Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4539 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

§ з] ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ 381

Решение системы (3.1) ищем в виде

<р ( а ,	р, t) =	?тп( < ) ( а , р),	\
И7(а,	р, t) =	feu(t)wma(a, р).	\|

Представим сртя (а, р) и (а, Р) в виде произведения двух функ

ций, каждая из которых зависит только от одного аргумента и может быть представлена в виде линейных комбинаций фундамен тальных функций поперечных колебаний балок, заведомо удов летворяющих только двум граничным условиям на каждом краю оболочки:

Р) = Х . ( « ) У Я (Р), }

Выразим соответственно решению (3.6) вариации функций напряжений и перемещений в следующем виде;

= 'Р„ш5Фт В- b w =

(3-8)

Вариации коэффициентов Фтп и /тя, являющихся функциями лишь времени t, произвольны и не связаны между собой.

Используя произвольность вариаций 8Фтя и 8/тв, а также ор тогональность фундаментальных функций X (a), Y (р), U (а), V (Р), согласно (3.6) и (3.8) из (3.5) получим следующую си

стему уравнений:

5 J [	Ф т	А<?тп(+		4у flnL)
\ \ [ ^ Л ^ ) Ш			ЯП- Ф т^ { ш		тп,		f mn) -f- fm T\ —jfelr +			(3.9)
				+ f mnT	\	^	+	Ct	dp = 0,
где m — 1,		2,	3,	. . n — 1,	2,	3.
Подставляя значения tpmB и wmi из (3.7) в систему уравнений
(3.9),	вычисляя			соответствующие				интегралы,	получим	систему

уравнений относительно функций Фтоя (t) и /тя (t). Исключая из

этой системы Фтя (<),	получим следующее нелинейное уравнение
относительно искомой функции fmn (t):
To		) f m- e mJ i„ + dmJ l n = 0,	(3.10)
dt2
		2 , m nl/
где введены следующие обозначения:
для квадрата частот собственных колебаний оболочки
	(В2		(3.11)
	от	c th h

382

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. Ш

для критических значений тангенциальных усилий Т°( при их

независимом

статическом

действии

у»

1ЛJ 'l ~Ь *^2^2

т*

__ J-lI'l +

^2^2

(3.12)

l,mn—

J1Ji

2’ми—

h h

для коэффициентов нелинейных членов

-^2^3+^3^2

У з

(3.13)

Cp/i/e

и, наконец, для интегралов, входящих

формулы (3.11)— (3.13),

, t = \ \ [ A j ^ Y „ + ^ + 2 A ^ ^ +

, 4

г Х " ] Х - У " ' г “ ф

(3.14)

^ ; =

SS[

т г

2<D

><+

2 D

**>т

(*■т■?

£'

7 ;

х -

(3.15)

41^

7>	Г ГГ^	т	dW V Т/ ,	^ и ^ ! 1 т
3 _	J J L	# 2	rfa2 Л / т Т	йа2	d^2
			— 2 ^da	dp	da

у T J	_ _		(3.16)
m	я
dp	C/MFmda dp,		)
dp	J и m	~	)

J5 = ^

mu ^ ,

(3.17)

J6 = C9\ \ U l V l d z d p.

Очевидно, интегралы должны быть вычислены по всей средин ной поверхности оболочки. Пределы интегрирования легко опре делить после того, как будет установлена система ортогональных координат а, р и контуры оболочки.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

§ 31

ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ

383

1. В частном случае линейной задачи, когда исходные уравне ния имеют вид

Ь2(-А) 9	^в№= 0>
Ь (Л) w- УйСр +	+ 7Ц * + Сг $ = 0 ,

уравнение динамической устойчивости записывается так:

&fm —J—со2 (		1	7**	7»i	■ )/ « .= o.
dn	I mn V
			л \ ,т п	л 2, mn

(3.18)

(3.19)

2. Пусть прямоугольная в плане (а х 6) оболочка шарнирно

оперта по всему контуру. Тогда граничные условия запишутся обычным образом (рис. 69):

при	а =	0,	а =	a	w =	0,	М х= 0,	Тг — 0,		v =	0;
при	{3=	0,	{3=	Ь	u; =	0,	M 2=z 0,	Г2=	0,	в =	(3.20)
при	{3=	0,	{3=	Ь	u; =	0,	M 2=z 0,	Г2=	0,	в =	0.
В этом случае,				полагая
		х п = и п =			s i n	,	Ym =	Vm=	s	i n	\|
							9т =				(3.21)
		К =	пп1а’				9т =	тФ ’			I

из (3.11)—(3.13), согласно (3.14)—(3.17) и (3.21), получим для коэффициентов уравнения (3.10) следующие выражения:

со2 —

тп

г ,1»		>1
	тп =
Т*	тп	-
* 2»

''mn d mn

*	“(V 2	+	fclfl)	- Д	1
	.	Д т я		mn 1*
H*H	.	Д т я		- Д	- ] .	11
H*H	~(k2X l+ k ^ l)2			- Д	- ] .	11
	~(k2X l+ k ^ l)2					1
1 ~ (к ^ + k ^				L д 1		r1
92,						]
16	*«9m		+	*l9m)	*
C ?ab			Дт »		*
C ?ab			Дт »
512	i		Ч А
9	C f * »		b'mn ’

где

^тп	"Ь 2 (^12 + 2Пвв)	Л229m, 1
Д;я = ^	+ (^е + 2Л12) ^	+ ^п9*- I

(3.22)

(3.23)

(3.24)

Из формул (3.22) и (3.23) нетрудно получить ранее найденные формулы для определения частоты колебаний (1.14) и критиче ской силы статической устойчивости (2.8) круговой цилиндриче

ской панели. Таким же образом могут быть найдены указанные расчетные величины для различных типов пологих ортотропных слоистых оболочек.

384	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК		[гл. ш
3.	Принимая
	Т\ — Т10-(- Ти cos Ы, 7Ц = Рэд“Ь ^ cos Ы,		(3.26)
из уравнения динамической устойчивости		(3.10) получим уравне
ние параметрически возбуждаемых колебаний
	-J- Q2(1 — 2[л соя Щ /— е/2—j—dp = 0,		(3.27)
где
	О* = со*(1 Г и Л + У Т	)•
	т\т\	)•	(3.28)
	Ти Т1+Т^Т\		(3.28)
	Ти Т1+Т^Т\

т щ - Г10Г5 ■ Т2оП

Здесь и в последующем индексы т и п опущены, поскольку урав нение (3.27) идентично для всех форм колебаний.

Заметим, что Q2, представленное формулой (3.28), является квадратом частоты собственных колебаний рассматриваемой обо лочки, загруженной постоянными составляющими тангенциаль ных сил Т\ и Г®. Коэффициент р называется коэффициентом воз

буждения.

Уравнение (3.27) досконально изучено в специальной литера туре, поэтому здесь, не вдаваясь в подробности, приводятся не которые окончательные результаты, представляющие интерес с точки зрения оболочек.

Введем в рассмотрение силы сопротивления. Полагая, что сила сопротивления является линейной функцией скорости перемещения

с коэффициентом линейного		затухания е, перепишем уравнение
(3.27) следующим образом:
^ + 2ef	+ Q2(l - 2 p c o S^ / - e /2+		d/3= 0.	(3.29)
Решение уравнения (3.29) ищем в виде
/= /о! + /иc°s	— <Pi),	/ = /02 + /12 sin (3	-—?2)	(3-30)

соответственно для нижней и верхней границ главной области не устойчивости, которые определяются обычным образом с помощью известной приближенной формулы

& ^ 4 2 2( l + j / p 2- l ! i ) .

(3.31)

Подставляя значения / из (3.30) в (3.29), после выделения постоянных членов и гармоник получим следующую нелинейную-

$ 3]

ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ

383

систему алгебраических уравнении относительно /0< и fu:

df0i -	eft; + 2 2/0f - 1	(e -	3df0() /?,. =	0 ,
/?, - i № -	422 L1 + ( - 1)*	— 4 ^ tg <p.-> /lf -			(3.32)
	(2e/0< -	З а д	/„ = 0	(/=	1 , 2),
где			e&
			e&
	2f. = — (— 1)' arcsin il§2				(3.33)

Принимая f0i <C fu и пренебрегая нелинейными членами, происходящими от /0f, из первого уравнения системы (3.32) пO'- лучим

/о,-

efh

(1= 1, 2).

(3.34)

2Ш+

3df\t

Тогда из второго уравнения (3.32), согласно

(3.34),

будем иметь

/ ?,=•& -<* + Л

[(К + А Г +

82^]'/,},

(3.35)

где

К =

4Q2(1

(_ i)<

4е&tg Т|,

(3.36)

__9Q2__ \2

СрД'

• 2о>2

* -

ГмН + У

(3.37)

(

7*7*

Б случае, когда е=0, т. е. когда пренебрегается затуханием,

из (3.35) в силу (3.31) для fu найдем

1Ь =

^ - 1>2-

V(»2-

Ч<+ ^ ) 2+

822 (»2 -

»;,)]■

(3-38)

Рассматривая

(3.35)

(3.38),

заметим,

что при А <

0 для

/j4 имеем только одно положительное значение. Та же картина имеет место и в пластинках.

В случае А > 0 после потери устойчивости наблюдается паде

ние возбуждающей частоты до некоторого				критического значения
которое определяется из уравнения
(Ц{ -	+	A f +	822 ( К -	Ъ1<) = 0.	(3.39)
Решив уравнение (3.39), получим для нижних критических
частот следующее выражение:
=	» 2w -	2	т 2 )2	и = 1, 2).	(3.40)

25 С. А. Амбарцумян

386	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК		[ГЛ. III
Этим	частотам,' по	формуле (3.38), соответствуют	следующие
значения амплитуд		колебаний:
			(3.41)

Рассматривая формулу (3.41), замечаем, что первое значение (верхние знаки) нижней критической частоты для амплитуд коле баний будет действительным при А > 0; если же взять нижние знаки, то не будем иметь действительных значений для амплитуд колебаний.

Для нижней критической частоты главного параметрического резонанса и для соответствующего ей значения амплитуд колеба

ний имеем											J
	8- = ^ - 2 Й г - 2 ) ' ’									<М 2 >
	- ^20_(_2е_
/и			Зс( \УЗd
			2е					■		(3.43)
г		е	'/Зё
					и		1, 2).
		3J	~2ё
Таким образом,	предположение /0.						fu	позволило получить
простые формулы для		определения нижних критических частот
	и	амплитуд			установившихся				резонансных
	колебаний.
		Как		показывают			численные		результаты,
	эти		формулы		хорошо			согласуются		с	точ
	ными.
		2.		Динамическая				устойчивость			анизо
	тропной замкнутой круговой цилиндрической
	оболочки. Рассмотрим задачу динамической
	устойчивости длинной анизотропной замкну
	той круговой цилиндрической оболочки, сжа
	той		продольной			силой		Q = P 0-\-P1COS
		Принимается, что в каждой точке обо
	лочки имеется лишь одна плоскость упругой
	симметрии, параллельная срединной поверх
	ности 7 = 0 . Ортогональная система									коорди
	нат		выбрана		так,	что		.4 = 1, 5 = 1,		R1= cc>,
	5 2= 5 = co n st				(рис.		70).
Под действием нагрузки Q в начальном состоянии в оболочке
будем иметь
Т°= — 2Ш (Ро +				Р1с08^)>		Tl =		0’ S° =	°-		(3.44)

§ 3]	ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ	387
Тогда	из (1.3.27), согласно (1.3.26), (1.4), (2.1) и (3.44),	полу

чим следующее уравнение динамической устойчивости рассматри ваемой оболочки:

ГD —

L 11 «X

■+ 2А..)

— 2А“ w

+ Л„ £ ] ф = О, (3.45)

где р=т<Jg — плотность материала оболочки (у0— удельный вес материала оболочки, g — ускорение силы тяжести), е — коэф фициент линейного затухания, а для коэффициентов линейных опе раторов, как всегда, имеем

(3.46)

(3.47)

Предполагая, что оболочка достаточно длинная, представим решение уравнения (3.45) в виде

(3.48)

где / (t) — искомая функция времени t, к= эт/Х — волновое число, X — длина полуволны в направлении образующих оболочки, п — число волн по окружности поперечного сечения оболочки.

Подставляя значение Ф из (3.48) в исходное уравнение (3.45), получим следующее дифференциальное уравнение:

Ж + 23 I T + 2 2(! - 2р cos Щ /= О,

(3.49)

где имеем:

для квадрата частоты колебания оболочки, загруженной по стоянной составляющей внешней нагрузки,

(3.50)

25*

388	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК			[ГЛ. III
для коэффициента возбуждения
			1 Р г	(3.51)
		Р ~	2 Р* — Р0 ’	(3.51)
		Р ~	2 Р* — Р0 ’
Для	критической силы статической устойчивости
		п*	2тzRK	(3.52)
			№ •	(3.52)
			№ •
В эти формулы входит коэффициент К, который характеризует
Волнообразование		и упругие	свойства оболочки и	имеет вид
K =	DUV + AD„	+ 2 (0 12 + 2D66) J ^ - + AD26’§ +

- 2 Л , т £ + Л „ £ ] " . (3.5.1)

Таким образом, рассматриваемая задача динамической устой чивости круговой цилиндрической оболочки в общем случае ани зотропии (имеется лишь одна плоскость упругой симметрии) также приводится к известному уравнению Матье (3.49).

Не вдаваясь в подробности, приведем окончательные формулы определения границ главной области неустойчивости:

» . , = 4 B " [ l - ) / > - ■ £ ] ,

(3.54)

9.! = 4 2 *[l + J / V - 4 J ] -

Рассматривая формулы (3.50)— (3.54), легко сообразить, что границы областей неустойчивости существенно зависят от меха нических характеристик материала оболочки.

На примере осесимметричной задачи, т. е. когда имеет место осесимметричная форма потери устойчивости, покажем влияние ориентации ортотропного материала в теле оболочки на значения критических частот.

Если имеет место симметричная форма потери устойчивости,

то Н=0, а критическая частота	принимает минимальное значе
ние при*)
A;2— (P , - f 2P0)l8nRDn.		(3.55)

*) Ради сокращения выкладок рассматривается консервативная задача.

§ 3]	ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ							389
Тогда	для границ	главной			области неустойчивости			получим
	Д2 —	4	1Г	1	3	(Рг + 2Р0)П	’
		рh R z	jL ^22			64*2Dn J	’
	А2 —	рh №	Г	1	, 3	(Р 1 + 2Р0)21	J -
	* 2 -----	рh №	jL^22		1	64*2Dll	J -
	* 2 -----	4

Пусть оболочка изготовлена из ортотропного материала так, что два главных направления упругости материала в каждой точке оболочки составляют произвольный угол 9 с главными геомет рическими направлениями оболочки я, (3, а третье главное направ ление упругости совпадает с соответствующим направлением ко ординаты у.

Тогда, если упругие постоянные материала в главных направ


лениях упругости обозначить через В						то для упругих постоян
ных, входящих в (3. 46), (3. 47), получим
5 П =	В'п cos49 - f 2 (В[2+ 2B'ee) sin29 cos2 9						+ В2! sin49,
#22 =	В'п sin49 +			2 (В'п - f 2B'J sin29 cos29			- f B'n cos49,
#12 =	B 'n+		Г#п +	#22 — 2 (# [2+	2#ee)l sin2 ? cos2 ?>
#66 =	#ee +		[#u +	#22 — 2 ( # » +	2# 6e)] siw2 f cos2 ?>			(3.57)
#16 =	j	[#22 Sin29 — B 'n cos2 9 +			(5 12 +	2 5 66) cos 2 9 ] sin 2 9 ,
T?26=	у	[5 22 cos29 — B\i sin29 — (Bl2-j- 2B'6e) cos 29] sin 29.

Рассматривая формулы (3.55),		(3.56), (3.46)	и	(3.57), легко
заметить, что минимальное	значение критической			частоты
и значение длины полуволны	в	направлениях	образующих су

щественно зависят от угла ориентации 9 материала в обо лочке.

Рассмотрим численный пример. Пусть .Р0=0, Рг=ЪЕЪ2, В\\=

=107?, В'22=Е ,	В'6в=0,ЪЕ, я ;2= 0.
С помощью	формул (3.46), (3.47) и (3.57) определим значе

ния А 22 и # п при различных значениях угла ориентации 9 . Сов местно с исходными данными подставляя полученные значения А 22, # ц в (3.56), найдем искомые величины критических ча стот при заданных углах ориентации материала в теле обо

лочки.
Результаты		подсчетов представлены			графически (рис.	71).
Здесь	приводятся		значения	р#2/47? в зависимости		от
угла	9 .
Рассматривая приведенные графики, замечаем, что: а) изме
нением ориентации			материала	можно	существенным образом
изменить экстремальные значения				б) изменяя ориентацию мате
риала, можно		изменить ширину		области	главного параметриче

390

К О Л ЕБА Н И Я И УСТОЙ ЧИВОСТЬ О БО ЛО ЧЕК

[ГЛ . III

ского резонанса; минимальные значения ширины зоны устойчиво сти можно получить в окрестностях <р=0; в) вблизи ср= тс/2 наблю дается бурное возрастание критических частот, а в окрестностях <р=0 и (р=тс в достаточно большом интервале изменения угла <р критические частоты изменяются незначительно.

Эти результаты подтверждаются и другими примерами.

3. Несколько слов об учете поперечных сдвигов при рассмотре нии задач динамической устойчивости. Исходные уравнения дина мической устойчивости и при учете поперечных сдвигов строятся обычным образом. Если ограничиться принятой в этой главе точностью (см. §§ 1, 2), то можно построить эти уравнения, исходя из любого разрешающего уравнения или разрешающей системы уравнений уточненных теорий (см. гл. I, §§ 6—9), путем замены гру зовых членов соответствующими инерционными членами и фик тивной поверхностной нагрузкой, т. е. полагая

д*а

Х = —рhdt* ’ Y = - ? hW>

Z = —| d?w— 7>J — 7>2 — S°X. (3.58)

Решая полученные таким образом уравнения по описанным

выше схемам, мы опять приходим к уравнению Матье
ij£ + 2 *(l_ 2 p c o s t o )/ := 0 f	(3.59)

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4539 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.1 Mб4Общая и неорганическая химия..pdf
#
12.11.202315.66 Mб2Общая картография..pdf
#
20.11.202323.58 Mб2Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб3Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб1Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб3Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб1Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб1Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб5Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf