Рис. 148
Рис. 149
6^ sirt ос - дг sin ос j |
8z = 81 -Ьд ос . |
(87.4) |
Сосредоточенная деформация сжатия по косой линии в верхнем слое пластинки
сos ос + $2sin ос= |
cos ос * sin.2ос \ |
8* ^ |
|
COSOL / |
COSOC |
Соотношения между сосредоточенными деформациями сжатия 81:5г : 83 получаются такие же, как между углами перелома %: 4>z \ \4>г. Следовательно, нейтральная плоскость в каждом слое на всех линиях перелома находится на одной высоте
С. = 1 ,2 ,Ъ )
над срединной плоскостью слоя (рис. 149,а).
Эпюра нормальных напряжений б= d r по высоте каждого слоя имеет вид двух прямоугольников с уступом на высоте нейтраль ной плоскости (рис. 149, б) . Эпюра же деформаций линейная' и выражается формулой
|
£l- = 4>£ ( Z + C ) |
(i= 1 ,2 ,3 ) . |
|
Работа внутренних сил по линиям перелома одного слоя |
|
Ь/£ |
- ь . |
hft. - |
Tr |
- £ l c j ie.l6r d z = - 0 T[ z i . 4 ’. ( j |z« /< * z+ J /z+ f (d z)] |
|
-h(z |
|
|
|
( c z ? |
, |
, Ч „ Л 1 , |
Подставляя сюда значения углов Vt- (2) и (3) и учитывая, что углы V* и ^ встречаются по два раза, а угол Ч>3четыре раза, получим:
б г
Нормальная сила на срезе слоя по линии перелома, как видно из рис.149, 6, равна 2 с dT . Приложенная по внутренней части пери метра трапециедального диска, она дает равнодействующую 2 сбтЪ или 2 сбг а (рис. 150). Эти равнодействующие уравновешиваются усилиями, которые возникают в связях сдвига Г ft, где Л - пло щадь трапециедального диска. Отсюда следует:
|
2бг еЬ = Гг ft, ; |
2бтса. = г тЯг . |
(87.6) |
Здесь |
£ 2 . — площадь трапеции |
A 8 E F ) |
f t , — площ адь трапеции |
BCGF (рис. 146). |
|
|
|
2 |
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
(ь +ь ,Ц а - а 1)1‘г, |
я г = (а.*а,НЬ-ь,)/4, |
(87.7) |
то из (6) получим: |
|
|
|
|
|
Гг |
(Ъ+ Ь^Ха-а*) . |
ТГ (а-+а<)(Ъ-Ъ,) |
|
~ |
8бт |
ъ |
' |
вбг |
а |
|
Поскольку же значение |
с |
должно быть одинаковым для всех |
дисков, то сетка линий перелома должна удовлетворять условию
( 6 tb ^ ) ( £ L - a ^ ) /6 = ( а + ^ Н Ъ - ъ ^ / а .
или
b ( b - b 1)/(b+ bi )= a f c L - a ^ /f d - a ^ ) . |
(87.8) |
Обозначив величину правой и левой части равенства (8) через £ , получим
Ъ2- Ъ Ь , - t r b - l f b ^ O ,
b^ = (b 2‘~t7b)f (b + t,) и аналогично а=(а^~11а.)/(а+ $). (87.9)
Можно найти координаты точки Е в осях, совпадающих с на ружными сторонами пластинки АВ и AD:
х = a ~a i - а a ? - I d |
Д 4 , |
Ъ - b j |
blj |
2 |
~ 2 " 2(а + $)~ а + 1, 7 |
2 |
Ь+1, |
Отсюда, исключив параметр %, получим уравнение кривой, на ко торой должна располагаться точка £ :
|
a x + ^ x ^ a t j |
1г = а .х 1 ( а ~ * ) ) |
_ |
________ Ъа.х_________ _______ Ъах________ _ |
У ~ |
|
ь Ъ - Ь х + а х |
Это —уравнение гиперболы, проходящей через точку А с асимпто той у ~ baf (а - Ь) (рис. 151).
Работа связей сдвига
T2 = - Z t r ( S l,r ^ S l2r2 ) > |
(87.10) |
где F, к Гг —сдвиги по плоскостям сопряжения верхнего и ниж него слоев пластинки, равные
П,= Ъ Н ,
и, согласно (2) получаем:
-2% hZT( Q^+tgcc SLZ |
(87.11) |
Работа внешних сил V равна произведению интенсивности нагрузки ф на объем эпюры прогибов:
V - iq.f/6) (tib+cijbi + М а __ ^ + ^ =
2т
- ( f y H 6 ) ( 2 а Ъ + 2 а ^ Ъ ^ + a b j - г а ^ Ъ ) .
Преобразуем теперь выражения работ, выразив а1и через£ по формулам (9) для удовлетворения условию (8) равенства с на всех линиях перелома. Для этого находим:
Теперь надо отыскать такое значение 4 , при котором нагруз ка фраэр имеет минимум, а потом подставить это $ в формулу
(12). Аналитически это сделать чрезвычайно трудно, но численно
спомощью ЭВМ не представляет особых затруднений.
Для квадратной пластинки формула (12) принимает вид
Г t rz а24 |
б тh2(a+V* |
4ТтЬсьг 1 |
Заг+ ^ [ бт (a+lj) * |
аг 4 |
* |
а + 1, J" |
88. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ НЕУПРУГОГО МАТЕРИАЛА С НЕУПРУГИМИ СВЯЗЯМИ СДВИГА
Примем теперь зависимости сдвигающих напряжений t cв |
t-ом |
шве от сдвигов по этому шву |
и продольных напряжений |
бк от |
продольных удлинений £к в |
к-ом стержне в виде произвольно |
заданных функций:
Г .= |
Т. |
(Г. ), |
к |
к |
к |
L |
t |
I } |
Продольное усилие и изгибающий момент в к -ом стержне:
N k = l k 6 k d F - M k * l 6 k z d F >
где z —расстояние от центральной плоскости стержня.
Интегрирование ведется по площади сечения Fk . Выпишем эле менты матрицы мгновенной жесткости сечения
Щ _r |
d.6t |
dF* |
dnt |
|
дмк |
|
d£ |
Fk |
d£k |
CLrf dx ~ |
d£°k |
|
°4 |
|
дмк _ r . |
|
cL6 " *z^r Fj |
|
|
dx - Jf=k |
|
|
Lr |
|
|
|
|
|
|
|
|
где на основании закона плоских сечений кривизна |
|
Х |
|
, |
|
о , / |
|
д £ к |
|
|
= (Ek - £ |
|
) / z , |
|
дэе. |
к |
= Z . |
|
|
|
|
|
к " ~ > |
|
|
|
Приращение сдвига на длине/ix t-ro шва |
|
d r . = |
|
L |
|
L+1 |
Х с . ) d x . |
Заменяя |
I |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d r c |
|
tIT ■/ d x |
|
|
получим |
|
|
d x |
|
|
d t - / d r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A I L |
|
о |
о . |
( i t - |
|
|
|
(£. - £ + X c ) - — t- |
|
(&~ 1} •' v кь)t |
|
dx |
C |
L+1 |
d r |
|
где ух—число ш вов.
Из условия равновесия элемента длины стержня имеем
|
|
d N c |
= t r . - t . |
|
|
|
|
d.jc |
|
с |
с-1 • *■г |
|
где р. —продольная нагрузка |
L-TO стержня. |
|
Раскрывая выражение производной clN.fdx, получим: |
|
|
|
|
|
|
* |
.% |
dNi |
d e f |
Щ |
d x |
|
^ |
^ |
^ |
&£? |
d x * |
д х |
dx |
' |
Zi |
VL-i'Pc (L~ 1>z >-> п+1)’ (88.3) |
Второе уравнение равновесия элемента длины стержня имеет вид
dMj dx
( — эксцентриситет приложения продольной нагрузки к £•му стержню).
Составим такие уравнения для всех П'+ 1 стержней и сложим их: имея в виду, что Та=- Vn t1 = 0 , получим:
п+1 |
дМ |
п£ |
dM j |
d X |
= Q - Z p . e + Z t . c . |
(С != Щ Н & 8 Л ) |
^ |
BE? |
dx *i=i |
d X |
d x |
|
|
|
|
|
i s 1 * i-1 * <• |
|
Уравнение (4) |
совместно с л уравнениями (2) и tt+ 1 уравне |
ниями |
(3) образует систему 2/1+2 дифференциальных уравнений |
с 2/i+ |
2 неизвестными: |
= |
1 ,2 ........./г+ 1), ?£(<: = 1 , 2 , . . . ,/г) |
• и яр. Коэффициенты |
|
у dMjdX,dN£fd£r[ |
и dN./dX опре |
деляются по формулам (1) и зависят от6* и х . |
* |
Эта система уравнений была составлена В.М. Захаровым и реша лась им шаговым методом в сочетании с методом конечных разнос тей. Для двухветвенной симметричной диафрагмы 16-этажного зда ния, нагруженной равномерно распределенной поперечной и про дольной нагрузками, была получена эпюра сдвигающих напряже ний, показанная на рис. 1S2 сплошной линией. Пунктирной линией показана та же эпюра в упругом стержне. Как видим, учет пласти ческих свойств материала стержня и связей сдвига приводит к за метному выравниванию эпюры сдвигающих напряжений.
Предельное равновесие полного сечения составного стержня при произвольной диаграмме работы продольных напряжений б(£) находится из общих зависимостей между внутренними усилиями
Nn+1 , М и деформациями |
, X. Эти |
уравнения имеют вид |
|
М = ЕМ- = Щм. (5°.} X).
В общем случае они имеют единственное.решение для деформаций, но в особом случае равенства нулю якобиана:
эта единственность нарушается, что означает изменяемость систе мы. Обозначая:
dN. |
dNL |
дМ |
а . |
дм. |
|
д м £ |
- |
* |
де? |
***' д х |
де? |
|
д х |
~ L-л |
д х |
1-л i J |
можно записать условие (5) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
* * |
0 |
|
0 |
|
А |
; |
|
|
|
|
0 |
л г |
|
0 |
J?>2 / |
|
|
|
J |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
осЛ+ f |
A + f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п+1 |
|
|
|
|
А |
А |
|
А |
, , |
z : |
дг- |
|
|
|
В частности, для стержня из двух брусьев |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г2 ) |
|
/ |
г ссл - О, |
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дЦ дЫ2 ( dMi |
дМ2 ) |
( д Ъ |
|
dNz |
/ |
dN2 \* |
щ |
dSi |
д£2 V д х |
+ д х / |
\ |
д х |
) |
д£° |
~ \ |
д х |
) |
д£° |
1. Бнрюпев В.В., Клячин А.З. О работе составных балок с упругоподат ливыми связями. — Строительная механика и расчет сооружений, 1968, №4.
с.17-19.
2.Быховский Ю.В. К вопросу о применении, расчете и исследовании состав
ных стержней. - В кн.: Труды преподавателей и слушателей Тульского го родского университета научно-технических знаний. Вып. 27. - Тула, Туль ский политехнический институт, 1974, с. 78-84.
3. Быховский Ю.В. Сдвигающие усилия от внешних осевых сил в кон сольных составных стержнях грузоподъемных машин. - В кн.: Подъемнотранспортные машины. Вып. 4. - Тула, Тульский политехнический институт, 1975, с. 62-65.
4.Быховский Ю.В., Сапожников Б.П. Сдвигающие усилия в крановых и экскаваторных стрелах. - В кн.: Подъемно-транспортные машины. Вып. 3. - Тула, Тульский политехнический институт, 1974, с. 39-44.
5.Гоши Б. Статика и динамика зданий с листовым каркасом. Лер. с венг. - М.: Стройиздат, 1984. - 124 с.
6.Дергачев А.А. Некоторые уточнения теории составных стержней приме нительно к алгоритмизациии пространственного расчета зданий. — В кн.:
ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов строительства. - КиевЗНИЭП, 1979.
7.Давыдова Э.Г. Устойчивость двухветвенного стержня из нелинейно уп ругого материала. — Строительная механика и расчет сооружений, 1970, №3, с. 10-12.
8.Давыдова Э.Г., Ржаницын А.Р. Расчет сжатоизогнутого консольного составного стержня. — Строительная механика и расчет сооружений, 1968, №6, с. 7-10.
9.Дроздов П.Ф. Расчет крупнопанельных зданий на вертикальные и го ризонтальные нагрузки. — Строительная механика и расчет сооружений, 1966, № 6, с. 1 -6 .
10. Дроздов П.Ф. Расчет пространственных несущих систем полносбор-
'ных многоэтажных зданий. - Строительная механика и расчет сооружений, 1968, № 1, с. 1 -5 .
11.Дроздов П.Ф. Конструирование и расчет несущих систем многоэтаж ных зданий и их элементов. - М.: Стройиздат, 1977. - 222 с.
12. Дроздов П.Ф. Аналогия между кручением тонкостенных и изгибом составных стержней и систем. - Строительная механика и расчет сооружений, 1978, № 1, с. 19-23.
13.Дроздов П.Ф., Себекин И.М. Проектирование крупнопанельных зда ний. - М.: Стройиздат, 1967. - 416 с.
14.Дроздов П.Ф., Швехман М.НЙУстойчивость многоэтажных каркасных
зданий. - В кн.: Исследования по теории сооружений. Вып. XX. —М.: Стройиздат, 1974, с. 159-165.
15.Дятлов А.В. Устойчивость сплошных составных стержней- —Приклад ная математикам механика, 1938, т. 1, вып. 4.
16.Енделе М., Шейнога И. Высотные здания с диафрагмами и стволами жесткости. Пер. с чешек. —М.: Стройиздат, 1980. —336 с.
17.Жуковский Н.Е. Распределение давлений на нарезках винта и гайки. -
Поли. собр. соч., т. УМ, 1937.
18.Заборов В.И. Прочность и j -гоичивость составных арок. Научное сообщение ЦНИИС, вып. 12. - М.: Стройиздат, 1954. - 70 с.
19.Кушелев Н.Ю. Работа составной дощато-гвоздевой балки. — В кн.:
Труды |
Ленинградского индустриального института, № 3. |
- Л., 1937, |
с. 80-102. |
пластической |
20. |
Кушелев Н.Ю. О расчете составных балок с учетом |
деформации связей. —В кн.: Труды Ленинградского индустриального инсти тута, № 3. - Л., 1938, с. 29-46.
21. Лабоэин Л.Е. Расчет многопустотных и ребристых плит с учетом де формаций сдвига. Строительная механика и расчет сооружений, 1962, № 2,
с.5 -10 .
22.Лабозин Л.Е. Расчет составных, пластин из неоднородных материа лов. - Строительная механикаи расчет сооружений, 1981, № 6, с. 35-38.
23.Линовнч Л.Е. Расчет ослабленных проемами стен на ветровую нагруз ку. - Строительная механика и расчет сооружений, 1965, № 3, с. 43-48.
24.Милейковский И.Е. Расчет составных стержней методами строитель
ной механики оболочек. - В кн.: Экспериментальные и теоретические иссле дования тонкостенных пространственных конструкций. —М.: ЦНИПС, 1952,
с.131-167.
25.Паньшин Л.Л. Продольный изгиб несущих конструкций многоэтаж
ных зданий. - Строительная механика и расчет сооружений, 1973, № 1,
с.30-34.
26.Писчиков В.Г. Продольный изгиб деревянных составных стержней. —
Проект и стандарт, 1935, № 2.
27.Писчиков В.Г. Поперечный и продольный изгибы составных деревян ных стержней. —Проект и стандарт, 1936, №-6.
28.Плешков П.Ф. Теория расчета деревянных составных стержней. -
Л.: Стройиздат, 1952. - 193 с.
29.Подольский ДМ. Метод расчета пространственных стержневых систем, податливыми связями. —Прикладная механика, т. Ш, вып. 12,1967.
30.Подольский Д.М. Расчет объемных элементов жесткости зданий по
вышенной этажности. - Строительная механика и расчет сооружений,
1968 № 1 с. 5 -8 .
31. Подольский ДМ. О пространственной устойчивости высотных зда ний. —Строительная механика и расчет сооружений, 1970, № 2, с. 63-69.
32.Подольский ДМ. Некоторые пространственные задачи расчета несу щих систем многоэтажных зданий. —Строительная механика и расчет соору жений, 1971, № 5, с. 57-62.
33.Подольский Д.М. Расчет составных тонкостенных стержней с ортого
нальными |
связями. - В кн.: Исследования по теории сооружений,' |
вып. XIX. - |
М.: Стройиздат, 1972, с. 84-94. |
34.Подольский ДМ. Пространственный расчет зданий повышенной этаж ности. —М.: Стройиздат, 1975. - 158 с.
35.Пшеннчкин А.П., Гарагаш Б.А. К расчету крупнопанельных зданий
как составных стержней с учётом фактора времени. — В кн.: Надежность и долговечность строительных конструкций. — Волгоград, Волгоградский политехи, ин-т, 1976, с. 43-53.
36.Ржаницын А.Р. Работа связей в составных стержнях. - Проект и стан дарт, 1938, № 2, с. 29-32.
37.Ржаницын А.Р. Работа связей в составных стержнях. - Науч. тр./ /МИСИ им. В.В. Куйбышева, № 2. Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1939, с. 150-194.
38.Ржаницын А.Р. Устойчивость составных стержней на упруго податли
вых связях. - В кн.: Исследование прочности и устойчивости деревянных стержней. - М.: Стройиздат, 1940, с. 140-179.
39.Ржаницын А.Р. Составные стержни на упругоподатливых связях. - Прикладная математика и механика, 1940, т. 1У, вЬш. 3, с. 99-107.
40.Ржаницын А.Р. Теория составных стержней строительных конструк ций. - М.: Стройиздат, 1948. —192 с.
41.Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. - М.: Гос-
42. Ржаницын А.Р. Расчет составных стержней в состоянии предельного равновесия. - Строительная механика и расчет сооружений, 1967, № 5,
с. 27 -30 . |
|
43. Ржаницын А.Р. Колебания составных стержней. - |
В кн.: Надежность |
и долговечность строительных конструкций, выл. II. - |
Волгоград, Волго |
градский политехи, ин-т, 1976, с. 73-79. |
|
44.Ржаницын A J\ Расчет составных пластинок с абсолютно жесткими поперечными связями. — В кн.: Исследования по теории сооружений, вьтп. XXII. - М.: Стройиздат, 1976, с. 120-133.
45.Ржаницын А.Р. Устойчивость сжатых слоистых структур. - Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела, 1978, № 3, с. 173—177.
46.Ржаницын А.Р. Строительная механика. - М.: Высшая школа, 1982 .-
400с.
47.Ржаницын А.Р. Предельное равновесие составной двухслойной плас тинки. - Строительная механика и расчет сооружений, 1984, № 44, с. 17г-19.
48.Ржаницын А.Р., Давыдова Э.Г. Устойчивость составного стержня при действии переменной по длине продольной силы. —Прикладная механи
ка ,!. 1У, 1968, № 1.
49.Ржаницын А.Р., Захаров В.М. Расчет составных стержней из неупруго
го материала с неупругими связями сдвига. —Строительная механикам расчет сооружений, № 1, с. 16—18.
50.пканнцын А.Р.у Милейковский НЕ. Расчет оболочки каркаса высот ной части дворца культуры и науки в Варшаве на ветровую нагрузку. - Строительная промышленность, 1954, № 2, с. 24—28.
51.Тимошенко СП. Об устойчивости упругих систем. - Изв. Киевск.
политехи, ин-та, 1910, кн. 4, с. 375-560.
52. Филин А.П. Об «одноразовой; работоспособности трехспойной прямо угольной пластинки при сосредоточенном нормальном центральном ударе тела малых размеров. - В кн.: Исследования по механике строительных конструкций и материалов. - Л.: ЛИСИ, 1982, с. 81-92.
53. Хечумов А.Р. Свободные колебания многослойных пластинок с абсо лютно жесткими поперечными связями. - В кн.: Сб. трудов МИСИ им. В.В. Куйбышева и БТИСМ им. ИА . Гришманова, вып. 28. - М.: ВТИСМ, 1978, с. 94-98.
54.Хечумов А.Р. Собственные колебания прямоугольных двухслойных пластин со смешанными краевыми условиями. - В кн.: Сб. тр. МИСИ им. В.В. Куйбышева и БТИСМ им. И.А. Гришманова, т. 8. - М.: БТИСМ, 1979, с. 51-55.
55.Хечумов А.Р. Собственные колебания двухслойных пластин со слож
ными очертаниями в плане. - В кн.: Сб. тр. МИСИ им. В.В. Куйбышева и БТИСМ им. И.А. Гришманова, т. 8. - М.: БТИСМ, 1979, с. 5 6 -58 .
56.Хечумов А.Р. Собственные колебания прямоугольных двухслойных пластин с ортотропным заполнителем. - В кн.: Сб. тр. МИСИ им. В.В. Куй бышева и БТИСМ им. ИА. Гришманова. - М.: БТИСМ, 1980, с. 124-130.
57.Хечумов Р.А. Вариационный метод расчета составных стержней пере менного сечения. - М.: МИСИ, 1962. - 28 с.
57. Хечумов Р.А. Устойчивость составных стержней переменного сече ния. - В кн.: Исследования по теории стержней, пластинок и оболочек. - М.: МИСИ, 1965, с. 106-113.
59.Холопцев В.В. Применение метода начальных параметров к расчету жесткости составных балок с упругоподатливыми связями сдвига. - Изв. ву зов. Сер. Строительство и архитектура, 1964, №11.
60.Холопцев В.В, Расчет составных многопролетных неразреэных ба лок. - Строительная механика и расчет сооружений, 1966, № 3, с. 26 -29 .
61.Шапиро Г.И. Расчет составных стержней,со случайными связями сдви га. —Строительная механикам расчет сооружений, 1975, № 5, с. 33-36.
.. 62. Arnovlievic J. Zur Kraftverteilung in genieten Staben. - Osterr. Wochenschrift f.d.offentlich Baudienst. —Wien, 1908.
63. Arnovlievic J. Beitraj* zur Theorie der Verbundbalken, unsbesondere der genieteten Trager. —Zeitschr. f. Arch. u. Ingenieurwesen. —Hanover, 1910.
