книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

в качестве независимых переменных в эксперименте выбира­ лись значения длины осей. Хотя двух компонент достаточно для характеристики большей части изменчивости изучаемых данных, все же третья компонента необходима для выделения существенных деталей. Этот пример показывает, что МГК — мощный метод определения истинного числа линейно независи­ мых векторов, содержащихся в матрице. Поэтому он позволяет измерить избыточность множества переменных.

282

283

Продолжение табл. 6.22

* М о д и ф и ц и р о в а н н ы е д а н н ы е К р а м б е й н а и Э б е р д и н а [ 3 7 ] .

** I — п л я ж е в ы е и п р и б р е ж н ы е п е с к и ; П — а л е в р и т о в ы е р у с л о в ы е п е с к и ; Ш — а л е в ­ р и т о в ы е б е р е г о в ы е п е с к и ; IV — о р г а н и ч е с к и й д о н н ы й а л е в р и т ; V — о р г а н и ч е с к и е и л ы .

В качестве примера применения МГК к геологическим зада­ чам рассмотрим данные, взятые у Крамбейна и Эбердина [37], приведенные в табл. 6.22. Они представляют собой результаты 50 гранулометрических анализов проб осадков, взятых со дна залива Баратария в западной части дельты Миссисипи (штат Луизиана). Эти пробы принадлежат различным донным фа дн­ ям, соответствующим разным типам седиментации. ■нтовой анализ проводился с помощью комплекса сит с интервалом I—Ф. Полученные данные представляли собой весовые процент­ ные отношения фракций различного размера.

В качестве изучаемых переменных рассматривались про­ центные содержания фракций определенного размера в каждой пробе. Те же переменные использовались при вычислении та­ ких статистических характеристик, как среднее значение, коэф­ фициент отсортированности и асимметрия распределения раз­ мера зерен. С помощью МГК. молено исследовать взаимосвязь между различными фракциями и найти наиболее эффективную их комбинацию, причем термин «наиболее эффективный» соот­ ветствует фактору, дающему наибольший вклад в суммарную дисперсию. Мы вправе ожидать, что нагрузки на первую глав­ ную компоненту некоторым образом можно считать аппрокси­ мацией среднего значения, так как обычно эта статистика — наиболее эффективная их всех возможных статистик.

Анализ начинается с вычисления элементов ковариационной матрицы (табл. 6.23). Стандартизация в этом случае необяза­ тельна, так как исходные данные измерены в одних и тех же единицах для всех переменных. Необходимо отметить, что дан­ ные представляют собой приближенно замкнутую матрицу (т. е. в большинстве случаев сумма переменных составляет 100%), которая снова напоминает нам о теоретически интересном и важном вопросе, связанном с индуцированными отрицательны­ ми корреляциями. Ковариационная матрица «переопределена»,

2 8 4

имеем информации больше, чем нам нужно в действительности, и одна переменная является избыточной. Неизбежно, что одно собственное значение матрицы, построенной по таким данным, будет обязательно нулевым. В рассмотренном примере сумма по всем переменным не составляет в точности 100%, так как наблюдения меньше 8Ф отбрасываются. Последнее собственное значение ковариационной матрицы поэтому очень мало, но не равно нулю, как это было бы в случае замкнутой матрицы.

Главные компоненты, т.е. собственные векторы по данным залива Баратария, приведены в табл. 6.24. Отметим, что две первые компоненты учитывают 90% изменчивости данных. На­ грузки по переменным для двух компонент представлены на рис. 6.29. Из этого графика видно, что первая главная компо­ нента характеризует относительные доли тонких и очень тонких фракций в осадке, т.е. отношение песок/(глина+ил). Вторая компонента характеризуется отношением содержаний мелкого и очень мелкого песка, а все другие переменные имеют веса, близкие к нулю. Этих двух компонент вполне достаточно для описания почти всей изменчивости исходных данных, из которо-

285

Т а б л и ц а 6.23

Ковариационная матрица гранулометрических анализов осадков из залива

X, = 6 — 7 Ф , А% = 7-- 8 Ф,

286

20

1 — пляжевые и прибрежные пески; 2 — илистые русловые пески; 3 — илистые береговые пески: 4 — органические донные илы; о — органические плы с под­ ветренной стороны островов

го вытекает, что разделение на илистую п глинистую фракции несущественно. Основные различия между осадками можно почти полностью описать только с помощью двух переменных.

Мы можем проверить результаты нашего анализа путем по­ строения проекций наблюдений на первые две главные компо­ ненты (рис, 6.30). Сравните различие между типами осадочных пород на рис. 6.30 и на рис. 6.31, на котором показана зависи­ мость медианы размеров зерен от коэффициента отсортирован­ ное™ (квартильное отклонение). Вероятно, что еще больший интерес представляет рис. 6.32, где изображено отношение со­ держания мелкой и очень мелкой песчаных фракций. Все эти диаграммы имеют приблизительно одинаковую эффективность с точки зрения разделения пяти типов осадков, хотя для по­ строения диаграммы рис. 6.32 требуется больше эксперимен­ тальных данных, чем для построения рис. 6.31. Таким образом, для разделения образцов на семь разных классов по размеру достаточно только двух операций просеивания. Кроме того, результаты анализа с использованием МГК показывают, что

287

2,Ь

2J00

0

45

Ф- медиана

Рис. 6.31. Диаграмма зависимости квартиля от медианы в осадках залива Баратария в ф-единицах.

С и м волы те ж е , что и на рис. 6.30

осадки в бассейне можно рассматривать как смесь двух типов: песка и илисто-глинистой фракции. В этом примере метод главных компонент заставляет не только по-новому оценить со­ став изучаемых осадков, но и внести в методику исследования необходимые изменения, позволяющие значительно сократить расходы при минимальной потере информации. Такой экспери­ мент с незначительными изменениями был проведен Девисом [13]. Полезно сравнить эти результаты с результатами, полу­ ченными для тех же данных Клованом [35] с помощью Q-ме­ тода факторного анализа.

Интересно провести сравнение относительной эффективности среднего, первой главной компоненты и содержания песчаной фракции для различения пяти типов осадочных пород в зали­ ве. Это можно сделать, применив однофакторный дисперсион­ ный анализ к группам, образованным пятью типами осадочных пород. Отношение сумм квадратов между группами к общей сумме квадратов служит мерой того, насколько сильно группы связаны или отдалены друг от друга. Переменная, дающая наибольшее отношение SSA/SST, оказывается наиболее эффек-

2 8 8

Рис. 6.32. Диаграмма зависимости содержания песка от отношения содержа­ ния тонкозернистого песка к очень тонкозернистому в осадках залива Баратария.

Символы т е ж е , что и на рис. 6 .30

тивной для различения типов осадочных пород. Используя соответствующий из критериев ANOVA, указанных в гл. 2, оп­ ределите, которая из трех переменных является наиболее эф­

фективной.

Возможны ц другие методы исследования, которые под­ тверждают пользу набора статистик и квазистатистик, приме­ няемых для характеристики осадочных отложений. Вычислив эти статистики, можно использовать их в качестве переменных в МГК, а также выбрать из них те комбинации, интерпретация которых позволит получить эффективную характеристику осад­ ков. Определения различных статистик, применяемых при изу­ чении размеров зерен, приведены во многих справочных изда­ ниях по осадочной петрологии, например в работе Фолка [18]. Эти характеристики можно вычислить для необработанных данных, приведенных в табл. 6.22. Анализ главных компонент новых переменных оказывается очень поучительным. Аналогич­ ные исследования были проведены Гриффитсом и Ондриком [21].

tf-МЕТОД ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Основой метода главных компонент является линейное пре­ образование т исходных переменных в т новых переменных, где каждая новая переменная — линейная комбинация старых. Этот процесс осуществляется таким образом, чтобы каждая но­ вая переменная давала возможно больший вклад в суммарную дисперсию. При вычислении новых переменных учитываются все исходные дисперсии. Так как МГК, вообще говоря, не ста­ тистический метод, мы ничего не можем сказать о вероятности, связанной с проверкой гипотез. Это просто матехматическнй ме­ тод. Однако при принятии решений об отбрасывании некоторых переменных или компонент, дающих очень малый вклад в сум­ марную дисперсию, приходится использовать некоторые статис­ тические критерии, несмотря на то что последние имеют силь­ ные ограничения и редко применимы (обзор этих критериев приводит Моррисон [51J ). Метод главных компонент, как и анализ групп, относится к той категории методов, о пригоднос­ ти которых судят после их применения, а не на основании тео­ ретических рассуждений.

Факторный анализ, который принято считать статистическим методом, несколько отличается от этих методов, так как в его основе лежат некоторые предположения о природе изучаемой совокупности. Эти предположения позволяют указать те опера­ ции, которые должны быть выполнены, а также путь, по кото­ рому надо следовать при интерпретации результатов. Для не­ которых процедур факторного анализа созданы даже критерии значимости [40], но они редко используются.

В факторном анализе предполагается, что связь между т переменными можно считать отражением корреляционной за­ висимости каждой из переменных с р взаимно некоррелирован­ ными факторами. Обычное допущение состоит в том. что р<.т. Поэтому дисперсию для т переменных можно вычислить с помощью дисперсии р-факторов плюс вклад, происхождение которого одинаково для всех т исходных переменных. В фак­ торном анализе р независимых факторов носят название общих факторов, а независимая от них суммарная добавка обычно называется фактором специфичности. Факторная модель выра­ жается в следующем виде:

ров и е — случайная компонента, присущая исходной перемен­ ной Xj. Так как имеется m исходных переменных Хр то суще­ ствует и m случайных переменных е;-; рассматриваемые вместе, они составляют вектор факторов специфичности. Коэффициент op называется нагрузкой /-й переменной на r-й фактор. В ком-

290

лонентном анализе этому понятию соответствуют нагрузки или веса на главные компоненты.

Предположим, что переменные X/ имеют многомерное нор­ мальное распределение. Дисперсии и ковариации образуют матрицу порядка тхт. Из формулы (6.51) вытекает, что диа­

г- 1

анедцзгональные элементы, или ковариации, имеют вид

Основную гипотезу факторного анализа в матричной форме молено сформулировать следующим образом. Наблюдаемая ко­ вариационная матрица, которую мы обозначим через [s2], яв­ ляется произведением матрицы порядка тХр факторных на­ грузок (которую мы обозначим [7Н] п ее транспозиции плюс диагональная матрица порядка пгХт дисперсий факторов спе­ цифичности [var е//]:

транспонированную получим матрицу порядка тХт, которая, однако, будет иметь только р положительных собственных зна­ чений п соответствующих им собственных векторов. Если р = т. то матрица [var 8//] оказывается тождественной и наша задача з точности эквивалентна МГК- В тех случаях, когда р<.т , мы лоджии оцепить матрицу параметров [Л*], т.е. матрицу фак­ торных нагрузок, и дисперсии факторов специфичности, т.е. матрицу [varец]. Отметим, что в факторном анализе предпо­ лагается, что число факторов р известно до анализа, так как исследователь, исходя из некоторых предварительных рассуж­ дений, в состоянии предсказать число факторов, от которых зависит изучаемая модель. Если число факторов р заранее предсказать нельзя, то разделение дисперсий между общими факторами и фактором специфичности становится неопределен­ ным. Этот важный момент иногда остается незамеченным экс­ периментаторами, которые пытаются использовать факторный анализ для «ловли рыбы». Определенное другим способом чис­ ло факторов р, [Л*], матрица факторных нагрузок и дисперсии специфических факторов [var е//] оказываются взаимосвязан­ ными. Их нельзя оценить одновременно, поэтому для нахожде­ ния единственного решения необходимо вводить различные ог­