Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4662 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Составные стержни и пластинки

..pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
21.07 Mб
Скачать
☆

 

 

д(К_

dQ y

 

(73.7)

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

*f£ - часть внешней

поперечной нагрузки, приходящ аяся на г -ыи

слой составной пластинки.

 

 

 

Подставляя в (7) уравнения (6) я получим

 

д гм1

д 2 К и

 

д(мх+ % )

d(ny +mLy )

дх<

* 2 -

А"

д у

дх

*(73.8)

 

дхду

ду

Заметим теперь, что:

 

 

 

 

 

4

L-1

L~1 .

 

 

< = - г * Ч

 

 

m * = ~ г х ъL-1 ;

(73.9)

 

 

 

 

 

 

Ч =

- Г* Ч ;

 

 

 

где

; Ъi

—расстояния от разделяющей плоскости

L -го шва до середин

выше- и нижерасположеннмх слоев (рис. 24).

 

Подставим выражения (9) в уравнения (8) и просуммируем

последние по всем слоям от

L— 1 до

£ = п+ 1. Учитывая при

этом, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п+1

 

 

 

П+1

 

Л+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; £

 

Л

“ м * ’£

м*

мч

' £ ъ

в 9 ’

(73Л0)

где М х j

Му

и

 

 

— суммарные изгибающие

и крутящ ие моменты,

действующие в составной пластинке,

 

лишенной

связей

сдвига;

^ —

суммарная поперечная нагрузка, и что:

 

 

 

 

 

 

 

п+1

 

 

 

 

 

П+1

L

 

1-1

»

П

£

 

Z. ( т ‘ + п Г ’)

= - Z

 

* *■

г х

Ъ ) = - Z r c )

1=1

*

*

 

 

i=1

 

X

 

* 7

i=1

*

1

 

П+1

 

.

 

 

L-1

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

Z (ти + п г „

,

 

 

 

 

 

 

 

 

L - 1

 

У

 

У

'

 

 

 

 

 

 

 

так как

п+1

 

а

 

П +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Т

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г .

 

X

г

-

У

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

получим при этом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д 2Мх

+ 2

д 2м.ху

 

д г ML

 

 

 

 

 

 

дх

1*

д хд у

 

д у 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

d

t t

 

 

 

 

(73.11)

 

 

 

 

дх

 

дУ • - у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение, стоящее в левой части равенства (11), как известно, может быть выражено через бигармонический оператор от проги­ ба, поэтому можно написать:

2 2

 

 

П

d tXL

 

 

 

D0 V V W = о + z с

 

 

 

 

 

 

i-1 i

dx

dy

 

)■

(73.12)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

D

= —

В

 

з

 

 

 

- — — z : h

-

 

 

 

 

0

12(1-J*Z)

L=1

*

 

 

 

цилиндрическая

жесткость составной пластинки, лишенной связей сдвига^

/Л— коэффициент Пуассона.

 

 

 

 

1

Запишем теперь закон Гука для

осевых

деформаций

/-го

слоя

 

. . .

 

 

 

 

 

 

 

- 6* - К

.

£ £ ; = б , ; - ^ <

 

откуда

Е А £ х = А б ‘ - / " А б у

 

 

 

 

 

 

 

 

Е Д £ у

= А бу

-/4 А

;

 

 

(73.13)

 

Ей г ; ^ 2 (1 + / * )д г ; у7

 

 

 

где

L+1

t

 

L / И

;

i

L+1

L

L

 

А б ^ б х - в х ; A e ' - a f - t ; - . A V f, Уравнения (4) суметом (13) представим в виде:

 

----- =С ------Г- i

В

( А б ^ - ^ й б у ) ,

 

дх

L

д х 2

 

 

 

 

 

 

1

дТц

 

d zw

- 1 - ( а

 

 

 

 

4

^

‘

д у г

 

 

 

 

 

д г*

 

2(1+/*)

L

^ ( Лa t1;

+ И

о

Ц

 

, 2 с .

+

 

ду

.

 

j

у —

дхду

В

—

A t.

4:

 

дх

Ч

L

 

 

хУ'

V ^

 

Э*

)

 

 

 

 

 

 

Уравнения (5) преобразуем следующим образом:

- r>у' 4

(73.14)

 

 

2г<+/

 

 

 

i-i

_«*<

дАб*

дйТ.

( 1

* 4 '

 

П

P,

дх

'Жу

Ч .,

 

ду

\ h £+i

hi>) ? >

*L

*£+1

дАб!)

дА?жжу

~L+*

 

 

i

 

>(73.15)

 

 

* ? . Pj"1 Р»_,

У -1f

1

+ ± )

ду

д х

1

 

 

 

 

h£+i

Итак, имеется нужное количество уравнений: одно уравнение (12), 2/г уравнений (15) и Зп уравнений (14). Всего 5 + 1 урав­ нений с неизвестными 2^ , t* t А б /, А б ^ А 2rJ и №. (£ - 1,2........

ti+ 1), всего с 5/i+ 1 неизвестными.

Решим уравнения

 

(1 4 ) относительно значений

*

АбМ At\-,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

*

дб=

 

 

’ 1 д г ;

~ ci

 

 

d 2w

ji 1 д К

 

 

Л о 1 .

 

L-JH1

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

ду

 

С‘

д у2'У

 

 

'*

. 1

 

 

 

л

*

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' 1 дМ

— с.

d 2w

 

j' 1- d t j

С£

< ? V Y l

 

йа^ т ^

 

 

 

ду

L

 

 

 

 

к

дх

д хЧ У

 

 

 

 

 

 

■ Iи

d r i

 

 

д г £

 

 

 

d z w

1

 

 

 

~*у

 

 

\

dy

 

 

 

dx

 

 

 

d x d y \

 

 

и подставим полученные выражения в (1 5 ). Б уд ем иметь

 

 

 

 

 

 

/' d 2t ;

 

ы д Г У

 

 

 

 

 

 

 

д 9 tv

 

м м

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх~

 

+л*

дхду

• ) М

~дх*

 

 

дугдх,-)

 

 

d z t i

 

 

 

 

д ъ/V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дТУ \

 

»

■г

r J H

 

/-Д/3

* i

V д у *

*

 

 

 

 

 

дхду)

 

2сс

дхду -1

 

 

 

 

 

 

1

м

 

 

 

1-1

 

 

 

1+1

ЛL+1

 

 

 

 

—

 

) t L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-(■

r

L+1

 

h J

 

*

 

 

 

 

 

'LT1

 

hi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

f

1

ГА

>

 

 

 

1

дгМ

 

4

 

d zt ‘

 

1 4

/ г у

 

 

 

i-M2l

 

[ d x 2

 

 

Z

dy2

 

2

 

дхду

 

И

z

дхду ~

 

d Mxfl

J 3 w

 

. rfV U .

 

.L+1

(

1

.

1

 

 

(7 3 .1 6 )

 

T x "

W ‘

 

 

iГу2/ ] '

г '

дх1 + дхду2) ]

 

 

ht „

\

At-.f

T h j

'

 

 

 

 

 

 

 

 

Л- L-1

 

n i + 1

 

 

pj-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P L

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^i+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£

 

 

 

д % г

 

_7

 

d z Ц

 

 

a 2*-;

 

 

 

 

L-fi,'

f

t

 

dy 2

 

г

 

d x 2

 

 

dx dy

 

 

(7 3 .1 7 )

-Hi

д г ъ

 

 

 

1

d z r t

 

 

 

‘ \ dд yу3З +'

дидхг)у

\

 

 

дхду

 

 

 

dx 2 JJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$

 

)1

r

( d*w

dd3*v-

)1

 

 

 

 

'b' L+1

 

 

 

 

 

 

 

tfM

>tVf

e*

 

 

 

 

 

 

 

_

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hi+1

 

 

 

 

+ \h*

 

 

 

 

h,

 

rV

—O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'£+-1

*4

 

 

 

 

 

Продифференцируем уравнение (16) по ц , а уравнение (17) noj^ и, сложив результаты дифференцирования, получим:

или

2 2 ) A c ti ( 1

1 \

Е [ 1 г

 

 

 

 

 

17 v : r - b z ~ b n 7 + - k h

 

 

 

 

 

 

Р.

 

Р

 

где

 

 

 

 

h i

hi+i

h c

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А-=

d

t c

 

п

_

d p xL

д Ру

___ *•

-а--

-

- f -----------

Ддг

+

7

*

 

Й*г

 

 

 

 

 

д у

 

 

 

Наконец, определяя из уравнения (12)

 

 

 

 

 

2

2

 

 

А ;

 

 

 

 

V V V

A V = CL +Z: с

.

 

значение

v

2 ° 2

Т j

^1

J

J

 

v

w подставляя в

(19), будем иметь:

(73.19)

(73.20)

гА г

с£

А

1-/и \ А м

( 1

* \

$

~ Наj F ,J J

£ Г Л . Х

( A , V ,

hi / ‘

Л -«

'/>/

Системе уравнений (21) можно придать вид

п

j Aj + Sie

( ‘■ • 1 ,2 ,~ ,п ) >

(73.22)

где

<f..=

У ,

1 -М г

(

1

:

*

)

\

 

 

 

и

 

£

!IЬ ц ,

*L )

 

 

л .

=

ci+*

1 - М 2..

£

-

С‘ С‘ -<

 

V0

Eh с+1 '

 

 

ъа

Eh;

(73.23)

8

 

 

 

 

 

,

,

 

1-М 2 ( Pc

Pl+ Л .

±

 

 

 

 

*i

*

Д.

( I k ~ tl> 1)'> 6Lo

 

В

( л -

h . +J

Ц'o

Полученное решение легко обобщается на случай пластинки, составленной из слоев с разными модулями упругости и коэффи­

циентами Пуассона. При этом коэффициенты (23) становятся рав­ ными

LL

П

-f - Mi +1

-M i .

 

 

я*

E u i ^ i

* E i hi '

 

 

S

Ci Ct+1

1 ~M J+t

. JP _

cc ct

1-Mi

 

F

4 h .

’ °U ‘ 1

 

 

 

 

 

L+1 Пi

'

Я*

Ei fu

W73.24)

 

 

 

 

 

 

f / V '

6 ^

C iz£

 

(

I A- c i > i ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j> _

( .l - M i )

P L

( 1

" M i f - 1 Щ и .

c <•'У .

- n - E J ^ J

.

Uio-

E- hL

 

 

 

h U l

J?a ’

0 Jz, 12(1 -M })J

Для такого обобщения нет необходимости заново выводить все уравнения, Достаточно ввести в (24) приведенные рабочие толщи­ ны слоев

 

пР_

 

E ; < t - / * V

 

 

 

*

1

Е

(1

 

f )

 

 

и их фактические цилиндрические жесткости:

 

 

 

 

 

 

=

п

 

(73.25)

£ .=

 

 

 

4

S 1 ? .

12(1~М 2)

 

 

• -

4

 

I

 

 

 

L-1

 

 

Уравнения

(22) и

(20)

являются

непосредственным

обобще­

нием уравнений теории составных стержней с абсолютно жесткими поперечными связями. Для перехода к составному стержню из

брусьев прямоугольного сечения

единичной ширины достаточно

положить / / - 0,

- Т !’ , где 7} = f

% - сдвигающие усилия

в /-ом шве составного стержня. Крбме того, выражение D0 V 2v zw переходит в "zLE^t у **, где у - прогиб составного стержня, Е ^ - - жесткость на"изгиб сечения /-го стержня.

Заметим, что значения Ас в уравнениях (22) представляют собой

дивиргенции векторов

, составляющие которых в координатах х,

у равны Тл и Т:

^

А; —div V. «

*

L

Точно так же значения

Р; являются дивиргенциями векторов

р .

осевой внешней нагрузки

в i -ом слое.

4

74.ОПРЕДЕЛЕНИЕ СДВИГАЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЙ

ВШВАХ ПЛАСТИНКИ

Уравнение (73.20) дает возможность определять прогибы сос­ тавной пластинки w после предварительного отыскания функций

из системы уравнений (73.21). Для нахождения сдвигающих напряжений в связях сдвига необходимо получить еще некоторые уравнения, так как каждой функции Ас- соответствуют две неиз­ вестные функции Г£ и Ту Эти уравнения получим следующим образом. Продифференцируем уравнение (73.16) по у , а уравне­ ние (73.17) - по л и вычтем одно из другого. Получим

В.

! 1

 

.

i

 

 

1 д* г ‘

д ’ г }

2

1 %

д* !дУ

+

2

д у 3

 

* г

 

 

gx0y i

7

d l r j

i

d z TyL

 

 

д ъг ‘

1

д ът /

2

д х* д у

2.

д к *

- + м ( ± - д х ду2

2

 

д у 3

1

 

дх 3 .)1

е (

д ч w

j

д*1yv

 

d**w

'2

дх гду

д х гду

дх ду 3

 

д х д у ъ

 

 

 

JJ

4

 

 

или

£ V ZB;

где

д у

Bi+1

I 1

+—

) B + &£~1

Qi+i

Qc

^ 1+1

\h c+i

hc

} Bs

~

bli-1

\ '

д г ;

_

 

 

 

II -i

4-

 

r o t f. ■Q- ~

 

 

 

 

 

 

Pi*

дх

i >

L

д у

dx

 

 

9 L

Систему уравнений (1) можно представить в виде

(74.2)

rl , u r -2(1+fiO/(EhU )y, r . . _ r= -2 (U M )l(B h i ) i

rik = 0

rC0= (?(1+A<)/£)(-Qit1 ih M * a. /h . ).

При разных коэффициентах упругости отдельных слоев эти выражения получат вид:

 

II

1 + ^ £ + 1

 

и

\ E U 1 h £+1

 

V. .

—

 

7с,1+1

-

+ 1

 

 

^ С + 1 h 1

а С - к \ > 1)у г . со

е

}| ;

 

 

Е с h i

/

 

 

 

Z d + S * i )

 

 

E -

h£

 

 

 

" I

 

L

h L +1

E t hi

_

Найдя из уравнения (2) значения

„

d v t

дГу с

В -

д у*

д х

и из уравнения (74.21) значения

 

d t ;

д Ц

 

дх

?

 

* д у

можно определить компоненты сдвигающих усилий в швах, решая уравнения:

евс

.

SAj

г г

dAc

дВ_

д у

 

дх *

У

д у

дх

Если силы

р £

имеют потенциал, то вихри их 0 £ равны нулю,

значения В-

при этом тоже будут равны нулю и поля сдвигающих

усилий в швах будут потенциальными. В этом случае можно ввести потенциальные функции т. , удовлетворяющие соотношениям:

з ъ

„ i.

ЗТ.

.•

~ W

* ’

~ Щ Г ~

 

При Q;=-Q существуют потенциальные функции осевых нагрузок

Ыс, определяемые формулами

 

д Ц

(74.3)

дх

 

Тогда получим:

 

 

A

£

. - V ZT - Р. ~ V 2N.

(74.4)

 

L ' £

*•

и уравнения (73.21) можно переписать в виде:

is.1

v J

EL h i

1' У

 

(74.5)

i+1

1£ - ь

E£+1^1+1

V6

Введем функцию M по формуле

 

V М - - ? •

 

(74.6)

Очевидно, что

 

 

 

Л

2

Z

(74.7)

V М - ~DyCAV V

wr

где Яусл — цилиндрическая жесткость некоторой условной сплошной плас­ тинки.

Интегрируя (7) #можем положить:

 

 

 

 

(74.8)

и, так как по известным формулам расчета пластинок

 

2

Л/

+ Mt

(745)

V»v

= -

'у

 

УСЛ <*+#уел)

 

то из (8) и (9) следует

 

 

 

М=

Мж+ Му

(74.10)

 

7 + / v 7

 

 

Здесь уНугЛ —коэффициент Пуассона условной сплошной пластинки.

При >*.=/*

У усл^/*'

Учитывая (6),

можно понизить порядок уравнений (5), изба­

вившись от оператора V z во всех членах. Получим

C ; M

5; J&1 Ч

Ei h i и Ei+1 hi+1 H f а "

<74-и)

Мх а Му в формуле (10) следует считать равными суммарным из­ гибающим моментам в составной пластинке, лишенной связей сдвига, определяемым формулами (73.10).

В уравнении (73.20) также можно понизить порядок, получив

Л

V*w ~~ М + jt.

с -Т .

(74.12)

0

J=1

J J

 

Уравнения (11) и (12) аналогичны уравнениям теории упругих

составных стержней с абсолютно жесткими поперечными связями с той разницей, что место вторых производных crjcLx2в них занимает оператор Лапласа V2H введены коэффициенты Пуассона. В состав­ ном стержне значения TL представляют собой суммарные сдвигаю­ щие силы в *‘-м шве, равные J ^ Ас, значения Л£—продольные силы в’ t-м слое, М— Мх — суммарный изгибающий момент, действую­ щий в сечении составного стержня, лишенного связей сдвига, 330 —

суммарная жесткость на изгиб этого стержня Ч ёB

0.

Для определения Муса

напишем выражения приведенной жест­

кости пластинки при одноосном напряженном состоянии

2 В£ /г - В уСАЕ

у Е усл— Е Е ^ h . / E h -

 

и при одноосной деформации

 

Ejhj ^

EycnEhj

 

В уел______ 1

Е£ hi

1-М*

1 -Мусл

’

1-м1сл = Zhc z

1-Mf

Отсюда получим

 

 

 

 

 

i - M Z -

Еусл Z h c

_

Z EL h £

 

1 * * * -

е

Е;Н£

 

г- Ei hl

 

 

 

1 гМ /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е£

 

 

M i

 

Z h C 1-Jи/

 

 

 

 

 

£ h£ Bi

 

^усл

 

Bi

 

"

 

Z h i

1 - j K f

 

Z h c £l

 

или, обозначив:

 

 

 

 

 

 

 

ь /( * - / • ; > - e ; ,

 

-*

_

E h - Е /

г

 

M }

 

У*УСЛ -

 

Z h £ E * --- - t

 

^

VCA

'

E h - B *

 

Для двухслойной пластинки

 

 

Основные трудности интегрирования уравнений составной плас­ тинки, как и вообще в двухмерных задачах, заключаются в удов­ летворении решения краевым условиям. Отметим, что высокий порядок дифференциальных уравнений составной пластинки дает возможность учитывать сложные и разнообразные условия закреп­ ления слоев пластинки против сдвигов и вертикальных смещений.

Простые граничные условия получаются, если на контуре оПирания -пластинки отсутствуют дополнительные связи против сдви­ гов слоев в направлениях, нормальных к контуру, и имеются аб­ солютно жесткие препятствия сдвигам в направлении касательной

к контуру.

Такие условия можно осуществить, обвязав края пластинки абсолютно гибкой на изгиб и абсолютно жесткой на сдвиг в своей плоскости лентой (рис. 116). При этом градиент функций Т- на контуре пластинки направляется по нормали к контуру, и, следо­ вательно, контур представляет собой эквипотенциальную линию Г- = const Ввиду произвольности начала отсчета потенциальной функции можно положить при этом на контуре

Т£ = 0.

(75.1)

Другой простой случай имеем, когда на контуре опирания созда­ ются жесткие закрепления против сдвигов слоев в любом направ­ лении (рис. 117). Тут уже следует положить на контуре равными нулю производные от Т£ по всем направлениям и, в частности, по нормали к контуру

~ S ir ~ 0' OS.2)

Что касается прогибов »v , то для них ставятся обычные контур­ ные условия, как в сплошных пластинках. Условия (1) и (2) мо­ гут ставиться в каждом шве независимо от краевых условий в дру­ гая швах.

В более общих случаях для сдвигающих усилий следует ставить исходя из уравнений (73.4). Известные соотношения между де­ формациями или перемещениями на контуре пластинки, получа­ емые, как следствие статических или геометрических контурных условий, после подстановки в эти уравнения дают необходимые

соотношения между сдвигающими усилиями в швах т*и

и их

производными пол и у на границе пластинки.

 

В частично проинтегрированной системе уравнений (74.11) - (74.12) постановка граничных условий для N- и М может вызвать трудности. В этих случаях рекомендуется решать задачу с помощью

уравнений (74.5)

и уравнения (73.20), которое можно записать

в виде:

н

 

Х>.

V1V*yv=z £

с - V T . + а .

0

j-1

J J т
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности