книги / Общая теория анизотропных оболочек

и для температурных членов:

Очевидно, к выписанным соотношениям должны быть присоеди­ нены уравнения равновесия элемента оболочки и уравнения нераз­ рывности деформаций срединной поверхности, которые должны совпадать с соответствующими уравнениями общей теории, т. е. с (1.1.8) и (1.1.21), в предположении, что X = Y = Z = 0 .

Этого достаточно для построения разрешающих уравнений задачи термоупругости и получения частных решений, отвечаю­ щих температурным «нагрузкам», т. е. температурным членам этих уравнений. Для конкретности рассуждений целесообразно рас­ смотреть конкретные типы оболочек.

а. О б о л о ч к и в р а щ е н и я . Рассмотрим ортотропную оболочку, срединная поверхность которой является поверхностью вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М срединной поверхности будем определять координатами: <р —

324 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II

тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия (13.11), а третье уравнение примет вид

относительно двух искомых функций V = V (s) и W— W (s):

Таким образом, осесимметричная температурная задача тео­ рии ортотропной слоистой оболочки вращения сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений, отличающейся от аналогичной системы уравнений статической задачи (1.2.17), (1.2.18) лишь «грузовыми» членами.

Вопросы решения соответствующей однородной системы урав­ нений достаточно полно освещены в §§ 4—7 настоящей главы, поэтому здесь нас будут интересовать лишь вопросы определения частных решений, отвечающих температурным членам.

и, учитывая точность исходных предположений, ограничиться

326 Н А П РЯЖ ЕН Н О Е СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМ АЦИИ О БО ЛО ЧЕК [ГЛ . I I

где, наряду с (13.21), имеем

чим следующие уравнения и соотношения, которые будут использо­ ваны для решения задачи термоупругости весьма пологой оболочки:

уравнения равновесия:

Т, a + S . = 0, Т2 в4 -S = 0 ,

где, как и раньше, для К(ти Q0 имеем (13.17).

Подставляя значения компонент деформаций из (13.26) и (13.29) в уравнение неразрывности (13.27), получим

где <р=<р (а, р) — функция напряжений, тождественно удовлетво­ рим первым двум уравнениям системы (13.28), а из третьего урав­ нения (13.28) и уравнения (13.30) получим

M Z?,t)ii;+V*<p = - V „ ( T r ) ,

(13.32)

L2(£<*) ? — VRW= — VOTTQ,

где для Llt Vrfr имеем известные представления, а остальные one раторы имеют вид:

Таким образом, температурная задача теории анизотропных пологих оболочек сводится к решению линейной системы дифферен­ циальных уравнений (13.32) при заданных граничных условиях.

Здесь искомыми функциями, как и в случае обычного смешан­ ного метода, являются функция напряжений <р(а, Р) и функция перемещений w (а, Р), посредством которых представлены все расчетные величины задачи, а именно:

тангенциальные силы: — определяются формулами (13. 31); моменты:

Рассматривая разрешающую систему уравнений и расчетные формулы, замечаем, что, как и в случае оболочек вращения, в слу­ чае пологих оболочек разрешающая система уравнений темпера­ турной задачи отличается от соответствующей системы статической задачи лишь «грузовыми» членами.

2. Задача термоупругости ортотропной оболочки вращени с учетом зависимости упругих и термических постоянных мате­ риала оболочки от температуры. В некоторых задачах термоупру- • гости оболочек, когда рассматриваемые разности температур до­ статочно велики, а сама температура превышает некоторое пре­ дельное значение, характерное для данного материала, бывает необходимо при определении температурных напряжений учиты­ вать изменения термоупругости постоянных материала оболочки

в зависимости от температуры. Отсылая читателя для полного j изучения вопроса к специальной литературе, рассмотрим здесь ;

S 13] ТЕМ П ЕРА Т У РН Ы Е Н А П РЯЖ ЕН И Я В О БО ЛО ЧКАХ 329

лишь оболочку вращения, на примере которой можно получить представление о рассматриваемом вопросе.

Задача решается в линейной постановке без учета явлений пол­ зучести материала оболочки в предположении справедливости обобщенного закона Гука. Геометрия срединной поверхности рассматриваемой оболочки читателю известна и характеризуется рис. 58 и формулами (13.9).

В основе рассмотрения лежит несколько модифицированная гипотеза недеформируемых нормалей. Принимая все основные положения указанной гипотезы, будем считать, что относительная

При этом предполагается, что модули упругости и коэффициенты Пуассона являются произвольными функциями температуры Т —

— Т (s, 7), т. е. имеем

E1==E' = Ea{T), Et = E ' = Ef (T), ^ = у,(Г). (13.37)

Пусть, далее, оболочка изготовлена из такого ортотропного материала, для которого зависимость коэффициента линейного тем­ пературного расширения от температуры можно аппроксимиро­ вать линейной функцией:

«1 = <*■,= а , + Ь,Т, а.г = ач= а9 + Ъ9Т, а3 = аг = а^ + ЬуТ.

В силу принятых предположений из обобщенного закона Гука легко получить

где для Bik, как и раньше, имеем (13.4) (без индексов г). Согласно модифицированной гипотезе недеформируемых норма­

лей, для относительных деформаций получим (см. §§ 1 и 9 гл. I)

330 Н А П РЯЖ ЕН Н О Е СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМ АЦИИ О БО ЛО ЧЕК [ГЛ . И

ГДё

верхности соответственно вдоль меридиана и по нормали к сре­