Общее сдвигающее усилие, накапливающееся по всей длине стержня
|
2 й о |
+гггтъг |
тг ъг |
ттъг ='гт<ьг |
ьг)- |
|
7Г |
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
В то же время |
0, 1- Ь2 = С - а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
1~а |
А0 |
N |
ь |
l - a |
До |
f |
N . |
2 |
* г г т |
2Тт ’ |
*= |
2 |
2ГЦ. |
|
2Тт |
Подставив найденное выражение для |
Ъ1 в формулу (2), получим: |
.. |
Ха |
ХАо |
X(t~a) |
А й Х |
NX . |
th |
2 |
irzr ~ |
2 |
~ |
2ГГг |
+ 2 |
Vr |
’ |
Ж - ы м / г |
-т/(ггт>, |
|
|
т.е. и в случае несимметричного относительно продольной оси стержня длина участка упругой работы связей может быть опре делена по формуле (3) и графику, приведенному на рис. 129. При N / t T - 1 связи по всей длине шва текут, и соединение двух брусьев нужно считать исчерпавшим свою несущую способность,
Применимость данного метода расчета ограничивается, кроме условия N1Гт < I , также условиями 0 и 2,>0, т.е. наличием
двух участков текучести связей. Из равенств (4) последние усло вия получим в виде
и - а ) /2 + д 0 /(г т т) - ы / ( г г г) г о ,
( t - a ) f2 - A p / ( r t T) + N /(2 r T) * 0 .
Отсюда
А0 / ( дГГт)~ N /(2 TT) ^ - ( t - a ) / 2 ; д 0 /(г ? т) - N/(2TTy (1 -а ) / 2
или
При невыполнении неравенства (5) |
и при N>— |
w |
зона |
—— |
текучести связей |
сдвига |
возникает |
лишь около |
одного |
конца |
стержня. При |
-th |
, как уже отмечалось (4), зоны теку- |
чести отсутствуют. Для симметричного составного стержня левая часть неравенства (5) обращается в нуль.
Формулы для случая только одной зоны текучести не приво дим, ввиду их сравнительной сложности.
82. БАЛКА НА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СВЯЗЯХ СДВИГА
Рассмотрим теперь задачу об упругопластическом изгибе состав ной балки из двух брусьев, лежащей на двух опорах при свободных торцах. Нагрузку, действующую на балку, будем считать сим метричной относительно середины пролета й вызывающей моно тонно возрастающие по абсолютной величине от середины балки к ее торцам сдвиги по шву. При этих ограничениях после возраста ния интенсивности нагрузки до некоторой величины у торцов балки появляются зоны текучести связей, длину которых обозна чим через Ъ, в средней же части балки длиной а, = L — 2b связи будут работать в пределах упругости (рис. 130).
Рассматривая один упругий участок работы связей и учитывая сдвигающие силы, передающиеся с боковых участков как внеш
няя нагрузка, можно написать для этого участка |
|
т "= $ и г т * й ), |
(82.1) |
й = А0 - Г тЬ Г . |
(82.2) |
Общее решение уравнения |
(1), как мы видели ранее (8.3), име |
ет вид |
* |
|
Т - QjShAx +C2Ch/x + A/ar$A(i)'ShX(x-t)di.
О
В нашем случае нагрузка симметрична относительно среднего сечения балки. Взяв начало координат в середине пролета, из усло вия симметрии получим С, =. 0 и
ш п ш >
T= Czch Ах +(A /?)j A(i)'sh A (x-t)cLt;
оX
Z=AC2skAx + (А2/(Г)JA (t) chA (x-t)dt.
о
На концах упругого участка, т.е. при х - |
0,5а, сдвигающие |
напряжения V равны пределу текучести Тг , а суммарную сдвигаю |
щую силу Т |
можем принять равной нулю. Из этих условий полу |
чим: |
|
а/г |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2c > > ^ f - i - j r - j A ( * > s h A ( y - t ) i t = O y |
|
|
|
° Ч2 |
|
|
|
AC2sh |
|
A ( V - c h A ( - j - - i ) d i = Г Т . |
|
|
|
О |
|
|
|
Отсюда |
|
all |
|
|
|
|
|
|
а/2 |
|
|
|
J |
*)**+ T |
U «>' |
|
|
а |
а/г |
° |
|
( |
f |
ТЯГр^м!MihchM Ut- |
|
Подставляя вместо А его выражение (2), получим: |
|
|
|
|
А2 |
а/2 |
|
|
|
(V -ehA tdt |
}гтъг* |
%ch(Ao.}2) |
fch (Аа/2) |
^ - ftC h A id i- |
Аъ |
(tb eh A td t'A tTbth |
Аа * |
Teh (Аа/2) |
2 |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
+АЪ - з/i |
(t ) c h M d t . |
( 8 2 . 3 ) |
Решив это трансцендентное уравнение, найдем а—единственное неизвестное здесь значение.
Рассмотрим, например, случай нагрузки балки, сосредоточенной силой Р%приложенной в середине пролета (рис. 131).
При этом:
Pc ( L
2ZE3 I 2
Рс
t r 2 7 Z E 3
2
Рис. 131
Рис. 132
J |
ltHh * |
|
d i= - Щ |
1 1 ( j ~ |
*)ch H d t= |
0 |
|
/ |
у |
, |
|
0 |
ch |
XOL . |
\ |
|
|
( L - a |
|
XCL |
— 1 |
^ |
|
2ZE3 |
h |
r |
s |
h ~ |
|
f — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив этот интеграл в правую часть уравнения (3), будем иметь:
t r Z (ch + ЪА sh М ■)■ m r< t
M s h - ^ + ch Ха
b * s h - ^ + c h - ^ - 1
M i z * L s h J * + c h 2 2 -
(82.4)
В левой части стоит известная величина, представляющая собой отношение сдвигающего напряжения Гм , определенного по фор
муле (22.5), |
как для монолитной балки, к пределу текучести |
связей сдвига |
Гг. В правой части —некоторая функция от а и L, |
которую можно изобразить в виде графика (рис. 132). С его по мощью можно определить а., зная остальные данные. При Рс/(2. *dTZEJ) = VM}Тт<1 уравнение (4) недействительно, так как тогда напряжения в связях сдвига нигде не могут достигнуть значения Гт .
Но мы получим для применимости (4) более сильное неравенство, положив:
|
а < |
L. |
|
|
При a —L имеем: |
|
|
|
|
|
|
ch (XLf 2) |
Гт |
ch (AL/2) - 1 ’ |
при меньших значениях |
уравнение (4) неприменимо, и все свя |
зи работают упруго. |
|
а. |
может обратиться в нуль только |
Длина упругого участка |
при бесконечно большом значении |
. Это значит, что ни при ка |
ком конечном значении |
нагрузки Р зоны текучести це распростра |
няются до середины балки. |
|
а |
и напряжения по его концам |
Зная длину упругого участка |
в связях сдвига Гт , можно найти любое значение, относящееся
кнапряженному состоянию составного стержня.
Гл а в а 14. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИНОК
83.ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВЕНСТВО ДВУХСЛОЙНОЙ ОДНОПРОЛЕТНОЙ
БАЛКИ
Будем теперь считать, что как связи сдвига, так и материал составляющих стержней подчиняются закону деформирования жесткопластического тела, при котором упругие деформации пренебрежимо малы, а при равенстве напряжении пределу текучес ти Хт или бт деформации могут расти безгранично. Поперечные связи считаем по-прежнему абсолютно жесткими и прочными.
Рассмотрим при этих предпосылках задачу о предельном равно весии однопролетной составной балки из двух одинаковых брусьев прямоугольного сечения размером 1хА с расстоянием между цент рами тяжести сечений (рис. 133). Торцевые сечения не имеют до полнительных связей, препятствующих составляющим стержням.
ши п и п ш ш
|
:--------1-------- |
|
~аЧ |
Рис. 133 |
Рис. 134 |
Балка шарнирно оперта по концам и нагружена равномерной попе речной нагрузкой у.
Одной из возможных форм разрушения такой балки будет сдвиг по шву в пределах крайних участков длиной а (рис. 134). Погон
ные усилия в связях сдвига на этих участках равны предельному значению Тт . Сечения брусьев на концах крайних участков нахо дится в предельном состоянии с напряжениями, показанными на рис. 134. Нормальные силы и изгибающий момент в этих сечениях
соответственно равны:
/ у, -~atT; =qa(t-a)l*i-CLTTclz.
Условие предельного состояния равновесия прямоугольного сечения для идеального жесткопластического тела, как известно, имеет вид:
где
ц = N1 f(dr h)) m - Щ /(бтft2)• |
(83.2) |
Введем безразмерные величины:
<f=TTlf(6Th);<x.= all<0,5;j)=cfh>1. (83.3)
|
Тогда: |
a. |
\ |
|
4>ил |
|
|
|
|
= (f — = v c c ; |
|
^— т~ Г
fya(i-a)-ZcLtTc |
* a(i-a) |
2 C L 4>C |
> |
|
m = |
|
hi |
(83.4) |
6 r h 2 |
|
|
—q,*oc(i-<x)- |
|
|
^ |
|
Подставляя (4) в (1), находим: |
|
|
|
Ч>2осг + а* ос ('t-oc)-ZосЧ>О = 1 ; |
|
(83.5) |
т |
|
|
|
_ * 1+2oC4>fl-4>Zoc
Для вычисления минимума ^найдем производную:
d ( f ос (1-a)(24>J3-24>Z<x:)-Lli-2cc4>p-4>Zoc)(1-2cc)
Приравнивая нулю числитель этой производной и приводя по добные члены, получим:
Zч р о £ - Ч?ос + 2ос - 1=0-у |
(83.6) |
|
-1+ {1+ 2Vp-4>z ‘ |
(83.7) |
оС~ |
2ч>р~ч>* |
|
По формулам (5) и (7), можно определить разрушающую на грузку, соответствующую рассмотренной форме разрушения и за данной относительной прочности шва . Для сравнения рассмотрим форму разрушения стержня как монолитного с образованием шарнира текучести в середине пролета. При этом:
М= бт he= q, lz(6; q 6p. |
(83.8) |
|
Очевидно, что при больших значениях |
стержень разрушается |
как монолитный. Определим минимальную прочность шва |
, |
обеспечивающую его неразрушение и работу стержня как моно литного. Для этого подставим q*из (8) в формулу (5) и из полу ченного уравнения найдем:
врос d -ос) = U 2 ocJ0 ч>м -ос2 Ч?',
(83.9)
=jQ-\/ 1 +/>2- в р л +6р<Хг7оС
Задаваясь различными значениями се, получим различные . Истинному ос соответствует максимальное значение %, обеспечи вающее неразрушение по формам с любой длиной участка сдвигов по шву, кроме истинной. Поэтому ос в формуле (9) следует брать из условия 04^1дос—0, которое после ряда преобразований дает
|
2 - |
(fl-1) |
(83.10) |
|
8 р г - |
*fp2 |
|
|
Подставляя (10) в (9), получим предельную прочность связей
превышение которой уже неувеличит несущую способность балки.
•f* |
|
|
|
|
|
Рис. 135 |
4 Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 136 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7р |
О 0,5 1 1,5 2(р |
|
|
|
|
|
|
Значения % в функции р приведены на рис. 135 в виде графика. |
При /> —1 |
(сплошной составной стержень) формула (9) дает ос— |
~ 0,5 и, согласно |
(8), |
|
2. При/?>1 получим «<0,5, т.е. разруше |
ние происходит по сдвиговой форме с образованием шарниров текучести в двух сечениях. При «стремится к нулю, а ^м—к четырем.
Рассмотрим теперь загружение той же балки сосредоточенной
силой Р, приложенной в середине пролета. При этом: |
|
|
Nf = а Гт) M ^ P a h - a |
t r c /2 . |
(83.11) |
Подставив эти выражения в (1), (2), получим: |
|
I |
а.'Ст |
)2 |
Ра. |
Z a t Tc |
|
|
\ |
&T h |
/ |
* <Sr h* |
lari’ |
' |
|
откуда
р- 2Ттс - аггт!бт+бтьг!а
или в обозначениях (3)
Р*= Р1/(бт hZ) = 1/Л +24>р-к- V2 |
(83.12) |
Так как правая часть (12) —монотонно убывающая функция о с , то минимум Р* достигается при наибольшем возможном значении ос—0,5, т.е. при а.—0,51.
Р*р = minP*=2+2fl4>-Qt54>Z |
(83.13) |
Зависимость (13) показана на рис. 136. Для монолитной балки
М = РИМ ~6Thc ; Р*р = Нр. |
(83.14) |
£
Приравнивая Р„р из (14) и (13), найдем необходимую для обеспе
чения прочности шва прочность связей сдвига |
2. |
Пусть теперь сосредоточенная сила приложена не в середине
пролета, а на расстоянии Ъ от опоры. Тогда, обозначив |
через R |
реакцию этой опоры, получим: |
|
ы г а Т т', M1= (P a ~ a tr c)/2 (а< Ь ).
Эти формулы совпадают с формулами (11), если заменить в них Р на 2Л* Далее^вводя обозначения:
R * - R l/( 6 r hZ) и Jb ~ b j t л
получим, аналогично (12), и учитывая, что тал
|
л |
|
|
Jb4>* |
|
ОСЧ>‘ |
/?*= |
+ Ч>]Э~ |
2 ос |
■+ч>р- |
(83.15) |
|
*Р |
2 в |
|
Для монолитной балки:
* лр = Ас / г ; Я*р - />ЦЬ. |
(8 3 .1 6 ) |
Приравняв R*из (16) и (15), получим:
l/UJb}+‘PMp-Jh4>ll2=ft/Ji-,
84. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ, СОСТАВЛЕННОГО ИЗ ДВУХ БРУСЬЕВ
Сечение стержня возьмем таким, как в п. 83 (рис. 133). На ниж нем конце считаем стержень полностью заделанным в основание, верхний конец — свободным от дополнительных закреплений против сдвига. Нагрузку примем равномерно распределенной. Здесь кроме разрушения стержня как монолитного возможны фор-
.мы разрушения со сдвигом по всей длине шва (рис. 137) и со сдви гом по части длины I -а, , примыкающей к заделке (рис. 138).
При разрушении стержня как монолитного имеем:
ff,5ylZ=dThc} q* = |
f(6r h)~ 2cfb - Zp- |
(84.1) |
При разрушении со сдвигом по всему шву получим:
+ |
N i= T r l ; М ^ - г г и 1 г - ( } 1 2/* 1 * 0 . |
Из условий (82.1) и (82.2) находим:
q t 2 п ZT U |
_ d Thz |
Тт1с |
Т ? 1 г |
\ |
|
|
6 T h 2 |
ь 2 * ; |
) |
или, в обозначениях (82.3):
Наконец, при разрушении со сдвигом на части длины, исходя из условий предельного равновесия сечения на расстоянии а от свободного торца и сечения в заделке, соответственно:
