Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4544 45 > Следующая >>>

§ 61

ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

431

Уравнения движения оболочки записываются на уровне тех нической теории, без учета тангенциальных сил инерции, сил инерции вращения и поперечных сдвигов.

В силу принятых предположений для рассматриваемой задачи получим следующие исходные уравнения и соотношения:

уравнения магнитогазодинамики для внешней области:

— rot ( V х Н ), ^ + div(p'F') = 0,

+ СF ' grad) V =	— ~r grad p + ^ (rot H ) X S ,	(6. 1)

P = Pw(p'/Poo)*» div I I — 0;

здесь H — вектор напряженности магнитного поля, V — вектор скорости потока газа, р' — плотность газа, р^, — плотность не возмущенного газа, р — давление газа, рт — давление невозму щенного потока газа, х — показатель политропы;

уравнения магнитного и электрического полей для внутренней области (в вакууме):

Д Д - * - 4 ^ = 0, A J T - l ^ O ,	(6.2)
С2 дР

где Н * — вектор напряженности магнитного поля во внутренней области, JE* — вектор напряженности индуцированного электри ческого поля внутри оболочки, с — скорость света,

д = ^ 1 4 - 1 ^ 4 - ^ + - —						» = Д -		’
	дх*	‘ г	д г ' д г ^ ' г 2 д№ ’				R	’
уравнения движения оболочки:							<Д<р
							<Д<р
— 2 А Ж	+	(2^12 +		А б )	2А 16 С>а
				■ .		1	d2w =0,
				OU*		41	1/л-	(6.3)
								(6.3)
Z>n S + ^ » ^	+	2 ( A t +		2flW3^	i +	«	) . ^dp +
		,	г ,	d*w , 1 дЪр__7п				7, d%2w
		+ D* W +~Rda2~ * ‘					Pn,ft№ ’
где pw=T</g — плотность			материала		оболочки			(у0 — удельный

вес, g — ускорение силы тяжести), а для коэффициентов Aik и Dik имеем

4 ji =	(CggCjj — С\|$)	,	4 ]6 =		C\tPvi) А		»
А 22 ~	{ С и С „ — С\б) А	>	А 2в —	(^12^16	А б ^ п )	А	»	(6-4)
А б =	(^П^22 — ^ 12) 2Х',		А 12~	(^16^26	^’12^'бв) А		>

2j =	(СиС22— Сй) С66-J- 2С]2С]еСж— СпСы					С22С^,

Ctk = Bikh, Dik= B{khsjl2.

(6 .5 )

432

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

ГГЛ. III

Входящий в (6.3) грузовой член Z ( а, р, t) в рассматриваемой задаче электромагнитоупругости, согласно известным исследова ниям, имеет вид

ди>	(6.6)
Z = - * p - 2 p J » % + T „ - r „

где Ьр — избыточное давление газа, в — коэффициент затухания, Тгг и Ггг — тензоры Максвелла в газе и в вакууме соответственно.

Предполагая возмущения малыми и принимая
V — U -J-V,	И — H Q-J- h, р ' ^ +	р,	(6.7)
где V (va, vB, vr), h (ha,	hB, hr), p соответственно	представляют

возмущения скорости обтекающего потока газа, напряженности внешнего магнитного поля и плотности газа, линеаризуем исход ные уравнения (6.1) и (6.2).

Линеаризованные уравнения задачи представляются следую щим образом:

для внешней области:

	и	(vr , R d^ \ , TJ{ h d h R f > h ?\
l i - —a A T + T T t )- T - U \ J + i r + T l $ ) '
* t r — n £ x - . T T * b i .					дк* —		т т ? И		T7dJ l
dt ~	0 da			d a ’		dt ~	0 da		d a ’
	I £o	d_
d f'r'r da'
					Ц + и т ^ . + Ы - 0 ’						( 6.8)
					Ц + и т ^ . + Ы - 0 ’
(J L _ L		7 7 j L \ w		I	a co dp		Hp fdh r		___ d h A ____~
\dt		д а )		r ‘” pcoc>r			4 itp 0		d r)	’
( ± A . U ± \ u			I аю д dp			H 0 ( R d K			d h A	*
\dt	da)	?	‘ рю r		dp	4 itp 0 \ r d[i			d a )	’
				£ ( r V + £ e * j + R % = o ,
где aco= (x p 00/pcoy/>		является				скоростью			звука	в невозмущен
ном газе;
для внутренней области:
				=							(6.9)
При этом векторы Ж, V и Ж, h							связаны соотношениями
1 = - 1 ( Г х я 0+ Р х Н ^ х я , ) ,
	rot h =		1	d E *		ГОЬЖ*:		1	dh*		(6.10)
	rot h =		—	dt		ГОЬЖ*:		с	dt
			с	dt				с	dt

§ в]

ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

433

где наряду с принятыми выше обозначениями считается, что JE представляет вектор напряженности электрического поля во внеш ней области.

Решения систем уравнений (6.3), (6.8) и (6.9) должны удов летворять общим граничным условиям на колеблющейся поверх ности оболочки, а именно: условию непроницаемости, которое имеет вид

” «“■ г = я -

и граничным условиям для электромагнитного поля

_____ 7 Н		# ,»	Е »*	Г Г	7 Н \
г а	* г * *	- - - - - -" « •		* г ?	■* * $ >	I
Ео =	Щ,	hr — h* при r =			R,	(6. 12)
						J

где компоненты тензора Максвелла после линеаризации опреде ляются следующим образом:

	11oK	ih K	IIfihp
	4л	4л	4л
Т =	HoK	HoK	0	(6.13)
	4it	4it
	H	o	ff'oK
	4л	o	ff'oK
	4л		4л

Выражение для тензора Т* получается из (6.13) путем замены К, Ar, Aj на А’ , А*, Щ соответственно.

Таким образом, поставленная задача сводится к совместному решению систем дифференциальных уравнений (6.3), (6.8) и (6.9) при условиях (6.11) и (6.12).

Решение зтих систем ищем в виде волн, распространяющихся

вдоль оболочки. Пусть, аналогично (4.5),
w— i0oexpj^(arf — Aw — Ртр)],		]
		(6.14)
?=?O“P[("—**—Pjf)]. I
K = Wi(r) exp[t (wt— Ы — p J ) ] ,
К =	W2 (r) exp (art— ka— p	(6.15)
\	(r) e x p (ut — ka— p	,

28 С. А. Амбарцумян

434	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК									[ГЛ. J11
	Уа	=	Ф1 (Г) е Х р			* ( " * — Ы — р £ ) ] ,
	Уа	=	Ф1 (Г) е Х р			[
	у ,	=	ф	2	( г )	е гх(о>гр [—		Аа — р - g -)],		(6.16)
	у (з=		ф з	М	е х	р	[	fa —	p - J )],
					Г					(6.17)
	Р =		Р(г ) exp 1i ( m				i —	f t a —	p i ) ! .	(6.17)

Здесь все коэффициенты неизвестны и подлежат определению (к—пГк — волновое число, 1 — длина полуволны в направлении

образующих, в» — частота	колебаний,	п — целое число	волн
по окружности поперечного сечения оболочки).
Система уравнений (6.8),	после подстановки решений в		виде
(6.14)—(6.17), приводится к одному дифференциальному			урав
нению относительно искомой функции		р (г):

d2p(r)	.	1	dp (г)		/
dr2	‘	r	dr	1 \mk*— ^ )p (r) =						°.
. . . .						(1 +		e2) Щ —		e* ’
						(1 +		e2) Щ —		e* ’
M*	-	{V ~ U)2			¥ 2		{ V -O )'
M*	-	{V ~ U)2			Ш2--			T/2	>
			“*»	’				v Э
i/____ j i			у	__	H0	9	°	2__П		•
V--	k 9		9 --		»//	9	°	--	л 2	•
	K				V^Ttpco				CO

(6.18)

(6.19)

(6.20)

(6.21)

Здесь М г и М г — числа Маха и Альфвена в относительном движе нии проводящего газа и упругой волны, Уъ— скорость распро странения электромагнитных волн Альфвена, V — фазовая ско рость распространения упругой волны в оболочке.

Остальные искомые функции, входящие в (6.15) и (6.16), представляются посредством р (г) следующим образом:

о т	___ _____ I T		М\ — 1		р		т .	____ _____ тт м\ + м\ — 1 1			dp
1 —		О	М\		Рсо	’	2 ~		0	Р с о *	d r '
ф	___ _____ тт Щ			Ч~ М\ —		i n		р
* 3	—		M	i ( M	l - i )		гк	9оа’
ф _		а»		9	ф _			аЪ М \ + М \ - { 1 d?			(6 .22)
ф _		а»		9	ф _			аЪ М \ + М \ - { 1 d?
1		V — U рсо ’				2		V — U	М\ — 1	рсо к d r '
Ф			аа> М\ +		М\ — I n			р
3 ~		V -	и	M l - 1			гк Рсо •				)

§ 6] ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 435

Таким образом, для определения компонент векторов h и V во внешней области нам необходимо найти решение дифференциаль ного уравнения (6.18).

Если т а> 0, то, обозначив х — кг\]т, уравнение (6.18) можно

привести к виду

T	+ 7 ^	’ + H	> W	= » -
Решение уравнения (6.23) имеет вид
	Р (*) =	С1/.(*) +	С1У.(*),	(6.24)

где I n (х), Y n (х) — функции Бесселя действительного аргумента порядка п.

Если же т < 0, то, полагая х~кг\]\т\, аналогично предыду

щему получим

£^ +		T T F 4	I +S><*>=°-		(в-25)
Интеграл этого уравнения представляется в функциях Бесселя
чисто мнимого аргумента порядка п и имеет вид
	p{x) = C1I,(x ) + CJKa{x).				(6.26)
Часть постоянных интегрирования Ci определяется из усло
вий излучения и затухания возмущений на бесконечности.
В случае та >	0 согласно условию излучения Сх—0 при V > U
и Сг—0 при V <	U.
В случае та <	0 из условия затухания возмущений на беско
нечности получаем Сх= 0.
Таким образом, для внешней области решение исходных урав
нений (6.23) и (6.25) представляется следующим образом:
		С,7я(х)	(та> 0,	V > U ) ,
Р(х) =		Сг/,(х)	(та> 0 ,	V < U),	(6.27)
		С2Кя(х)	(та< 0).

Из условия (6.11), согласно (6.14)—(6.27), определив по стоянную интегрирования, для каждого из трех рассмотренных

случаев получим
ь[ у ;(k s/mД )Г w0	(та>	0,	V > U ) ,
С ~ b[J'„(k\lmR)lr1 w0	(т а	> 0,	V < U),	(6.28)

28*

436	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК	[ГЛ. III
где
	Г	(6.29)
	Из (6.13) и линеаризованного соотношения
	Sp = p - P „ = £ ( £ + < ) .	(6.30)

согласно (6.14)—(6.17), (6.22) и (6.28), получим для компо ненты тензора Максвелла Т гг и избыточного давления Ьр соот

ветственно

— Vlkpns/mY^k^mfylY’^k^mRyy'w (m >О, F>£/),

Trr = — И^рсо \Jm Jn(k\/mR)[J'n(k\JmЛ ) ] -1 w (m >0, F<£7),

—Vy^mmKn{kV H R) [V H К (k V H ^)J_1 w			{m C 0),
			(6.31)
	(m > 0 ,	V > U ),
bp = a^b/n(k\/mJi)[/ll(k\/mJi)]~1w	(m > 0 ,	V<^U),	• (6.32)
a%>bKn{ k \ lm R )\ _ K 'J k \ jm w	( m < 0).

Наряду c Sp и Trr в уравнения (6.3), согласно (6.6), входит также Т Для определения Т*гг необходимо иметь решение урав

нений (6.9) во внутренней области. Из (6.9) имеем'

д“-к	1 dh*a	d>h*	д”-К	1
да?	* г дг “Г	дг> “Г г -	с- dt-	(6.33)
				*

Решение уравнения (6.33), аналогично (6.15), ищем в виде

hi = f * (г) exp ^ a ) f — Ы —

(6.34)

При этом очевидно, что функция Чг* (г) должна удовлетворять

уравнению

	1 dVJ				(6-35)
dr2 +	T 4 F +	{	i - k2~ S ) Wi(r) =	0-	(6-35)
Принимая, что	FVc2 <	1,	уравнение (6.35)	можно	привести
к виду

S в]	ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ	437
где
		(6.37)
Решение уравнения (6.36) имеет вид
	^ (Г о ) = ^/,Дг0) + ед ,(Г о ),	(6.38)

т. е. представляется с помощью функций Бесселя чисто мнимого аргумента порядка п.

Функция Кп(г0) имеет особенность в начале координат. По этому для внутренней области следует считать С*=0. Постоянную интегрирования С* определим из граничных условий (6.12), три из которых удовлетворяются тождественно, а третье и четвер тое условия, необходимые для однозначного определения иско мых ft* и ft^, перепишутся следующим образом:

dhl _ R d h i , i ( „ d V r				rrdhA
да	г	"г с2 \Я ° dt		dt ) '	при	r = 11]	(6.39)
d h *	d h r _ . U _ d h r _		H 0 dvr		при	r = 11]	(6.39)
d h *	d h r _ . U _ d h r _		H 0 dvr
dr	д а ' "	c2 dt	c2 dt
при этом здесь учтено, что ftr=ft* при r=R .
Из условия (6.39) получим
		с:l ~		Н0к
		с:l ~		;;(v,д)
следовательно,
							(6.40)
Наконец, из (6.13),		в силу	(6.40), будем иметь
		7* __		(vJr) ... _ mr			(6.41)
		1rr — -^ rlc7 ^ R )w~ 9 w>
		q ~	H o	if 1 п Ы )			(6.42)
		q ~	ь «	/;ыя) •

Таким образом, из (6.6), согласно (6.31), (6.32) и (6.41), для приведенной нормально приложенной нагрузки Z окончательно получим

Z = - [(oS.7, + VI) z + 2 р >

q] W,

(6.43)

438	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК		[ГЛ. III
438	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
где	t\ = м \ № - \ ) ,		(6.44)
			(6.44)

	к?т s/m Yn (кs/m R) [ Y'n (к sjmЯ )]-1	(m > 0 ,	V > U )*
Z	kpnJm JA ks/m R K J’M m R )] - 1	( m > 0,	V < u )>
	kpamKn (k V H R) [ V R K ’n (kV H Я ) ] 1	(m < 0).	.
			(6.45)

Переходим к решению уравнений движения оболочки. Согласно (6.43), исключая <р (а, Р) t из] системы уравнений, получив отно сительно нормального перемещения w ( а, (3, t) следуЮЩ00 ДИФ~ ференциальное уравнение движения оболочки:]

[ ^ 1 1 да*	^	16 да» (jp "Ь 2 Ф 12"Ь	да2	+	^26 дл +
+	^ 2 2	g p r]^ » fai ~ 2А2в да*ар +		^ 1 2	"Ь ^бб)

-	24 . ^	+ 4 « £ > + ^ &				+ [ ( ^ + * Э Ж+
	+ 2p»fe I F +	Р* А^	+	9] [л 22 i	— 2лгвT s h f +
+	(2^12 + ^бб)		“	2416	+	Аи ^ г ] w = 0.	(6.46)
Подставляя значение w (а,				/3, t) из	(6.14) в (6.46),		придем

к следующему характеристическому уравнению относительно частоты колебаний оболочки <о:

а,2 — i2eo>— 22 (Jc, n) — Q =		0,		(6.47)
где
2* = -J J {[Z>nft* + 4DJfi£ + 2 (Du + 2Dm) k * § +
+ 4Z)26A: -дз -f- £>22 д г] + д? [^22^4		2A26k?	-f-
+ (4 66 + 2A J k2^ - 2 A 1(Jc-J	+	Л и	,	(6.48)
Q ^ - ^ K a U + VD-r +	ql			(6.49)

Здесь Q — частота собственных поперечных колебаний оболочки в вакууме.

Частоту колебаний «> для любых заданных значений к и п можно определить из уравнения (6.47). Если ее мнимая часть положительна, то движение оболочки устойчиво по отношению к малым возмущениям. Если же частота имеет отрицательную мнимую часть, то, очевидно, движение оболочки будет неустой чивым.

I 6]

ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

439

Из (6.19) и условия ira>0 нетрудно получить области не устойчивости. Для наглядности результаты анализа и определен ные области неустойчивости приведены графически (рис. 80).

В общем случае вопрос определения критической скорости флаттера сопряжен с большими трудностями. С целью получения

M l i,5

®		Mf=t
i,0		\\\\\^
Mf=tA
0,5	p*
M *- —		! ^
M,	f+i	! ^

______ ______

0,5 i,Q 1\5 2,0

Рис. 80.

наглядных оценок для критической скорости флаттера рассмотрим следующий случай:

т^> 0, kR\Jm^>n, М\^> 1, U^>V.

(6.50)

В рассматриваемом случае мы имеем большие скорости обте кания и малый показатель изменяемости оболочки поперек потока.

Согласно принятым ограничениям, используя асимптотические представления функций Ханкеля, из (6.45) будем иметь

z ~ — iko ГМ - ! ) ( * ! - « « ) 7/.	(6.51)
г/Фоо[ (1 + е 2)Д/2 _ е2 J •

Из уравнения (6.45), с учетом (6.50) и (6.51), получим выра жение для критической скорости М *:

=	Z L + i / 7 2 ! l i Y _ L _ + e 2				(6.52)
М*:	асо	\р. ат ) 1+	е 2	>
где	и_
	и_	. аооРоо.	*Роо		(6.53)
Осп -- М		P m *	P m * a co *		(6.53)
		P m *	P m * a co *
Ж =		+ 2 {Dn +		2Dm) sW +
-f- 4D2^sna-f- Л 22га4\|-j- R2s2[Л22то4 — 2A^s3n -f-
+ (Aw+ 2A 12) s2n2_		2Aiesn*- f 4 # 4]-1) , s= kR.			(6.54)

440	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК	[ГЛ. III
При	отсутствии магнитного поля (е=0) из (6.52) для	крити
ческой	скорости получим формулу
		(6.55)

которая совпадает с ранее полученной формулой (4.29).

Таким образом, поставленная задача решена. Мы нашли фор мулу, с помощью которой можно определить критическую скорость флаттера анизотропной цилиндрической оболочки, обтекаемой потоком идеально проводящего газа, в присутствии магнитного поля.

Рассматривая формулу (6.52), замечаем, что критическая ско рость существенным образом зависит от характера анизотропии материала оболочки. Как и в предыдущих задачах, здесь так же, меняя ориентацию материала оболочки в теле оболочки, существенным образом можем изменить критическую скорость флаттера.

Критическая скорость флаттера существенным образом зависит также от напряженности магнитного поля. Из (6.52) путем чис ленного анализа нетрудно установить, что при увеличении напря женности магнитного поля критическая скорость вначале умень шается, достигая минимума для определенного значения е, после чего начинает неограниченно возрастать, стабилизируя рассмат риваемый процесс.

Л И Т Е Р А Т У Р А

Здесь цитируются и частично обсуждаются лишь те работы, на основании которых написана настоящая глава.

§ 1. Приведенные здесь положения общеизвестны, однако в случае анизо тропной слоистой оболочки появляется некоторая специфика, которая осве щена в исследованиях:

1.А м б а р ц у м я н С. А., К теории анизотропных оболочек. ПММ, т. 12, № 1, 1948.

2.А м б а р ц у м я н С. А., Некоторые вопросы теории анизотропных

оболочек, Известия А Н АрмССР, № 9, 1947.

3.А м б а р ц у м я н С. А., Теория анизотропных пластинок. Физматгиз, 1967.

4.Г н у н и В. Ц., О параметрически возбуждаемых колебаниях слоистых

анизотропных гибких оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки),

т.15, № 3, 1962.

5.L i b r e s c u Liviu, Statica si dinamica structurilor elastice anizotrope si eterogene. Bucuresti, 1969.

§ 1, пп. 1, 2.	Эти пункты написаны на основании монографии [*], а также
следующих статей:
6. А м б а р ц у м я н		С. А.,	Х а ч а т р я н А. А., Об	устойчивости	и
колебаниях	анизотропных		пластинок. Известия АН	СССР (мех.	и
машиностр.),	ОТН,	№ 1,	1960.

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4544 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.1 Mб46Общая и неорганическая химия..pdf
#
12.11.202315.66 Mб6Общая картография..pdf
#
20.11.202323.58 Mб6Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб8Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб3Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб9Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб4Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб8Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб15Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб5Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб15Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf