книги / Общая теория анизотропных оболочек
..pdf272 |
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II |
|
Отсюда, учитывая, что 1т=тп/а, замечаем, что граничные |
условия (8 .1) удовлетворяются для каждого члена разложения в отдельности.
Остается рассмотреть вопрос о граничных условиях на прямо линейных кромках оболочки. Для конкретности рассуждений
представим себе, например, что при P= |
нормальное перемеще |
|||
ние |
w имеет заданное |
значение w (а, $1)=w*(a.). |
||
Представим го*(а) |
в виде тригонометрического ряда: |
|||
|
|
w* = 2 |
W*msin |
(8.27) |
|
|
т |
|
|
где |
W*m — известная функция |
(В. |
|
Очевидно, для удовлетворения граничного условия, наложен ного на ю (а, (3) при (3 = 13!, мы должны будем удовлетворить ра
венству |
|
|
2 w m (Pi) sin xma + |
2 w°m(Pi) sin Xma = |
2 w l sin Xma, (8.28) |
m |
тп |
m |
что эквивалентно требованию |
|
|
^ |
m(Pi) + ^ ( P i ) = ^ |
(8-29) |
т. e. и на прямолинейных кромках оболочки граничные условия рассматриваемого вида выполняются для каждого члена разло жения в отдельности.
Имеются и иные типы граничных условий, которые не допу скают почленного удовлетворения. Однако они здесь не будут рас смотрены.
Таким образом, интегрирование разрешающего уравнения (8.2) и удовлетворение граничным условиям (как по прямолинейным, так и по криволинейным кромкам оболочки) могут быть осуществ лены для каждого номера т в отдель ности. Следовательно, для каждого номера т (для каждого члена раз
ложения) |
будем |
иметь |
по восьми |
|
граничных |
условий (по |
четыре на |
||
каждом |
прямолинейном |
крае обо |
||
лочки), |
накладываемых |
на краевые |
||
значения функции фт , которая |
||||
должна |
удовлетворять |
обыкновен |
||
ному |
линейному |
дифференциаль |
||
ному уравнению |
восьмого порядка |
|||
(8.5). |
|
|
|
|
2. |
|
|
|
К |
лочка замкнутого профиля. Рассмот рим ортотропную многослойную цилиндрическую оболочку кру гового замкнутого профиля, у которой главные направления упругости совпадают с направлениями координатных линий.
276 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
получим для внутренних сил и моментов, перемещений, углов по ворота и напряжений в слоях оболочки формулы, аналогичные предыдущим, причем Тг, Т2, М г, М 2, N x, о„, ор, и, w будут содер
жать множитель sin /тар, a S, Н, N2, |
v будут содержать множи |
тель cos/тар. Что же касается операторов (8.36)— (8.48), то в них |
необходимо <\>'т заменить на ф", а тп на (—тп).
Таким образом, для любых тп, имея интегралы <3?'т и ф" уравне ния (8.33), можно построить напряженно-деформированное со стояние рассматриваемой оболочки, причем в соответствии с (8.34) и (8.49) напряженно-деформированное состояние расчленяется на симметричное и на обратно-симметричное относительно началь ной образующей р = 0 .
Рассматривая приведенные здесь формулы, нетрудно заметить, что условия периодичности по переменной р выполняются в каж дом члене разложений в отдельности. Здесь, кроме условий пе риодичности, необходимо выполнить и граничные условия на тор цах оболочки. Полагая, что частный интеграл неоднородной за дачи, отвечающий внешней нагрузке, известен, можно записать выражения для внутренних сил и моментов, напряжений в слоях и перемещений, отвечающих этому частному решению, с помощью тригонометрических рядов вида (8.31), в которых коэффициенты разложений будут известными функциями. Поэтому граничные ус ловия на торцах оболочки могут быть удовлетворены обычным образом.
Для конкретности рассуждений положим, например, что при а = aj (на одном из торцов оболочки) тангенциальное перемещение имеет заданное значение и (а 15 р )= и * ( В). Тогда для удовлетворе ния этому условию надо потребовать, чтобы
2 [ К К) cos mp + U"mК ) sin /тар] - f
т__
+2 [Ко К) cos /тар-f U"m0(аД sin /тар] =
m
= 2 [ К * («) cos тир- f t r ,(a ) sin /rap], |
(8.50) |
m
где предполагается, что
U °= 2 [К о (a) cos + Ко (*) sin /rap]
ffl=0
представляет тангенциальное перемещение, отвечающее частному решению неоднородного уравнения, а
“* = 2 ГК *С0!3 + К *sin
«=о
§ 8] |
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК |
277 |
представляет разложенное в тригонометрический ряд, заданное на контуре а= аг значение функции и* ((3). Очевидно, коэффи циенты U'm и U"mf являются известными функциями.
Равенству (8.50) можно удовлетворить, полагая
(8.51)
Таким образом, условия, накладываемые на коэффициенты сим метричного напряженно-деформированного состояния (коэффи циенты, отмеченные одним штрихом), не переплетаются с услови ями, накладываемыми на коэффициенты обратно-симметричного напряженно-деформированного состояния (коэффициенты, от меченные двумя штрихами).
Имеются и иные типы граничных условий, которые не допус кают раздельного удовлетворения граничным условиям симметрич ного и обратно-симметричного напряженных состояний. Однако они здесь нас не будут интересовать.
Таким образом, интегрирование разрешающего уравнения (8.30) и наложение граничных условий может быть выполнено в отдельности для каждого номера т, и притом раздельно для сим метричного и обратно-симметричного напряженных состояний обо лочки. Тогда на каждую искомую функцию <\>'ти ^'тбудет наложено по восемь граничных условий, которые обеспечат определение восьми произвольных констант, входящих в каждую из этих
функций. |
|
|
|
|
3. |
Несколько |
слов об |
интегрировании уравнений |
(8.5) и |
(8.33). |
Рассматривая |
задачи |
ортотропных цилиндрических |
обо |
лочек открытого и замкнутого профиля, замечаем, что первым и, пожалуй, основным этапом расчета указанных типов цилиндри ческих оболочек является интегрирование обыкновенного линей ного дифференциального уравнения восьмого порядка с постоян
ными коэффициентами, а именно в случае |
оболочек |
открытого |
||
профиля — уравнения (8.5), в |
случае же |
оболочек |
замкнутого |
|
профиля — уравнения (8.33). |
|
|
|
|
Как обычно в случае |
оболочек открытого профиля, полагая |
|||
Ф. = |
C J ”® |
(Cm= const), |
(8.52) |
|
а в случае оболочек замкнутого профиля |
|
(8.53) |
||
= с У т* |
(Сш= const) |
из уравнений (8.5) и (8.33) получим следующие характеристичес кие уравнения восьмого порядка:
(8.54)
(8.55)
§ 9] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 279
Полагая А ~ Л , т. е. считая, что координата a=s является без размерной, и для краткости записи принимая X=Y== 0, перепи шем разрешающее уравнение (1.3.36) следующим образом:
|
|
|
d*w |
r |
d2w |
|
|
|
Ri |
|
Д З |
|
^ |
+ |
C M |
(9.1) |
||||
|
|
|
W |
|
■2т- r ^ - s s r + ^ ^ Z - ^ C |
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
0 ^1в(^11^2В— ^42^lft) |
|
п = |
Q, |
12Д2 |
|
||||||||
|
|
|
т - |
|
(9.2) |
|||||||||||||||
|
|
|
г |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
1Ш1 |
А2 |
|
|||||
|
|
= (СцС22— С]2) С66-(- 2С12С16С2в |
|
CnClg |
|
а д . |
(9.3) |
|||||||||||||
|
|
Ш1 — а д б — С^, |
|
|
— С |
112. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Тогда, |
согласно |
(1.3.35) и |
(1.3.38), |
|
для |
внутренних |
сил и |
||||||||||||
моментов получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Тг= |
СпЬг + |
С1662, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m |
|
2| |
Ю |
I |
|
^'1б(С’п^26 — ^12^1в) |
А2 |
rf.,2 |
I |
|
К |
_1 |
Г h |
|
||||||
Т 5= |
— |
д - |
i ------------------ -- --------------- |
ВЯЗ |
+ |
С 12°1 + |
С 2б02. |
|
||||||||||||
|
|
'16 6ДЗ |
|
da2 |
“ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S „ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.4) |
||||||
C „ ^ j ^ - + C A + C « 4 , . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
сг |
|
Свя (^12^16~ ^ 11^2б) |
hl ... _1_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
•^а — “ |
|
|
|
^ |
|
|
бйз |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
г |
(л |
| |
^11^-66 А 2 \ |
А 2 |
^ 2ц? |
I |
h |
I |
г |
( 1 |
_ )------ L \ А |
|
|||||||
+ |
с 1б |
+ |
|
|
W l |
З Д 2 / 1 2 Д З d s 2 + ^ 1 6 1 г |
|
6 6 ^ |
I 6 Д 2 / 2> |
|
||||||||||
м,= |
С ,В |
( с 12^*16 |
^ 1 1 ^ - 2 б ) |
6 Д 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
А 2 . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
__п |
(л |
|
|
|
|
А.2 |
|
|
| « |
|
А* * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___A2 _We\_______ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 V |
|
З Д 2 |
ci>^ / |
1 2 Д 2 |
d S2 |
|
|
|
|
|||
»/ |
|
C9fi (С1г^1в — С11С2б) |
А2 |
...__ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 И ‘> |
= |
|
|
|
|
~ |
|
|
6 Д 2 |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.5) |
|
|
|
|
|
|
|
In |
А2 |
С„С1вС26\ А2 |
|
din; r, |
h?_h |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
" 4 C« ~ |
W |
— |
|
5J----)\ 2 Ю Ч ^ + Ь*Ш °2 |
|
|||||||||||
II __ |
Сяк (^12^16 |
^11^2б) |
А2 |
... __ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Н — |
|
|
|
|
^ |
|
|
6 Д 2 |
W |
|
|
|
d^w | /, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
п |
(л |
А2 |
Сп Сж\ |
А2 |
А2 * |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 Д 2 |
i |
S 2 |
°бб 2Д °2> |
|
|||
|
|
|
ЯГ |
___ |
^ 1 6 (^12^-16 — |
^ 1 1 ^ 2 б ) |
A2 |
d w |
___ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
/vi — |
|
|
~ |
|
|
бдз |
* |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ l |
|
|
|
|
C h \ JАL2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
- С |
„ ( 1 |
A 2 |
йЗш |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 Д |
2 |
o>! |
/ |
1 2 Д 3 |
d « 3 |
* |
(9.6) |
|||||
|
|
|
я7 ._ ^66 (^12^16— ^11^2б) |
A2 |
du> |
__ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
i V 2 “ |
|
|
|
Ш1 |
|
|
" б6 Д Зз " 5rfsГ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, , |
|
/ я |
A 2 g n C w N |
* 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 1 6 \ |
З Д 2 |
|
< »i |
|
/ 1 2 Д 3 d a 3 |
|