книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

и

н

к

столь же эффективными, как оси, вычисленные из табл. 6.39, изображение нагрузок на оси соответствия показывает картину столь же значимую, как и та, которая была получена по метри­ ческим данным. Рис. 6.47 показывает R- и Q-нагрузки на две первых оси. Сравните эти результаты с результатами, получен­ ными по метрическим данным (рис. 6.46), имея в виду, что ин­ формация, содержащаяся в исходных данных, значительно меньше.

СОВМЕСТНЫЙ R- И Q-ФАКТОРНЫИ АНАЛИЗ

Хотя теорема Эккарта — Юнга утверждает, что R- и Q-ме- 1оды дают эквивалентные решения, на практике это не всегда так. Достаточно взглянуть на рис. 6.38 и 6.39, чтобы убедиться

Рис. 6.46. Представление нагрузок R- и Q-методов анализа соответствия на

первые две оси для данных по блокам

343

в том, что факторные метки ^-метода выглядят иначе, чем фак­ торные нагрузки Q-метода. Напомним, что решение /^-метода получается из симметричной матрицы-произведения [Й7]/[И^]> имеющей меньший порядок, в то время как решение Q-метода получается из произведения матриц [№][№]', имеющего боль­ ший порядок. К сожалению, шкалирование, используемое для получения матрицы [W\ из матрицы необработанных данных [X], не одинаково в этих двух методах. Например, глазные ком­ поненты содержат преобразование каждого элемента матрицы [X], состоящее в делении на стандартное отклонение сплбцов, что приводит к шкалированной матрице данных [W], Q-метод факторного анализа использует стандартизацию, состоящую в делении каждого элемента [X] на квадратный корень из суммы квадратов строк, что приводит к шкалированной матрице [W], Однако матрица [W] в анализе главных компонент не идентич­ на матрице [W], полученной на первом шаге Q-метода фактор­ ного анализа. Различие в шкалировании ухудшает решение в одном методе по отношению к другому.

Имеется несколько подходов к этой задаче. Очевидно, если

не проводится никакого шкалирования, то собственные векторы и собственные значения для [Х]'[Х] такие же, как и для [Л'][хг,

исключая лишь то различие, что одна из этих матриц имеет дополнительные нулевые собственные значения. Факторныемет­ ки /^-метода будут пропорциональны нагрузкам Q-метода, и на­ оборот. Кроме того, R- и Q-факторные нагрузки располагаются в том же пространстве, что и факторные оси, поэтому их можно нанести на одну и ту же диаграмму, как это представтено на рис. 6.48.

К сожалению, использование необработанной матрицы по­ парных произведений имеет большие неудобства. Так как при этом не проводится никакого шкалирования, то результаты анализа очень чувствительны к выбору единиц измерения и мо­ гут просто отражать средние величины переменных, а не свой­ ства дисперсий и 'ковариаций. Хотя, по-видимому, такой метод — наиболее простой способ получения факторов R- и Q-методов, он почти никогда не используется на практике.

Второй подход состоит в шкалировании матрицы [X] так, чтобы строки и столбцы можно было трактовать одинаковым образом. В анализе соответствия это делается путем деления каждого элемента на произведение квадратных корней из сумм по строкам и столбцам. Хотя этот метод очень чувствителен, его недостатки менее заметны, если мы имеем дело с условны­ ми таблицами и если применяем его « результатам измерений.

Третий подход — это поиск способа такого шкалирования строк, который дал бы содержательную меру взаимных связей между строками матрицы [Щ, И в то же время получалась бы содержательная мера взаимосвязей между столбцами. Эта за-

344

дача оказывается не столь сложной, как кажется на первый взгляд, и это является базисом по меньшей мере двух практи­ ческих методов одновременного нахождения факторов R- и Q-методов.

Элементы матрицы [X] стандартизуются с помощью вычита­ ния средних столбца (переменной) и деления на квадратный корень пз п числа наблюдений, т. е.

дисперсии и ковариации переменных. В то же время большая матрица-произведение [W][W]' эквивалентна матрице главных

С другой стороны, можно стандартизовать элементы матрицы [X], вычитая среднее по столбцу (переменной) и выполняя де­ ление на произведение стандартных отклонений и квадратного корня из п:

жать дисперсии и ковариации переменных в стандартизованной форме, которые есть не что иное как коэффициенты корреляции между переменными.

Снова большая матрица-произведение [И7] [W]' эквивалент на одной пз версий матрицы главных координат [Q]. Теперь, одна­

Чтобы осуществить совместный R- и Q-факторнып анализ, мы сначала вычислим меньшую матрицу-произведение после шкалирования по формулам (6.93) или (6.96). Затем вы­

числим собственные векторы и собственные значения, а также /^-факторные нагрузки, умножая каждый элемент собственного

346

аектора на соответствующее сингулярное значение или квадрат­ ный корень из его собственного значения. Если матрицу собст-

Конечно, можно также найти факторныеметки, /^-факторные четки находятся умножением шкалированной матрицы данных та матрицу /^-факторных нагрузок:

Так как /^-факторные нагрузки [Л*] дают координаты пере- •к-икых как точки факторного пространства и Q-факторные на­ грузки [,4е] дают координаты объектов как точки того же фак­ торного пространства, то обе совокупности факторных нагрузок можно нанести на одни и те же факторные диаграммы. Пере­ менные, которые нанесены близко друг к другу, очень похожи. Теорема Эккарта — Юнга дает соотношение между переменны­ ми и объектами. Уравнение (6.40) может быть переписано в заде

Ч:емент матрицы \W\, таким образом, равен

171

'/„I» £ лаг*

'к к=1

'>\) к;ен;;е wtj, которое является шкалированным значением перегмнноп /, наблюдаемой на объекте i, можно рассматривать

.. | произведение вектора нагрузок объекта (а,-'3] и вектора па-

обратным образом связана с расстоянием между концами двух '■•попов. Таким образом, сила связи между объектом и пере­ менной в факторной диаграмме прямо выражается как расстоя­ ние между точкой объекта и переменной точкой.

Хотя между факторными метками существуют эквивалент­ ные соотношения, все же они не очень хорошо выражаются в

34 7

терминах сходства. Наилучший способ изображения результа­ тов одновременного ft- и Q-факторного анализа — это представ­ ление двух множеств факторных нагрузок в проекции на фак­ торные оси. Это сделано для данных по случайным блокам на рис. 6.49. Как для ft-метода, так и для метода главных компо­ нент, критические матрицы будут одинаковыми (см.табл.6.21).

Двойственность между анализом главных компонент и ана­ лизом главных координат, основанном на использовании евкли­ дова расстояния, была впервые указана Говером [20]. Однако эта двойственность до недавнего времени не использовалась, хотя множество программ факторного анализа использует син­ гулярное разложение матриц, которое является следствием теоремы Эккарта — Юнга. Математическое обоснование одно­ временного ft- и Q-факторного анализа дано Зу, Чангом и Де­ висом [66], которые также приводят большое число примеров ело использования в геологии.

В табл. 6.41 содержатся измерения, сделанные по профилю

зи Береа, штат Виргиния. По этому профилю анализировались содержанте радиоактивных урана, тория и калия 22 образ­ на из буровых скважин. В тех же местах вдоль профиля были

с к/чаны воздушные радиометрические измерения. Цель посленз.анпя, первоначально проведенного Шерманом, Банкером к Вашем [57], состояла в установлении связи между содержания­ ми радиоактивных элементов и радиометрическими измере­ ниями.

Данные были проанализированы Зу, Чангом и Девисом [66] с использованием шкалирования по формуле (6.96). В табл. 6.42 приведены матрица коэффициентов корреляции, собственные значения, ft- и Q-факторные нагрузки. На рис. 6.50 представле­ ны ft- и Q-факторные нагрузки на первые две оси в факторном пространстве. Очевидно различие между пробами, взятыми из ллутона, и пробами, собранными а сланцах материнской поро­ ды п аллювиального покрытия.

М Н О Г О Г Р У П П О В Ы Е Д И С К Р И М И Н А Н Т Н Ы Е Ф У Н К Ц И И

Многогрупповой дискриминантный анализ вобрал в себя наи­ более ценные черты дисперсионного анализа и связанные с ни­ ми вычислительные процедуры факторного анализа. Эта задача

349

Т а б л и ц а 6.42

Матрица коэффициентов корреляции, собственные значения, R- и Q-факторные нагрузки по данным состава и радиометрическим данным из Береа,

351