Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4662 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Составные стержни и пластинки

..pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
21.07 Mб
Скачать
☆

полученной, например, экспериментально в виде графика или таб­ лицы.

Приращение сдвига по длине шва составного стержня выражает­ ся разностью относительных удлинений краевых волокон, сопри­ касающихся в шве. Оно может быть получено в виде суммы влия­ ний внешней нагрузки и суммарных сдвигающих усилий в каждом шве Т-- т. (х) основной системы, лишенной связей сдвига.

Написав выражения для приращения сдвига для каждого шва, получим следующую систему равенств:

П = A . J + A . n (С - 1,2

(79.2)

tk к to

 

Коэффициенты влияния суммарных сдвигающих усилий 7*- Д Ск

и внешней нагрузки

те же самые, что и при упругой работе

связей (5.14).

 

Дифференцируя, равенства (2) по х и заменяя напряжения tr£ =

—Т/ по формуле (1), получим систему дифференциальных урав­ нений для определения неизвестных Г -:

...... п ) -

Функции <р.( Г.) зависят от интенсивности распределения и ви­ да связей в различных швах.

Для частного случая стержня из двух брусьев, а также для симметрично составленного из трех брусьев при симметричной или обратно симметричной нагрузке имеет место только одно урав­ нение

14Г"- иА 11 Ч7f' 'Г1>J+Д‘*-*10

 

или в других обозначениях:

 

a r V fD + A '.

(79.3)

При А - const решение этого уравнения представляет собой ин­ теграл1

1 Вводя новую переменную р = Р ‘ и зам еняя

„

d p

dtp

d f

P

d p

d / Р

I —

Г

J n

J .

dr

etr ( - f )

 

d x

cLP

d x

 

получим

 

n

 

 

 

 

pzjz = arj4(Ddr +A '(P)t c1f

откуда

 

ra

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p= /

2 ? r f tr f P J d r + 2 A ' r + 2 C f

= drJd.

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

d x = d r jj Z Y j4>(r)dP+ 2Д'г + 2с^

r

 

dr

 

> /

п + С2*

(79.4)

1 2Г§Ч > (Г)аГ+ 2Гд' + С1

Ч

который, вообще говоря, не может быть выражен черезэлементар­ ные функции. Поэтому здесь приходится прибегать к численным методам решения.

Интегрируя, получим выражение (4), Коэффициент 2 при Ci можно отбросить, ввиду произвольности постоянной Cj.

Заменим дифференциальное уравнение (3) уравнением в конеч­ ных разностях

I t

гч>(Г/с) + А ,1с.

(79.5)

К

к

 

7

 

 

 

Здесь к —переменный индекс точек, расположенных на расстоянии ti одни от других по длине шва.

Из уравнения (5) получим

Гк. Г

* Гк - Г„-1 +А

l \ -

(79.6)

рекурентную

формулу для

последовательного

определения

сдвига в намеченных точках. Сдвиг каких-либо двух точек, напри­ мер к — 0 и к — 1, остается неопределенным и может быть полу­ чен из граничных условий. В начале и конце шва суммарная сдви­ гающая сила равна нулю.

Если £ = 0, то 6 l~ A i0 , поэтому в начале и в конце составного стержня приращение сдвига равно разности относительных удлине­ ний краевых волокон по обе стороны шва в основной системе. Этим обстоятельством можно воспользоваться для нахождения од­ ного из неопределенных сдвигов двух первых точек. Заменяя пер­

вую производную rj выражением

( Г? C^)f{2 tf) , получим

 

г,=г,-г

-г*,

 

а из формулы (6):

 

 

Ч , а г г , - Г1 + 1 *

Г 1, получим, что:

 

Исключая из этих двух уравнений

 

Ъ = Ге + а о+ 2~ К * Т ^

T V ( r , h

(79.7)

Если в начале стержня значение сдвига Га известно, то задачу можно считать решенной: Г, определится из формулы (7), а даль­ нейшие сдвиги — по формуле (6). Однако в большинстве задач значение сдвига в начале стержня является неизвестным. Поэтому

Рис. 122

Рис. 123

приходится задаваться различными начальными значениями сдвига и выбирать из полученных решении то, которое -удовлетворяет полностью граничным условиям.

Рассмотрим для примера составной стержень из двух брусьев на пластинчатых нагелях, загруженный, как показано на рис. 122. Зададимся значением сдвига на одном конце стержня и определим, какая сила Р соответствует этому сдвигу. Зависимость между уси­ лиями в пластинчатых нагелях и их сдвигами определялась экспе­ риментально и приведена на рис. 123, причем напряжение Т отнесе-

но к погонной единице длины шва применительно к нашему слу­ чаю.

Расстояние между точками, в которых будем находить сдвиги, принимаем равным расстоянию между нагелями —11 см. Зададим­ ся значением сдвига в точке к — 0, соответствующей последнему

нагелю,

Г0 =0,01 см. Сдвиг предпоследнего нагеля вычислим по

формуле

(7), а всех остальных последовательно по формуле

(6).

Значения Ч> ( б е р е м каждый раз из графика (рис. 121). и

Л'0

равны нулю, поскольку правый конец стержня не нагружен.

 

Полученная таким образом эпюра сдвигов, изображенная на рис. 120 сплошной линией, мало отличается от эпюры сдвигов,

определенной в

предположении, что связи сдвига подчиняют­

ся закону Гука

(пунктирная линия). В эпюрах напряжений за­

метны значительные расхождения при учете пластических дефор­ маций (сплошная линия). Впрочем, количественная оценка явле­ ния зависит здесь от коэффициента жесткости связей сдвига £ , которая будет принята в приближенном ’’упругом” методе.

Суммируя усилия в отдельных связях, получим и общее значе­ ние силы Р , которое должно уравновесить заданный нами сдвиг Г0— =0,01 см на противоположном конце стержня.

80. ИДЕАЛЬНАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ РАБОТА СВЯЗЕЙ СДВИГА

К вопросу о работе составных стержней за пределом упругости связей можно подойти и несколько иначе. Можно принять для связей сдвига вместо фактической диаграммы зависимости между деформациями и напряжениями условную диаграмму в виде лома­ ной линии (рис. 124). Такая диаграмма показывает, что до опре­ деленного предела связи работают как упругие, а по достижении этого предела, который будем называть пределом текучести связей, деформации их могут беспредельно возрастать без увеличения достигнутого напряжения (так называемая идеальная диаграмма работы упругопластического тела).

Рассмотрим конкретную задачу о стержне из двух брусьев с аб­ солютно жесткими поперечными связями и упругопластическими связями сдвига. Нагрузку примем в виде продольных сил и изги­ бающих моментов, приложенных по торцам брусьев. Другими сло­ вами, рассмотрим задачу о внецентренном сжатии-растяжении и чистом изгибе стержня из двух брусьев, рассмотренную нами ранее для случая упругих связей (п. 18),

Так как наиболее напряженными при упругой работе связей оказываются в данном случае связи, расположенные вблизи тор­ цов, то можно ожидать, что при-увеличении интенсивности нагруз­ ки у торцов стержня образуются зоны текучести связей, которые постепенно расширяются к середине бруса. Напряжения связей сдвига в зонах текучести постоянны и равны пределу текучести Тт.

Обозначим длины зон текучести связей через Ъ и длину остав­ шейся зоны упругой работы связей через а (рис. 125). Для упру­ гой зоны справедливо выведенное ранее уравнение

N° N

 

 

з Ф ^ а

 

Эпюра X

N [

'ГДКПППШШгьсь-

 

■чщпшшп^гг

± 1

 

Ъ

 

 

т”=$(гт+д). (80.1)

В значение А должны входить как заданная внешняя нагрузка, так и нагрузка сдвигающими силами, передающимися с участков текучести связей сдвига. Эти сдвигающие силы будут равны - ЪТти их влияние выразится в виде добавочного члена

А 1~ - ъ г г г г = - ъ т т ( —

B2FZ Z E J У

Общий нагрузочный член будет

 

Д = -Ъ Т т1Г+До>

(80.2)

где Л 0 — нагрузочный член, определенный обычным способом как для упругого стержня.

Подставив (2) в уравнение (1), получим:

т " = $ ( гт+ Д0-Ъ ТГ r ) j

(80.3)

где Ъ 'Fy., A ff —постоянные величины.

 

Интегрируя уравнение (3), получим:

 

Т= ^ sh Ах + С2 ch Ах - А0 f v + ЬГт ,

(80.4)

где А , как и ранее, равно Щ .

 

Выражение для напряжений, в упругом участке связей сдвига

получим, дифференцируя (4)

 

Т - А ch Ах + A Cz sh Ах .

(80.5)

Примем теперь начало координат на границе между левой зоной текучести и зоной упругой работы связей. Тогда при х -- Ъ :

Т= -Гт ; Т= О,

(80.6)

так как сдвигающие усилия, которые передаются с левого участка шва, включены по внешнюю нагрузку. Подставив граничные усло­ вия (6) в выражения (4) и (5), получим:

Эпюра %

1И11Н1ШШтт^

Рис. 126

Рис. 127

-1ГГ = ЛС1 ; С,= - г т 1 Л к,

о ^ - с ^ - л , /гт + г^ь

c z ~ a „ l t r - r T b = A l r -

Таким образом, для участка упругой работы связей:

Т * • '£ г c h А х +~ 2 r ~ S h А х .

(80.7)

В середине участка связи по условиям симметрии должны оставаться ненапряженными. На концах участка напряжения в связях сдвига равны ± . Отсюда можно определить длину упру­ гого участка. Подставляя в равенство (7) х —а, получим:

 

 

Тт-

~VT chAcL +

 

sh А п .

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

Ай

sh А а._____Ай

Аа

(80.8)

 

т=

дГ

1+ chAa

ЗГ th

2

 

 

или, заменяя А по формуле (2):

 

 

 

Аа,

АД

ААt

 

 

■АД0

LA

лА

cth

Г Г Т

ГЦ .

-ЬА=

 

2

2

 

CLA

- c th

ah

 

XL

 

АДо

(80.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

График функции

у= * х - cth х приведен на рис. 126. При а = L

нагрузочный член Д0 может быть определен из уравнения

г ; г

AL

cth

А2

При меньших (по абсолютной величине) значениях Л0 формула

(9) уже не действительна, при больших значениях величину аЛ не­ трудно найти из графика, находя пересечение нанесенной на нем

кривой А

х

cth (Л*/2) с горизонталью АС12 —А \! ( Р тЗг) . По

мере увеличения

Д 0 эта горизонталь опускается вниз, переходит

через нуль и

стремится

к

минус бесконечности; длина участка

упругой работы связей а

при этом стремится к нулю.

Из графика

(рис. 126) наглядно следует, что при х >2 кривую

у — х - cth х

можно с достаточной точностью считать совпадающей

с прямой у —л—1 (так как при этом

cthx ~ 1) • Тогда:

AL

Л До

 

 

 

А До

2

 

г г 7Г

 

 

 

ЪТ 2Г

Кроме того,

 

 

 

 

 

 

 

 

Ай0

у

Cth

AL

Я£ 1,

 

 

ГтГ

 

 

2

 

отсюда:

 

A L f2 у 2

;

AL

у Н .

 

 

Таким образом, при AL> 4 и AL /2 —AAJ (%. gr) > 1 расчет упроща­ ется и длину упругого участка а можно определить по формуле

а А ( 2 = A L i z - А Д в ( ( г т з г ) + 1

или

Д = L - 2 A J (Т т Я )+ 2 /А .

При этом

г=

Этот случай отвечает ’’бесконечно длинному” участку упругой работы связей, остающемуся, однако, менее общей длины стержня L . В частности, к нему может быть сведена задача о передаче уси­ лия в бесконечном составном стержне с упругопластичеекими связями по схеме,.доказанной на рис. 127.

Суммарные сдвигающие усилия, накопляющиеся к середине стержня при упругопластической работе связей сдвига, будут

 

 

а/2

Т

= Г__ 2 + [ t d x .

max

т

J

 

 

О

Для вычисления интеграла, стоящего в правой части, заметим, что закон распределения сдвигающих напряжений t по длине участка оказывается тот же, что и при целиком упругих связях, т.е. эпюра V представляет собой гиперболическую синусоиду с ну­ левой точкой в середине участка а . Тогда получим:

 

 

 

 

"I

/

c h ^ - 1

 

т л

 

 

J s h A x d x = Тт fa

 

 

 

A sh (Aaf2)

mttx = К [» +

sh(A&/2)

 

 

= гг ъ+-

( c t h - ^ f - j c t h 2- ^ - l ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

S

i

 

 

 

 

 

 

л г

A .

J ( ^ r » r ) ‘. S L l .

 

 

 

= ~

f

 

Г 1

*

 

 

 

При больших значениях A d •'

ch (ACL/ 2 )= sh (Ad / 2 ) ^ j

и

 

7"

 

= Г Т ( 6

' Т >

 

 

 

при малых Ad:

max

r

A '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch (A a /2 )-1 ^ * 2a-Z/8 5

sh M« / ^ > Xa!2 >

 

 

Тта»ш1ГЛ * +

f ) '

 

 

 

Зная Tmax, можно найти напряжения в обоих составляющих стержнях, которые определяются лишь нормальной силой и изгибакяцим моментом, возникающим в сечении каждого отдельного бруса. Для среднего сечения верхнего и нижнего брусьев:

^л ~ ^гпах >

W2 + Ттах ,

м 1= (М°-Ттахс) E ^ J Z E J ;

Мг = (M °-T m a tc ) E t J 2 / Z E 3 .

В начале упругого участка:

N° - г Т Ъ \ N2 = N°+ f r Ъ;

Mi = (M °+ ry b c ) E 1 3i /Z E J - J

М.г = (M°* ГтЪс)В2 Эг (ZED .

По направлению к торцам брусьев нормальные силы и моменты изменяются по линейному закону до величин:

/v /; №z , M°Ei U i / £ E 3 H M °E2 J 2 JZ E J .

Нетрудно построить также эпюру сдвигов по длине шва. На уп­ ругом участке она, подобно эпюре Т , изображается гиперболи­ ческой косинусоидой и отличается от этой эпюры лишь множи­ телем 4 • На пластических участках работы связей производная от сдвигов Г1меняется, согласно формуле (5.12), линейно, так как на данных участках стержня меняются линейно нормальные силы и моменты. Значение сдвига Г меняется здесь вдоль шва по пара-

278

болическому закону. Максимальное значение сдвига у торца стерж­ ня может быть определено таким образом:

Г '= &„ - ТтТГх ; Г - А0х - ( Т тг/ 2 )х г+ с ,

при Х - Ь ,

r = - t T

~

^2 — ъг* с ^ - г т% -, c = - t T^ * ^ - b l- a z bi

- 1 т Г

(Ь2- х2) ~ А 0 (Ъ-х) - Т т%.

г~

 

Максимальное по абсолютной величине значение сдвига при л —0:

m a x

v

S 2 * г т 4 .

 

81. СТЫК Н А УПРУГОПЛАСГИЧЕСКИХ С В Я ЗЯ Х С Д ВИ ГА

При передаче усилия с одного бруса на другой через упругоплас­ тические связи сдвига по схеме, показанной на рис. 128, зоны те­ кучести связей также будут находиться у торцов стержня. Обозна­ чим длину зоны текучести у левого торца через , а у правого конца через bz : зона упругой работы связей имеет длину

а. =■ 1-Ь1~Ь2 .

Для упругого участка справедливо уравнение

т■ " = ЧЦ т - г тъ ) г * А в 11

(81.1)

ще Ад — свободный член, определенный по формуле (8.2) с учетом внеш­ них сил, приложенных на левом торце.

Интеграл уравнения (1)

Т - С1 shAx + Cz ch Ах + ТтЪ - А 0/<Г>

Учтя граничные условия в месте перехода от пластического участка к упругому

Г = - Ъ т >т= °

и, считая это место за начало координат, получим как и в предыду­ щем случае (79.7):

Z = - r r chAx + ^ £ - s h A x ( Д ^ А ' - Т г Ъ г ) -

В конце упругого участка напряжения в связях сдвига должны равняться Тт и иметь в противоположность случаю внецентренного сжатия не обратный знак, а тот же, что и в начале упругого участ­

ка, т.е. минус. Отсюда получим:

Ай

= ~ Г ch Аа +■ - у sh А а ,

Ал _

АД

АД& -Ъ ,А .

(81.2)

~ ~

дfTr ~

г ?т

 

В случав стержня, симметричного относительно продольной оси, для определения а достаточно одного лишь уравнения (2), так как из условия симметрии

 

 

4 ,= Ъг ~ ( 1 - а ) / 2 .

 

 

Учитывая, что в этом случае:

 

 

 

А л

Аа

At А Д а

At

A N 0

(81.3)

z ~ th г *

г

~ rrT- 2

2 tT

 

можно определить длину

а , зная

А ^/2 -А Д 0!(т ?т) и

пользуясь

графиком функции у -ж- thx (рис. 129) при условии,что 0<а<1,

т.е., что:

 

 

 

 

 

 

 

At/ 2

> NA/(ZrT)>th ( M f2 T T).

(81.4)

Для решения задачи в случае неодинаковых верхнего и нижнего брусьев найдем суммарную сдвигающую силу Г, накапливаю­ щуюся на длине упругого участка. Принимая во внимание, что отно­ сительно середины упругого участка эпюра Г выражается гипербо­ лической косинусоидой, получим

 

 

в/*

 

Г= -

 

ChAxdx- - Z rTsh(Aat2)

Aa

 

 

Ach(Aa./Z)

2

2tlr

f

A Ag

 

A

l

f : -»<А) = - ^ Г * 2Г- Л -

 
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности