки 0 соответствующих параметров 0, по­ лученные из преобразованного уравнения, обладали оптимальными свойствами (несмещенностью, минимальной дисперсией и т.д.), необходимо, чтобы предположение аддитивности ненаблюдаемой случайной ошибки было справедливым для преобразованной, а не для первоначальной модели.

Влияние аддитивной ошибки на величину оценки параметров в преобразованной и исходной моделях можно установить, только исследуя каждую конкретную модель.

На рис. 8.4 и 8.5 приведены гистограммы относительных ча­ стот появления значений параметра о функции Гаусса при обра­ ботке экспериментальных данных непосредственно и с помощью операции линеаризации. Исходные данные после линеаризации со­ ответствовали уравнению прямой г) = 2 + Ç. Относительная средняя квадратическая погрешность в исходных данных составляла 10%. Значения £ принадлежали отрезку [0,2; 9,8]. Гистограммы получены для 6, 17 и 49 экспериментальных точек.

Одновременно в каждом варианте определялись дисперсии а 2(8) оценок 8 в предположении, что справедлива квадратичная аппрок­ симация минимизируемого функционала, т. е. дисперсии оценок вы­ числялись согласно теореме Крамера—Рао, и относительная частота появления оценок дисперсий, а также находилось среднее значе­ ние о(8) полученного ряда о(8). Выпишем интервальные оценки при доверительной вероятности 0,68 и средние значения о(8) при различном числе экспериментальных точек:

1) для операции линеаризации функции Гаусса

Индексы оценки 3 определяют число точек выборки.

Из приведенных результатов следует, что операция линеариза­ ции занижает реальную интервальную оценку параметра о.

Подобные числовые эксперименты проводились для различных исходных данных и при различных комбинациях погрешностей: от 1 % до 10%.

В табл. 8.1 приведены относительные изменения дисперсии оценки математического ожидания для нормального закона распре­ деления при различных комбинациях относительных погрешностей признака 5(xj) и частоты где noi — частота попадания значе­ ний оценки 0, в г-ю ячейку гистограммы.

величин P(£ib 0 1(ùj) и lik, ковариационной матрицей К и диспер­ сиями a2(Xik). В этом случае для образа (ùj имеем

In L(x, р 10) =

Функционал (8.2) можно было бы сразу записать как функци­ онал ортогональной регрессии [21, 43], позволяющий учесть как погрешность определения р, так и погрешности измерений вели­ чин xi, Х2, . . . , х п. Как уже отмечалось в гл. 7, в ортогональной регрессии минимизируется сумма квадратов расстояний от наблю­

где o2(pik) —дисперсия значений Pik, p\xk ~ производная от функ­ ции pâik, 0 1(ùj) no £ifc. Решая системы уравнений (8.3) и (8.4) сов­ местно, находим точечные оценки 0 и £. Условия (8.3) — система

алгебраических уравнений относительно из которой можно най­ ти явные выражения для £,гк, подставить их в (8.2) и получить более простую форму функционала (8.2).

к=1

Функционалы (8.5) и (8.6) позволяют непосредственно (со­ гласно (8.3)) найти оценки свободных параметров 0 и их диспер­ сий D(0). Дисперсионную матрицу оценок свободных параметров 0 находим из следующего условия [21]:

D ( ê ) - M - ' , м . ( - ^ ) |9_г Л . А - 1 . 2 ........N.

Пользуясь полученными формулами, покажем теперь, что ли­ нейная разделяющая функция, определенная без учета погреш­ ностей признаков х и у для двух образов, для которых р(х | to*), г = 1, 2, — функция плотности двумерного гауссова распределения с математическими ожиданиями (х*, у*), i = 1, 2, и одной ковариаци-

\0 a2(y)J

реальной разделяющей функции.

Разделяющая функция в данном случае имеет вид уравнения прямой. Данная прямая ортогональна к середине отрезка, проходя­ щего через точки (х,, у*), г = 1, 2, т. е. имеет угловой коэффициент, раный

( х 2 - Х \ ) о 2 ( у )

02(х)(У2 - y i ) '

Найдем уравнение прямой у = а + Ьх, проходящей через точ­ ки (xj, yi), i = 1, 2, . . . , п, учитывая дисперсии оценок а 2(х) и а 2(у).

Оценки параметров a n b искомой прямой определим как координа­ ты точки минимума функционала (8.5) из системы уравнений (8.3), взяв в качестве параметров 0 соответственно а и Ь:

1 п

1=1

Из первого уравнения получим

Л1

а— —

п

Подставим а во второе уравнение, которое станет квадрат­ ным относительно Ъ. Оценку углового коэффициента b определим

ся корнем данного квадратного уравнения, за исключением редких случаев, когда не различимы разные линии регрессии, что подтвер­ ждает смещенность оценки, полученной без учета а 2(х) и о2(у). Угловой коэффициент b однозначно связан с угловым коэффициен­ том разделяющей прямой: их произведение равно - 1.

Далее оценим смещение разделяющих функций при учете по­ грешностей признаков на примере одномерных гауссовых функций плотности распределения вероятностей р(х | coi) и р(х | «г) с мате­ матическими ожиданиями т\ и т г соответственно, а также с оди­ наковыми дисперсиями а 2.

В традиционных методах не различаются значения ж и Ç, поэто­ му в качестве функции плотности распределения берется р(ж | (ùj) вместо р(£ | u>j). Тем не менее, в процессе оценки свободных пара­ метров Ш | , т 2 и ст2 функций, распределенных по нормальному за­ кону, должны быть получены соответствующие погрешности Ami,

Д ш 2 и Д а.

Разделяющая граница в традиционных методах может быть определена согласно выражению

и в данном случае при А т \ = Д т 2 = 0 разделяющая граница про­

Здесь p'mi(x | 6)j) И р'а(х | 6)j) — ПрОИЗВОДНЫе фуНКЦИИ р(х | 0);) ПО ТП{

и а с о о т в е т с т в е н н о .

Найдем максимальное смещение разделяющей границы (в чис­

и Д т 2. Используя соотношения (8.9), перепишем выражение (8.8) в следующем виде:

в ряд Маклорена. Поскольку здесь не обязательно выполняется