книги / Общая теория анизотропных оболочек

Затруднительно также отыскание общего решения уравнения (1. 23). Поэтому ограничиваемся классом решений, являющихся решениями следующего дифференциального уравнения:

и удовлетворяющих граничным условиям для и>, т. е. условиям непрерывности и однозначности w на сфере.

Из (1.23), согласно (1.24), для частот собственных колебаний трансверсально изотропной сферической оболочки получим

собственными функциями которого являются присоединенные функции Лежандра.

Нетривиальное ограниченное решение этого уравнения суще­

Ря(х) = 2яп ! ^ К * 2— !)*]■

Полученная здесь формула для определения частот колебаний рассматриваемой оболочки позволяет ставить задачи оптимального проектирования, конечно для рас­

(рис. 61). Пусть, далее, оболочка составлена из однородного материала (Са:=hBik); тогда для коэффициентов /тайга, входящих

Имея значения упругих постоянных материала оболочки в глав­ ных направлениях упругости, с помощью формул (1.1.42) илй (II.9.38) легко определить значения коэффициентов Bik, входя­ щих в (1.32).

Имея значения всех В(к, с помощью формул (1.32) определим значения /тайга при различных значениях угла <ри далее с помощью

23 С. А. Амбарцумян

с учетом искривления и нарушения нормальности поперечного элемента оболочки. Эти вопросы требуют дополнительных ис­ следований, более корректных, чем это сделано до сих пор неко­ торыми авторами.

Здесь, сознавая незавершенность исследований в этой области, при рассмотрении задач устйчивости оболочек с учетом попереч­ ных сдвигов все-таки будем пользоваться представлениями (2.1),

которые в первом приближении позволяют выяснить влияние по­

с интенсивностью р, приложенной по торцам оболочки (рис. 62).

Пусть оболочка изготовлена так, что главные направления упругости материала ее совпадают с координатными направле­ ниями а, [3(А = \ , 2?=1). Пусть, далее, оболочка шарнирно оперта по всему контуру (а = а , а=0; $=Ь, [3=0).

Очевидно, что в рассматриваемой оболочке в безмоментном

23*

ляющие явления, связанные с учетом поперечных сдвигов, в ча­ стности зависят от формы волнообразования (т. е.от чисел т и п )

срединной поверхности панели при потери устойчивости. С уве­ личением чисел та=1, 2, 3,. . . и п = 1, 2, 3,. . . влияние членов,

представляющих поперечные сдвиги, увеличивается.

Далее, следует указать, что с увеличением параметра h*

увеличивается расхождение между значениями критических сил, найденными по классической теории (k * = 0 ) и по уточненной тео­

рии. Причем, как и следовало ожидать, критическая сила, най­ денная по уточненной теории, всегда меньше соответствующей критической силы, опрделенной по классической теории.

Наконец, укажем, что, минимизируя р*пп по т и п, из (2.6), (2.8) и (2.9) получим значения т и п, при которых р*тп получат

свои минимальные значения, т. е. найдем верхние критические значения напряжения, при котором оболочка теряет устойчивость, 2. Две задачи устойчивости замкнутой трансверсально изо­ тропной цилиндрической оболочки. Рассмотрим замкнутую круго­ вую цилиндрическую оболочку, изготовленную из трансверсально изотропного материала так, что в каждой точке оболочки плоскость изотропии параллельна срединной поверхности оболочки. Система

п р е д е л е н н о г о п о п е р е ч н о г о д а в л е н и й . Н а ­ г р у з к а , п р и х о д я щ а я с я на е д и н и ц у д л и н ы д у г и п о п е р е ч н о г о с е ч е н и я о б о л о ч к и , р ав н а р, а и н т е н с и в н о с т ь р а в н о м е р н о г о п о п е р е ч ­

Следовательно, для решения задачи статической устойчиво­ сти рассматриваемой оболочки, согласно (1.8.23), получим сле­ дующую систему дифференциальных уравнений:

DA*w + § - (1 - Л *Д )^ + (1 - h * A )l* (p ^

358 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III

где

получим следующую однородную систему алгебраических урав­

Из условия существования нетривиального решения, из треть­ его уравнения однородной системы (2.16), получим соотношение для определения критической комбинации нагрузок р и q:

Уравнение (2.18) отличается от соответствующего уравнения классической теории (2.19) лишь наличием члена с множителем/г*,

т. е. члена, учитывающего явления поперечных сдвигов. Поэтому дальнейшее исследование уравнения (2.18) ничем не отличается от анализа классического уравнения (2.19).

Не вдаваясь в подробности, укажем, что с помощью уравнения (2.18) нетрудно определить те комбинации чисел т и п , при ко­ торых нагрузки р и q получат свои критические комбинации в слу­

к р у т я щ и х м о м е н т о в М 0, п р и л о ж е н н ы х п о

т. е. удовлетворяются лишь условия, накладываемые на нормаль­ ное перемещение.

Такая форма удовлетворения граничных условий позволяет решить задачу с помощью лишь уравнения (2.22), без учета пер­ вых двух уравнений системы (1.8.23).

Решение уравнения (2.22), удовлетворяющее условиям (2.23), можно представить в виде

Условия (2.25) имеют место при любом р и отличных от нуля значениях С{, лишь если

sin (ft, — рх) 2 if = 0,

360 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. Ill

мента с учетом явлений, связанных с поперечным сдвигом.

3. Об устойчивости трансверсально изотропной сферической оболочки. Пусть замкнутая сферическая оболочка находится под действием равномерно распределенного по поверхности нормаль­ ного внешнего давления g=const.

Под действием равномерно распределенного нормального дав­ ления q в оболочке в безмоментном состоянии появляются следую­

где А — безразмерный (А = В , B = R sin а) оператор Лапласа,

который в принятых здесь географических координатах имеет вид

Д = ж т й ( 81па1 ) + Ж т й -