книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

Собственные значения матриц R и Q идентичны, только матри­ ца Q будет иметь п—т дополнительных собственных значений, равных нулю. Собственные векторы матрицы [R} могут быть преобразованы в нагрузки анализа соответствия умножением каждого вектора на соответствующее сингулярное значение, которое равно квадратному корню из соответствующего собст­

венного значения, т. е. нагрузки Я-метода равны УХ, умножен­ ному на собственный вектор Я-метода. В матричном обозначечении, использовавшемся ранее, сингулярные значения [R] мож­ но представлять как диагональные элементы матрицы К порядка тХт, у которой все внедиагональные элементы равны нулю. Собственные векторы матрицы [Я] являются столбцами некоторой тХт. матрицы [U]. Матричное уравнение, исполь­ зуемое для определения нагрузок Я-метода, имеет тогда вид

Нагрузки каждого из п наблюдений т. факторов анализа со­ ответствия есть просто

Эти нагрузки могут быть нанесены вдоль осей, определенных Q-методом факторного анализа соответствия таким же образом, как главные компоненты или факторные метки.

Если вместо того, чтобы вычислять собственные значения матрицы [RI мы будем вычислять их для матрицы [Q], то смо­ жем вычислить нагрузки и метки Q-метода анализа соответст­ вия. Нагрузки находятся умножением элементов собственных векторов на квадратные корни из соответствующих собственных значений

где V — матрица порядка пХп, столбцы которой содержат п собственных векторов матрицы Q. Метки Q-метода есть

332

В силу теоремы Эккарта — Юнга и того, что шкалирование портит матрицу исходных данных как в столбцах, так и в стро­ ках, имеется прямая связь между решениями R- и Q-метода:

Другими словами, нагрузки Q-метода соответствия равны мет­ кам ft-метода анализа соответствия, деленным на соответствую­ щие сингулярные значения. Таким образом, можно получить решение Q-методом, решая задачу ft-метода, что дает огромное преимущество в вычислительном плане, так как матрица R обычно значительно меньше по размеру, чем матрица Q.

На одни и тот г о график можно нанести как наши наблю­ дения, так и переменные. Это можно сделать, преобразуя на­ грузки ft-метсда и нагрузки Q-метода так, чтобы они были представлены в одной и той же метрике. Шкалирование нагру­ зок осуществляется по формулам

Теперь мы будем использовать геологические данные для про­ верки «классического» применения анализа соответствия, кото­ рое состоит в интерпретации данных, дающих перечисления. Табл. 6.37 содержит данные по числу конодонтов в 10-кило­ граммовых пробах пород, собранных в Восточном Канзасе. Породы миссурийского возраста представляют четыре мегацик­ лотемы или повторения литологических разновидностей, кото­ рые отражают циклические изменения условий осадконакопления. Каждая единица классифицировалась как часть идеализи­ рованной мегациклотемы; классификации указаны в таблице. Палеогпотсги предсказывали, что конодонты. как и некоторые современные морские организмы, связаны с зонами конкретных •дуи:!н. Солк бы и ли оология ц сходство конодонтов были от­ ветственны за изменения в уровне моря, то анализ соответствия дал бы возможность установить их распространенность, что было бы аналогично изменениям литологии.

Так как имеется 10 видов конодонтов и 20 стратиграфиче­ ских единиц, то очень удобно построить матрицу сходства меж­ ду переменными. Табл. 6.38 дает матрицу сходства у2, ее соб­ ственные значения и наиболее значащие собственные векторы. Также даны нагрузки R- и Q-методов на оси соответствия. Они нанесены на рис. 6.44. Указаны категории мегациклотем для каждой стратиграфической единицы. Как пробы (единицы по­ род), так и переменные (виды конодонтов) могут быть изобра­ жены в одном и том же пространстве.

На рис. 6.45 указаны порядки относительных глубин распро­ странения конодонтов из Миссурийской стратиграфической по­ следовательности. Заметим, что нагрузки ft-метода, изображен-

333

Т а б л и ц а 6.3?

ные на рис. 6,44, представляющие типы конодоитов, должны отражать глубину воды, на которой эти организмы жили. Конодонты с мелководья представлены на положительном конце фактора I, в то время как глубоководные появляются на поло­ жительном конце фактора II, конодонты с промежуточных (средних) глубин находятся вблизи начала координат. Исследуя положения нагрузок Q-метода факторного анализа на той же диаграмме, можно установить глубины, на которых залегали различные единицы пород. Классификация стратиграфических единиц, представленная в табл. 6,37, заимствована из работы [25]. Заметим, что «внешние сланцы», например сланцы из Билас, Боннер Спрингс, Ченьют, и известняк Фарли, который клас'

334

Т а б л и ц а 6.38

Матрица сходства х2, собственные значения и первые два активных вектора по данным о распространении конодонта. Приведены также факторные нагрузки, соответствующие первым

двум факторам R- и Q-методов

М а т р и ц а с х о д с т в а %2

crib Id log n a rn o d u s

(K ciencaius

. ILlO PncniO dU

И 4

quiz fare!.'a

Г20

if*

Воды

Рис. 6.44. Представление факторных нагрузок метода соответствия для дан­ ных по распространенности конодонтов, представленных в табл. 6.37.

Указаны приблизительные интервалы значении глубин для р л зл п 1 ны;< т.чпое конодонтов. Мегацпклотемная классификации стратиграфических единиц вклю­

спфицируется как мелководная залежь, попадают в мелкозодную часть факторной диаграммы. Фосфатные черные сланцы из Евдора и Манси Грик попадают в глубоководную часть диа­ граммы, как и тонкозернистые известняки из Стоунер и Рэйта­ ун. Большая часть единиц породы, однако, расположена вблизи начала координат, включая так называемые «черные сланцы фантом», которые, похоже, не отличаются от большинства типов горных пород.

Анализ соответствия, проведенный по конодонтам, дает не­ которое представление о природе циклического осадконакюпления в этой последовательности частного вида. Экстремумы морских фаций, возможно, дают различные литологические раз­ новидности, которые встречаются в характеристических позици­ ях внутри мегациклотем. Большинство литологических типов, однако, не попадает в определенную схему. В частности, «чер­ ные сланцы фантом», которые по предположению имеют глубо-

Поверхность океана

Ad e t o g n a t ^ u s

*

Ozar'Kodma

'c r i or; i c titr.

Рис. 6.45. О бл ас ти значений отн оси тел ьн ы х глубин для коиодонтов из Миссу-

рийской стр ати гр аф и ч еск ой последовательности

ководные характеристики, кажутся неотличимыми от пород другого типа, которые имеют происхождение из промежуточных глубин.

Применение к непрерывным переменным

В геологии, как и в других областях, анализ соответствия применялся к непрерывным данным, а не к дискретным (см. приложения в [60], [12]). Это ставит некоторые концептуальные проблемы, поскольку преобразованные переменные нельзя счи­ тать вероятностями, хотя некоторые авторы обращаются с ними таким образом [12]. Так как вообще полная сумма (так же как и суммы строк) состоит из смеси измерений различного типа, то процесс преобразования сильно зависит от единиц измерения. В силу этого замечания теоретического характера анализ соот­ ветствия обычно применяется к множеству интервальных дан­ ных и шкал отношений. В этих приложениях процесс преобра­ зования рассматривается как не более чем произвольная про­

цедура, предназначенная для замыкания множества данных и для того, чтобы быть уверенными в том, что строки и столбцы матрицы данных шкалируются эквивалентным образом незави­ симо от того, применяем ли мы R - или Q-метод. Используемая таким образом мера сходства часто называется «профильным»

338

Т а б л и ц а 6.39

Матрица сходства, собственные значения и два первых собственных вектора, вычисленны х для данных по случайным блокам; перечислены факторные

.нагрузки R- и Q-метода соответствия на первые два фактора

М а т р и ц а с х о д с т в а х 2

22*

339

Т а б л и ц а 6.40

Данные по блокам: каждая исходная переменная представлена тремя группами (L — низкие, М — средние, Я,— высокие значения);

в результате получается матрица исходных данных порядка 21x25

В качестве эксперимента выразим данные по блокам в по­ рядковой шкале, разделив множество значений каждой пере­ менной на подходящее число дискретных интервалов (такие, как «низкие», «средние», «высокие» значения) и затем опредешз. з какую пз категорий попадает каждое наблюдение. Необ­ работанная матрица данных поэтому состоит из набора единиц д нулей (табл. 6.40). Затем они преобразуются в совместные вероятности появления, и по этим данным вычисляются R- и 0-матрицы сходства. Заметим, что матрица [Q] имеет порядок 25x25, а матрица [i?] — 21x21. Последовательные собственные шачення меньше и уменьшаются медленнее, чем собственные значения матрицы сходства, вычисленной по метрическим дан­ ным. Первые два собственных значения, например, составляют лишь 43% следа матрицы сходства. Все собственные значения после четырнадцатого равны нулю. Даже несмотря на то, что несколько первых факторных осей соответствия не выглядят

341