книги / Составные стержни и пластинки
..pdfV
18 Рнс. 139
р 2)(1+ ^ч>р-ч’г){1-ч>Ь
|
2 . + р г + 2 4 > р - 4>z |
|
* |
а решение его имеет вид: |
|
|
|
i |
iЧ5р+ Зр*)г+ [p Z-l)(2 + p |
Р |
з |
) - s p - 3 p |
|
||
*= % = |
2 + P z |
--------------- (84.9) |
|
|
|
|
|
На рис. 139 в координатахр, V разграничены области различных форм разрушения: I —как монолитного стержня; II —как состав ного с двумя шарнирами текучести и Iff —как составного со сдви гом по всей длине шва. Разграничивающие кривые построены по формулам (8) и (9).
SS.СОСТАВНАЯ БАЛКА С ДВУМЯ СЛОЯМИ НЕОДИНАКОВОЙ ТОЛЩИНЫ
Втакой балке (рис. 140) на концах участков со сдвигами по шву в сечениях стержней возникают усилия:
|
N ^ a t r ,M 1 |
и Vz = - c ir T ,M z , |
(85.1) |
||
-с--- |
|
|
|
|
|
Г -» |
Г" |
*Т =J |
|
Л )«, 7 |
|
о |
% |
|
■“ ТШШШ1... |
||
N ^ |
*г |
F3 |
ч )»* |
( |
|
*»с--- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем
|
|
М 4 + M2 + a t T c = M , |
|
|
|
(85.2) |
||
где М —изгибающий момент в сечении балки х — а |
от внешней нагрузки. |
|||||||
Усилия (1) подчиняются условиям текучести |
|
|
||||||
а г Т* |
4 М1 |
|
|
|
|
|
(85.3) |
|
~ r ~ h f* |
6 T h * |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a r r T }бт+ 1M2 = 6-rhz * |
|
|
(85.4) |
||||
Складывая равенства (3) и (4) с учетом (2), получим: |
|
|||||||
2CLZ * /6Т + ЪМ -4аТтс = 6T(hz + h*)• |
|
( 8 5 -5 ) |
||||||
При равномерно распределенной нагрузке |
|
|
|
|||||
|
|
|
М - 0,5qa (l-d) |
|
|
|
|
|
и формула (5) будет |
|
|
|
|
|
|
||
2a ? f z /бг “ 1ш .Т тс ~ 6 T ( h 2f |
+ hz ) = - 2qa . ( t - a ) , |
|
||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
*= — t— L - i l l * 2 a t c +d J ? L ± * L ) . |
|
|||||||
~ a ( l - a ) |
V |
tiT |
T |
T |
2 |
/ |
|
|
Введем безразмерные величины |
|
|
|
|
||||
|
|
X* |
o c = a / l ) / J |
~ c/h ^ , Ч>=Тт1 / б тЬ^ |
(85-6) |
|||
Обозначения |
(6) |
отличаются от обозначений |
(83.3) |
лишь тем, |
||||
что вместо толщины h стоит |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Л# = i ° , 5 <h *+ hP > |
|
|
|
(8 5 .7 ) |
||
т.е. среднеквадратичное из толщин обоих слоев. |
|
|
||||||
Подставив (7) в (6), находим, что |
|
|
|
|
||||
<fs 0C{l-cc) (^+2ctV/)-c(W ),
что полностью совпадает с выражением (83.5). Поэтому дальней шие формулы, приведенные в п. 83 (83.6) и (83.7) применимы и к данному случаю при условии иной расшифровки обозначений, соответствующей формулам (6).
Однако jo теперь может принимать значения, меньшие единицы. В частности, при нулевой толщине верхнего слоя балки и нулевой толщине шва:
Л, = 0; с =^/2; >>=^/(2*0,5*/) = 0,7071.
Во всех остальных случаях J3* 0,7071. |
4 |
Задаваясь значениями ос и V7, можно определить нагрузку # . Ис тинное ос соответствует минимуму Ц*, который определяется по формулам (83.7) и (83.5). Так как ос - a ft не может быть больше O, 5,.то для крайнего случая (ос=0,5) получим из (83.6):
- j - — 1— 4,2=0'>
Больше этого значения увеличивать Vне имеет смысла.
Если балка нагружена в середине пролета сосредоточенной силой P, то внешний изгибающий момент М—0,5Ра. Подставляя это значениеА/в формулу (5), получим:
Za2t l / 6 T - Ы Т тс - б т(b* +/>г2 )= - 2 Ра
и, используя безразмерные величины (6), а также:
Р *= Р1/(бтИя ),
приходим к уравнению
Р*= 24>fl-осЧ>г+ ifoc,
полностью совпадающему с уравнением (83.13), выведенным, для балки со слоями одинаковой толщины. Таким образом,и для этого загружения формулы, полученные ранее для расчета балки с оди наковыми слоями введением приведенной толщины Л*., можно распространить на балки с разной толщиной слоев.
Такой же вывод можно сделать относительно загружения сосре доточенной силой, приложенной в любой точке пролета.
Если балка работает как монолитная, то предельный момент в ее сечении равен (берем его относительно середины сечения нижнего стержня) (рис. 141):
М т| |
hz~hi ( Лг |
t)2~hi |
\ |
( |
hq |
hL+h1 ) ] , |
|
лс +~~2 |
I 2 “ |
4 |
/ |
2. \ |
2 |
2 J} |
|
М = б | Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
= бт |
с + |
|
|
|
|
|
Сравнивая несущую способность монолитной балки с несущей способностью, определяемой состоянием предельного равновесия ^ со сдвигами по шву в крайних участках пролета, можно получить максимально необходимую прочность шва для обеспечения работы балки как монолитной. Это целесообразно производить численным способом, так как вывод аналитических формул очень громоздок.
Рис. 141
86. МНОГОСЛОЙНЫЕ БАЛКИ
Рассмотрим сначала составную балку в виде трехслойного сплошного пакета (рис. 142). Обозначим толщины крайних слоев, которые будем считать одинаковыми, через h , а толщину среднего слоя 4*h. Тогда, следуя примененной выше методике, получим для случая равномерной нагрузки на шарнирно опертую балку:
0,5q a .(i-a ) -a tTh (1 + Ч>)= Мс . (86.1)
Здесь М1 - изгибающий момент в крайнем слое; Мс —изгибающий момент
всреднем слое; Л* —нормальная сила в крайнем слое.
Впредельном состоянии (рис. 142) имеем
Mc=0t2S6ThZV2) |
N : |
*(М < ) |
(86.2) |
$ h 2 |
= 1. |
||
6 |
6 T h 3 |
|
С учетом (1) в обозначениях (83.3) получим
1 + 0 , 5 2 0 , 4 * (1 * Ч>) + ос2"4>Z
(86.3)
Минимальное значение c f будет при
j 1+0,5 ч*г [ - {7+0^4^+ )fl+0,5Ч>\2Ч>( 11V)~^ 2].(86.4)
4> (2 +2 Ч*-Ч>)
По формулам (3) и (4) можно определить нагрузку, вызываю щую сдвиговую форму разрушения. В монолитном стержне:
М = 0,255тЛ2(2 + V) 2 = о д г м г .
У * = г а + ч > )2 . |
(86.5) |
Приравняв у* из (3) и (5) и решив полученное уравнение относи тельно V, находим:
V * |
= |
\ t + l? ± i2 + Z 4 > + 1 ,5 4 > * -Z (Z + 4'}z< K (i-< xj |
Значение ^ |
имеет минимум при |
|
ос |
|
2+V+ (1 + ^ )/(1 + 0,5<м) (7 + 894 6^3) |
|
|
3 + 8V+4V2 |
Если средний брус имеет ширину или прочность иную, чем крайние (рис. 143), то в формуле (2) следует положить
Мс= 0,25бгh2p', уЗ= 4>3б'т |
6Л |
где <?т —предел текучести материала среднего бруса* Ь1—его шири на; Ъ—ширина крайних брусьев.
Выражения для д*и осполучаются из (3) и (4) заменой + на Jb (члены с V остаются без изменения). Положив Р —0, прлучим рассмотренный ранее случай балки, составленной из двух брусьев,
разделенных промежутком, причем
V= (c-h)/h= / > - / .
Формулы для ^ и оспревращаются в (83.5) и (83.7).
В общем случае расчет многослойных составных балок по ста дии предельного равновесия значительно усложняется по сравне
распределенной нагрузкой, можно представить себе форму разру шения в виде пологого многогранника, изображенного на рис. 146. Средняя часть пластинки остается горизонтальной, а крайние час ти, имеющие форму трапеций, наклонны под углами:
% = 2-Р/( C L - f / ( l s t n ос) j tfz = 2 f / ( b - b , ^ i/(lcosoc), (87.1)
где f — прогиб средней части пластинки, остальные обозначения показаны на рис. 144; % — представляет собой угол перелома пластинки по линиям ЕЕ и GH, а % —угол перелома по линиям ЕВ и НЕ.
Из выражений (1) видно, что:
% = % - т ^ т г ‘ |
% |
• |
<87'2) |
Угол перелома по косым линиям |
АЕ, BE, CG |
неопределим из |
|
рис. 147, где показано сечение пластинки вертикальной плос костью, перпендикулярной линии АЕ:
|
|
|
S i t l 2oc \ |
% |
% ~ ( ig o c |
c ig o c ) |
COS ОС |
COS ос / |
* (87.3) |
s in c e V |
COSoL |
Кроме прогибов с переломами по указанным выше линиям в составной пластинке возникают смещения дисков, разграниченных линиями переломов, в первоначальной их плоскости, навстречу друг другу в верхнем слое и друг от друга в нижнем.
Будем считать, что по косым линиям отсутствует сосредоточен ный сдвиг и возникают только сосредоточенные деформации сжатия или растяжения. Тогда (рис. 148):
зоо