Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4661 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Составные стержни и пластинки

..pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
21.07 Mб
Скачать
☆

РИС. 117

I1

76.ДВУХСЛОЙНАЯ СОСТАВНАЯ ПЛАСТИНКА

Для пластинки, составленной из двух рабочих слоев с заполне­ нием, работающим на сдвиг, надо во всех уравнениях положить п = = 1 (такая пластинка иногда называется трехслойной, но нам представляется правильнее называть ее двухслойной составной пластинкой). При этом из системы уравнений (74.11), (74.12) остаются два уравнения:

у 2~г

Л/.

/V-

пМ

(76.1)

где

Индексы, указывающие номер шва, опускаем, так как здесь име­ ется только один шов.

Исключая из уравнения (1) Г, получим:

ч

^ (76.2)

J

ИЛИ

V* V - § cPv2w — -

(76.3)

При отсутствии осевых нагрузок /V, и

равны нулю и уравнение

(3) упрощается:

 

 

V ZM +

SV„-cz

(76.4)

 

<?Р/

 

Earn жесткость шва на сдвиг £ исчезающе мала, то пластинку надо считать лишенной связей сдвига. При этом уравнение проги­ бов (4) получит вид

V2V*w = - V ZM/l)0 '=cj.IV a ,

(74.5)

т.е. обращается в обычное уравнение Софи Жермен с цилиндри­ ческой жесткостью D0 , равной сумме цилиндрических жесткостей обоих слоев.

При 4 ~*’оа получим монолитную пластинку, подчиняющуюся закону прямых нормалей, с уравнением для прогибов

Vkv = - ST>. - с 2

М.

(76.6)

2

 

 

SDa

В то же время для такой пластинки (74.9), (74.10):

V*w = - М/Ям ,

06.7)

где D M —цилиндрическая жесткость монолитной пластинки с продольным

м одулем упругости в зоне шва, равны м нулю.

 

Сопоставляя (6) и (7), находим:

 

= SD Zt /(<fV0 - с ) .

(76.8)

Это тождество может быть доказано непосредственно, с одной стороны:

 

t

i

fZ*

 

t h t

,2

 

м

 

 

+

 

12

 

12

 

 

 

 

E?h*

E * h i+ E * h 2 -)

 

+ F*h

(c

***

 

E? b*

 

 

7

12

i 2

 

 

 

-1 "1

 

(76.9)

 

 

 

. з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(E*hf *£2**г)г

 

"

 

 

 

■hc

е ; и,,+ E*h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с другой стороны:

ч

 

 

 

 

1

 

 

 

'h i+ E th ,

 

( 4

E ,h ,

4

h r ) * Л z>

E *hi Ez hz

 

r

 

 

 

hi

 

 

 

 

 

dD

о

~ c ~

D.

-

hl

 

hz

•

 

 

 

 

O

 

с*# и.

 

’

 

 

 

 

 

 

 

E?h, E.2 nZ

 

 

 

 

 

$1>.О____

C^~ Ei

hi £ / hz. D0

 

 

^

G V -c 7-

 

*o (E lh i+ E Z h J

 

 

^

СгЕ?ЫЕ*Ьг.

, £ t h f + E Z h\

(76.10)

 

4 -

£ + , ^ F>h . + ------- Tz----------

 

 

 

 

 

EZhz

 

 

 

 

 

Выражение (10) идентично (9), что подтверждает тождество

(8). На основании этого тождества уравнение (4) можно написать:

2

2

2

V ZM

+ $ s

м

V

V

w -£ ,ftV w ~ —

 

 

Взяв оператор Лапласа от обеих частей этого равенства, получим окончательно с учетом (6)

 

2

 

2

 

2

 

. л

2 2

_

^ ч

(76.11)

V

 

V

 

V

 

W - 4# V

V W

 

д .

- V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Af

Немного

сложнее

обстоит дело

при

наличии осевой нагрузки

в слоях составной пластинки. Если эта нагрузка имеет потенциал,

то уравнение составной пластинки имеет вид (3). При

полу­

чим, как и прежде, уравнение (5), а при

4

~уо° ~ уравнение

V tv = —

М

 

tU

N,

 

я м

6D0 \(■ в ; А,

£ *

А, ->

 

 

 

Возьмем оператор Лапласа от этого уравнения с учетом (74.4)

и

^

с

/ А

Рг

 

 

V V w = — ------ —

—£-

 

(76.12)

E *hz - )

 

%

Ъ

VФ

 

и сопоставим с уравнением монолитной пластинки, нагруженной,

кроме поперечной нагрузки

? , распределенными моментами тх и

т(ц(с = 1,2). Из уравнения (73.8), положив

(1)

fZJ

ч)

(z)

т х - т х + т х ;

^7у = ту

+тг ,

легко получить для монолитной пластинки

2 2

 

дгПц

 

Заметим, что относительно центра тяжести монолитной плас­ тинки:

 

(V

 

B i h z

 

( 2)

 

m*=/>

"

 

- P x

C

£ ? h ,+ E 2*hz

*

" X

 

Г*

'

 

 

- с £ г^ гР ж1 -£ * Ы Р х} .

 

 

 

Ej> ^2 py

~ £ * P y

 

 

My - С

B fh i+ E T h t

 

 

 

 

 

 

дтл

dmy _

E^h2 Pf - E*h1 Рг

 

 

dx

dy

C

E *hi + E/ h z

тогда получим

 

 

 

 

 

_

2 _

a

 

 

 

- E U ,P Z

Сопоставляй (13) и ( l 2), придем к тождеству:

g * ^ p, - £ > i

Ч _

1

f

p< ____sp

-)

*M (Ef hS Ei

h*>

&J>°

V

B *h ,

E * h z

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

E*h, E * h 2

 

 

E*h„

hz

n

DM(E*ht +£ fh z )

$1),

’ ^

E

 

 

E ? h i£ fh z / z

 

B * h ^ E ^ h z \

 

E*h,* E*h2

( f

+ U°

E*hf E* hz J

 

_ z.

E *hi

hz

 

 

 

 

E fh i - tE 'h z

что совпадает с равенством (9). Таким образом, при $ ние (3) будет

v W = ( 4 - L ) /V „ ,

где

L -

дт.

= С R(£2 hZ

^2 ^ 1

ду

 

дх

е ;

г е ' hz

а при любом $ —вид

(76.13)

уравне-

^ V w - » v w ~ 4 r - * t s E

^ L ,

(76.14)

Ч

и,м

 

где

R — С

Е * Ь Л

(76.15)

 

 

*4

77.ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СОСТАВНОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНКИ

1.Прямоугольная двухслойная шарнирно опертая по четырем сторонам пластинка, нагруженная по краям моментной нагрузкой (рис. 118). При наличии препятствий сдвигам по контуру пластин­ ки во всех направлениях имеем тривиальный случай двусторонне­ го изгиба пластинки, как монолитной, с отсутствием сдвигов по плоскости шва. Если в направлениях, нормальных к контуру, нет

препятствий сдвигам, то будем иметь на контуре условия Т —

— О (76.1). Кроме того, полагаем прогибы по контуру опирания равными нулю. С учетом (76.2) получим контурные условия:

при х —Ои х —<2.1

п . „ 2

,л/_

при у —0 и у — Ъ J ^

V w -

~М/1?е,

где, согласно (73.10):

 

 

M = ( A V М у ) /( 1 + А * „ ) .

Для расчета такой пластинки можно воспользоваться уравне­ нием (76.11), которое здесь принимает вид:

V

V w ~ ^ 8 Ч w —§8№ /2?м— const.

(77.1)

 

 

 

 

 

 

Частное решение можно получить, положив:

 

 

 

V2w - ~ M/DM~ const.

 

(77.2)

Далее надо прибавить решение однородного уравнения

 

 

V V tv -

4 $ V w

- О

 

(77.3)

с контурными условиями:

 

 

w = - М а'о

-Ъи

 

при х —0

и х = а \ W -

Q

V

 

при у —0

и у — Ъ J

 

 

Решение этой краевой задачи может быть проведено, например методом Бубнова-Галеркина.

Сложив решения уравнений (2) и (3) и подставив полученное

выражение

w в формулу (76.2), найдем функцию Т и значение

Т=дТ((дк) и

t y-dTf(dy), Однако их можно получить и более просто из

первого уравнения (76.1)

в котором в данном случае следует по­

ложить

0 и взять

И

по формуле ( I ) :

 

v V - ST+

с(м х +му )

Рис. 118

Граничным условием на контуре по-прежнему здесь является

Т= 0.

2.Прямоугольная двухслойная пластинка, нагруженная равно­ мерно распределенной нагрузкой при шарнирном опирают по контуру (рис. 119). Функция Мздесь определяется из уравнения

V*M = - у

с контурными условиями М = 0. Она равна численно прогибу мембраны под нагрузкой q с растягивающими силами Nx— Мы= 1. Затем эта функция подставляется в уравнение (76.11), принимаю­ щее вид

V V w ~ w = $ д М /Я м •

Условия на контуре принимаются при свободном сдвиге по

нормали к контуру:

W _ Q

(77.5)

при *=• 0

и х — а.'\

при у = 0

и у = Ъ I

3

 

так как М взято равным нулю на контуре. Дальнейшее решение не вызывает принципиальных затруднений.

При наличии жестких препятствий сдвигам по краям пластинки

во всех направлениях вместо второго условия

(5) берется, соглас­

но (75.2):

 

 

 

 

 

 

при л- —0

и * ~ а

д Т _ я

^

( d*w

д 3уу }, дМ

 

 

 

 

или Щ Т & г * Т Щ * Г Ж =1>’

при у —0

и у — Ъ

дт

 

 

дМ

п

ду я 0 или 4

дх^ду

д у ъ s)+^хг~ду

- О,

 

 

причем значения dMfdx и дМ/ду

находятся из решения уравнения

(4). Как видим, при жестких препятствиях сдвигам на контуре

по всем направлениям решение становится более сложным.

и t то

Если требуется определить только сдвигающие усилия ^

следует воспользоваться уравнением (76.1)

у

Рис. 119

 

д о ш

ш

ш

у

■ А ,

 

 

 

J L .

 

 

 

 

1-----------

2 ----------

 

1

Рис. 120

4

"Г-

N!°

К

N a)

t!

N (U ц m

 

У

*1twy

N.ft)

 

N.ft)

N* JS ~ .

 

 

V777777

 

 

 

- 4

 

^

* T + ^ L _

^

 

M>

'

в котором M подставляется из решения уравнения (4).

3.Прямоугольная двухслойная пластинка, нагруженная по

краям равномерными осевыми усилиями N ™ г N N (t) и

N J Z)

(рис. 120). В этом случае можно исходить из уравнения

(76.14)

или из первого уравнения

(76.1), положив в них М—0. Входящие

в эти уравнения значения Л^и Доопределяем по формулам:

 

(A)

(i)

(2 )

(2)

 

4 = Nx +Ну

'> •% = NX

+ На .

(77.6)

которые справедливы и для более общего случая:

Р , *?*(*> > Ру = Р у ( у ) '

Действительно, при этом из (74.3) следует

х у

N=-^P,dx+-t,(y)=jpj/dy + fz <x>=

О

О

гь:

= J / > * ^ + / j ‘>i,a V = / V / V

оО

Подставляя (6) в (7615), получим значение R и уравнение (76.14) для прогибов

г г

^ „ 2 2

1 8

V V iу - $ 0 V w ~ ~~— /? = 0.

Дальнейшее решение аналогично решению для случая изгиба составной пластинки моментами Мх и Ми, приложенными по краям

(рис. 118).

“

78. СОСТАВНАЯ ПЛАСТИНКА С УПРУГОПОДАТЛИВЫМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ И АБСОЛЮТНО ПОДАТЛИВЫМИ

СВЯЗЯМИ СДВИГА

Рассмотренный выше расчет составных пластинок с абсолютно жесткими поперечными связями применим для пролетов, которые значительно превышают общую толщину пластинки, и при сравни­ тельно малой толщине швов. При толстых прослойках между уп­ ругими слоями пластинки, выполненных из податливого мате­ риала, следует учитывать поперечную податливость прослоек. В ряде случаев при этом целесообразно использовать схему составной пластинки с упругоподатливыми поперечными связями и абсолют­ но податливыми связями сдвига, поскольку учет сдвигающих уси­ лий в швах сильно усложнил бы задачу расчета. Таким образом получаем часто применяемую схему расчета составной пластинки,

в

которой каждый упругий слой соединен с соседними слоями

с

помощью среды типа винклеровского упругого основания

(рис. 121).

Нетрудно написать уравнения для прогибов слоев системы, пока­ занной на рис. 121. Эти уравнения имеют вид:

■Р, v W , =

Л2 V *V z w3 = - s , +sz +4°z

(78.1)

т> v * v ‘ w3 = - s * s 3 +<i° ;

0

n+1

Г

Рис. 121

Здесь D / — цилиндрическая жесткость L~TO слоя’ ~ напряж ен»! в поперечных связях i -ro ш ва; fy* —внеш няя поперечная нагрузка в L-ом слое; Ч г V z —бигармонический оператор; It —число прослоек между упру­ гими слоями.

Кроме того, полагаем:

= 7* (*уг~

 

5-2 = *?2 ( ^ - п г )>

(78.2)

 

Подставив (2) в (1 ),получим:

+*9i;

V2 v2 г2w.'г =п, ^ -(7 ,+Р 2 )w2+Пг *3+(fzi

2>з F V % , ^ ?z и',~

+ 7 3

+ Ч°э

;

►(78.3)

« I

• •

 

 

 

 

или

V

* »

. , ъ / С

 

,

 

 

 

 

 

2?. Л 2и/. = ^_ ;

 

 

<£ssi*2*-* п Ч ) -

Систему уравнений (3) можно путем некоторого линейного преобразования прогибов

**£ = * * £ * ук

свести к независимым дифференциальным уравнениям, используя методику, описанную в п. 11, где она была применена к расчету составного стержня на абсолютно жестких поперечных связях:

V*Vf 2 ~ у * (78.4)

Уравнения (4) совпадают по виду с уравнением упругой плас­ тинки, лежащей на сплошном винкелеровском основании. Их мож­ но решать независимо одно от другого, если контурные условия у всех слоев одинаковые (однотипные контурные условия).

Одно из уравнений (4) имеет нулевой коэффициент А . Это следует из того, что сумма всех уравнений (1)

p V r j O . W. ) = Z q ‘. ,

т.е. линейная комбинация прогибов

ZDL. ^ С

подчиняется уравнению изгиба свободной пластинки (с коэффици­ ентом постели, равным нулю).

В случае двухслойной пластинки (/г= 2) имеем два уравнения:

27, V 2V2^

= -

4 ^ + t? w 2 <- ^ ■

V*V2и/

= ?

(78.5)

w2 + q°z

Сумма этих уравнений дает

V2V2 Щ ч + П г wi ) - c f1 -hqr°2 .

Если же умножить первое уравнение (5) на D2 и вычесть из него второе, умноженное на .27,, то получим:

27, Д , v 2 V2( ^ - w z )=

t?[-(D 2 +D\ ) ^

+

+(VZ+Di )n,z ]

 

 

или

-П(Я1+1>2) ,

О

*

2

7 (»,~УУ2)=

ъ ъ

К

 

Отсюда видно, что разность прогибов слоев w1 - w2 подчиняется уравнению плиты на упругом основании с цилиндрической жест­ костью, равной единице и коэффициентом постели

1

■>

Гл а в а 13. РАБОТА СВЯЗЕЙ СДВИГА

ВСОСТАВНЫХ СТЕРЖНЯХ

ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ

79. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СДВИГАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ СДВИГА

Ранее всюду подразумевалось, что как материал стержня, так и сами связи подчиняются закону Гука. Разберем теперь случай, когда связи сдвига работают за пределом пропорциональности, причем ограничимся рассмотрением стержней с абсолютно жестки­ ми поперечными связями. Будем считать, что материал стержней в работе на продольные усилия подчиняется закону Гука. Зада­ димся зависимостью между сдвигами и напряжениями связей сдвига в виде функции

Т=Ч>(П,

(79.1)
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности