книги / Волны пляски проводов ВЛ 6-500 кВ. Методика расчета больших амплитуд автоколебаний провода в пролете воздушной ЛЭП. Теория констант единого поля
.pdfлению (107) связана с d*F соотношением d 'F ^d t (t= Ijtl), уравнение (114) можем записать так,
K2-£>0V ) d ¥ = 0.
-^о/*0
На эллипсе автоколебаний в пучности волны согласно (113) имеем пред
ставление дифференциала dvF в виде: |
|
d'Fs dT0= - [Чд k0CD0sin k0(D0ri d rp vdT]. |
(114.1) |
Отсюда находим выражение для скорости автоколебаний v, интеграл (114) можем записать так
ГоА,
J|Z „K ! - s in 2 = о .
-То/*» Вынося из под знака интеграла постоянные множители, это интег
ральное уравнение запишется в следующем компактном виде:
[ч'0Г * > ;= к ч ? /а, |
(П5) |
где
GI =
(116)
- безразмерный коэффициент баланса активных работ пляски (G/ - gallopping). Из уравнения (115) после извлечениях квадратного корня из его обеих частей имеем выражение для амплитуды пляски, которую будем да лее обозначать, как это было принято в соотношении (67.5) через F0 (['FJS FQ),
|
* o = G /- p - = — |
|
W |
|
|
|
£0со0 (XQ |
|
|
где |
|
|
1 1 |
1------1 *s \ |
о и |
о |
N« |
||
P |
|
|
|
|
-коэффициент Магнуса, (11), |
|
|
||
ф _ JL C=JL I K |
- 2 L \ s / =i |
|
|
|
(117)
(118)
(119)
-круговая основная частота, выраженная через стрелку^, (65.1), в сере дине пролета
г =!М 11 |
( 120) |
||
Л |
8NZ |
||
|
|||
Выражение для удвоенной амплитуды пляски или размах амплитуд
можно записать, исходя из (117), так |
(121) |
2 F = X f0t |
где
2GIV
(122)
U*o
- безразмерный коэффициент масштаба амплитуды пляски, с которым мы уже встречались выше в соотношении (67.5).
С помощью чисел R j, (12), и X, (122), теперь можно сравнивать между собою интенсивности процессов пляски в пролетах ВЛ при разнообразных условиях их реализации. Из уравнения баланса активных работ пляски с учетом условий (7), (8), (12), (70), (73.2), (116), (118), (120), (121), (122) следует интегральный набор параметров, описывающий стационарный процесс высокоамплитудной пляски расчетного ее режима (см. п.2.10):
4V У0, V, k0, f0, а 0, X, 2F0, Gl, Rj. |
(123) |
Это; квазидинамический “нуль” отсчета углов атаки vp0, (8); их пре дельная амплитуда у0, (70); скорость ветра V; число полуволн к0; стрелка провеса / 0 (перед пляской); коэффициент Магнуса а 0; коэффициент мас штаба X; размах амплитуд в пучности полуволн 2F0; коэффициент баланса G7; критерий подобия Rj, (12).
Набор интегральных параметров (123) является неполным, поскольку в нем отсутствует в явном виде “неприводимая” интегральная характеристика возбуждающих и тормозящих свойств профиля гололеда на его рабочих уча стках аэродинамических кривых. Эти свойства профиля неявным образом входят в другие параметры, однако, полезно их было б сформировать в еди ный “неприводимый” параметр, что даст универсальную характеристику профиля и дополнит набор (123), обратив его в “полный набор” для процес са пляски. Наметим далее в связи с этой задачей следующую программу ра бот. Вначале аппроксимируем кривую L0, входящую в выражение (116) для коэффициента G/, представив ее в виде прямой суммы ломаных прямых. Затем найдем разложение этой кривой в ряд Фурье. Далее, ограничиваясь первой гармоникой разложения, найдем общее выражение для коэффициен та GI при среднем значении сил торможения пляски на полупериодах как функции интересующего нас “неприводимого” интегрального параметра,
характеризующего возбуждающие и тормозящие свойства профиля гололеда при пляске на его рабочих участках аэродинамических кривых.
5.2. Методика аппроксимации аэродинамических кривых лома ными с “плавающим” началом отсчета и привязкой
к “аэродинамической яме”.
Кривые L0, D0(cM.n.2.8) изменения коэффициентов подъемной аэроди намической силы и силы лобового сопротивления профиля гололеда в силу случайного характера образования его эпюры в реальных условиях могут иметь замысловатый вид. Поэтому представление их какими-либо анали тическими функциями в общем виде может оказаться весьма затруднитель ным делом. В то же время, сколько бы точно не отражала та или иная апп роксимация естественный ход кривых L0 D0 конкретного профиля гололеда, такая аппроксимация всегда носит вероятностный характер, отражая разовое сочетание конкретных условий пляски. Расчетный режим высоко амплитудной пляски ориентируется на достоверность реализации “ударно го” характера профиля, при котором возбуждающая способность ниспада ющей ветви L0 - характеристики используется максимально эффективно. В этом случае слева и справа от “естественного” нуля \у0 расположены “аэро динамические ямы” с координатами (см. (7), (8)):
слева Y=vp0- (утп+90°), справа Y ^ + C y ^ O 0). (124) Устойчивый режим высокоамплитудной пляски имеет место на углах
атаки у в диапазоне
(Ir J S IY„I) |
(125) |
На рис.8 показана система обозначений ординат и углов атаки, которыми мы будем пользоваться при аппроксимации кривой L0 на рабочем участке изменения углов атаки согласно (124), (125). В общем случае кривую L0=L0(\|/) можно представить в виде прямой сулшы независимых i-x ее ломаных пря мых, расположенных симметрично относительно угла ц/0, (8), в “аэродина
мической яме” с текущими координатами своею размаха Y+ иУ |
,(124), |
V.* Й (Y +Y ), |
(126) |
и симметрируемых в динамическом режиме согласно уравнениям (7), (11.4), (32.1) максимальной угловой амплитудой на эллипсе пляски
l „ = % n r.-r> W . |
(126.1) |
Кривую L0=L0(P) (рис. 8) можно записать так: |
|
4(Р)=®Х>?(Р). |
(127) |
(О |
|
где L°. (Р) - i-e прямые, записываемые однотипно в виде, |
|
Ь°.= Р|р4-(рО.-р.)р., |
(127.1) |
- “плавающие” начала отсчетов i-x прямых, расположенные всегда на левой границе каждой из прямых, где угол атаки равен \|Л (4/,, v|/2,_) он же - всегда правая граница (i-1) - ой, “предыдущей” для i-ой прямой;
029)
-углы атаки, принадлежащие i-м прямым L°. ((3);
Pi = |
(130) |
крутизна или коэффициент наклона i-ой прямой в начале отсчета ее уг лов атаки равен отношению разности ординат i° слева и (i+l)° справа к
приращению угла атаки Ар. (с учетом знака ординаты), |
|
APrP-fVi |
031) |
о _1-
(132)
р,
начальный”коэффициент наклона i-ой прямой, где i° - ордината левой ее границы.
Все данные о прямых берутся непосредственно из аэродинамической кривой из опытов продувки профиля. В качестве иллюстрации и использо вания в последующих расчетах найдем выражения для i-x прямых L°. (Р) для трех следующих профилей гололеда:
D - профиль Харриса с участком возбуждения, где углы атаки изменя
ются от у |
до \}/+: |
|
|
|
|
У = У, = 270°, |
i|/+= \|/4=90° (450°), |
i = 1,2,3 (рис.10); |
|
MIT-2: |
\|/_= \|/, =210°, |
ч/+= у 6= 28° (388°), |
i = |
1,2,3,4,5 (рис. 11); |
MIT-5: |
\|/.= \|/, = 204,5°, |
\р+= 4i= 23° (383°), |
i = |
1,2,3,4 (рис.12). |
Все вычисления производим в следующем порядке.
1. Начала i-x прямых (непосредственно из рис. 10, И , 12), р ., (128). 1.1. D - профиль, “естественный” нуль \ув = 0° (360°):
у = у = 270°, У2=316°,
Ч/3=42° (402°),
VI/+= VI/4 = 90°(450°),
1.2.Профиль MIT-2, “естественный”
Ч/ . ^ Г 2100’
Ч/2 = 233°,
%= 265,5°,
%= 320°,
Р.= Р, = Ч'гН/в= -90°’
Р2= У 2 -У в= - 44°»
Рз=М/ГН/в= 42°’ Р+=У +- У В=90°.
нуль \рв= 298°:
Р.= Р1=% -^в = -88°,
Р2= У2-Ув= - 650’ Рз=Ч'з-Ч'в= - 32’5°’ Р,= ч/4- У в= 22°>
Vi= 338°, |
Ps= Vj- ¥в= 40°, |
|
Pt - V +- V B-90». |
1.3. Профиль MIT-5, “естественный” нуль \|/в = 294,5°: |
|
W.= Ч>,= 204,5°, |
р = р, = vj/t-\{/в= - 90°, |
М/2= 242°, |
р2= у 2-м /в=-52,5°, |
v|/3=258°, |
Р3 = М/3-Ч/В=-36,5°, |
\|/4 = 344°, |
P4=vj/4-vj/B=49,5°, |
М/+=М/5= 230 (383°), |
P+= VJ/+- H/B=88,5° |
2. Ординаты i° для i-x “начал” (непосредственно из рис. 10,11,12 в едини
цах измерения источника, |
х 104 фунтов/фут ( в си: |
|
|
||||||
|
х |
0,3095g |
•104 = 1,01-104g |
Н 1м). |
|
||||
|
|
0,3048 |
|
|
|
|
|
|
|
2.1. D - профиль: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1° = 1° = - 0,92, |
2° = 4,86, |
3° = - 4,35, 3°+ = 1,22. |
|
|
|||||
2.2. MIT-2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1°=1° = -1,17, |
2° =1,33, |
3° = 0,91, |
4° = - 0.67, |
5° = -3,0, 5°+ = 5,8. |
|||||
2.3. MIT-5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1° = 1° = - 0,54, |
2° =2,0, |
3° = 2.0, |
4° = -2,82, |
4°+ = 3,36. |
|||||
3. Изменения углов Др. на i-x прямых (согласно (131)). |
|
||||||||
3.1. D - профиль: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Р, - |
р2= - 46°, |
ДР2= Р2- |
Р3= - 86°, |
ДР3 = Р3- |
р+= - 48°. |
||||
3.2. МГГ-2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Др, = Р, - |
р2= - 23°, |
Др2= Р2- |
Р3= 32,5°, |
ДР3= Р3- |
р4= - 54,5°, |
||||
ДР4= Р4- |
Р5= -18°, |
Др5= р5- |
р+= -50°. |
|
|
|
|||
3.3. MIT-5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДР, = р ,- р2= - 37,5°, |
ДР2= Р2- |
Р3 = - 16°, |
ДР3= Р3- |
р4= - 86°, |
|||||
Др4= р 4- Р +=-39°. |
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Коэффициенты наклона i-x прямых р,, (130), (i°-согласно п.2 настояще го расчета, переводя градусы Др. в радианы умножением на 0,01745 рад/1°).
4.1. |
D - профиль: |
|
|
|
|
|
_ 1° -2 ° |
_ -0,67-4,86 |
|
2° - 3° |
оО_-пО |
6,65. |
|
|
|
|||||
Л |
Др, |
-44°-0,01745 |
|
Рг |
6Д4; p>=L^ r - |
|
|
“ д р Г |
ДРз |
|
|||
4.2. MIT-2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
-« 0 __о О |
|
__-jO |
^ 0 __д 0 |
|
|
рх= |
ЛО - = 6,23; |
Рг=— ~— = -0>3; |
— = -U92; |
|
|
|
|
др, |
^ |
ДР2 |
Др3 |
|
|
|
4°-5° |
|
5°-5° |
|
|
|
p4= ± - i - = - 7,42; |
|
= 10,08 |
|
|
|
|
|
др4 |
|
др5 |
|
|
АР, |
' ' " |
Ар2 |
Ар3 |
- |
ДР4 |
У |
|
5. “Начальные” коэффициенты наклона i-x прямых Р°., (132). 5.1. D - профиль:
;°-~67- -=0,43; |
р \ = - = - 6 ,0 5 ; |
6,23. |
Л Р, -90° 0,01745 |
Р2 |
Р3 |
5.2. МГГ-2: |
|
|
А=ТГ=0,76; |
р2° = -=-=-1,17; |
р3°= — = -2,05; |
4° |
р4= — = -1,74; Л0= ^ = -4,3. |
|||
Р, |
Р2 |
Рз |
Р4 |
5.3. MIT-5 |
|
|
|
r f = f = 0,34;
Pi
6. Уравнения кривых L0(p) согласно (127), (127.1) (в технической системе единиц измерения - фут, фунт-сила, секунда).
6.1. D - профили: |
|
|
|
|
7,2Р + 10,64, |
-90° < р < - 46°; |
|
L0(P )= l(H x |
-6,14р-0,07, |
-46° ^ р < 42°; |
(133) |
6.2. МГГ-2: |
6,65Р - 9,44, |
42°< р< 90°. |
|
6,23Р + 8,4, |
|
|
|
|
- 88° < р < - 65°; |
|
|
|
- 0,3р + 0,99, |
- 65° < р < -32,5°; |
|
L0(P) = 10*4 х |
- 1,92р + 0,07, |
-32,5°< Р < 22°; |
(134) |
|
-7,42р + 2,18, |
22°< Р <40°; |
|
6.3. MIT-5: |
10,08Р -10,03, |
40° < Р ^ 90°. |
|
|
|
|
|
Ь0(Р)=1(И х |
3,88Р + 5,56, |
- 90° < р < - 52,5°; |
|
2,0 = const, |
- 52,5° < Р < - 36,5°; |
(135) |
|
|
-3,21р -0,04, |
-36,5°^ Р <49,5°; |
|
|
9,08Р10,66, |
49,5°<р<88,5° |
|
Уравнения (133), (134), (135) |
аппроксимации кривых будут далее ис- |
||
пользованы для вычисления амплитуды первой гармоники Фурье-разложе ния и коэффициента баланса G/, (116).
5.3. Разложение кривой изменения коэффициента подъемной силы в ряд Фурье.
Для разложения кривой L0(B) (представленной суммами типа (133), (134),
146
(135), как это было выполнено для D, MIT-2, MIT-5 -профилей) в каком-либо текущем диапазоне изменения углов атаки (3 от - ymm до на эллипсе пляски (см.(32), (73.2), Утт=Ртт) необходимо изменению угла Р поставить в соответствие изменение гармоник Фурье-разложения с аргументом тгр/2утт, который колеблется от -я до я, обегая кривую L0(P) за период дважды,
- я / < _2£р_
/ 2 - 2у
#тт
Тоща двойному пробегу угла атаки р от 0 до -у^ и обратно (подъем провода) и, аналогично, от 0 до у ^ и обратно (опускание провода) соответствует
изменение аргумента 7cp/2ymin от-л |
до я. Ограничиваясь первой гармоникой |
||
Фурье-разложения, запишем разложение L0(P) в следующем виде (ср. (68)): |
|||
A ,= I o + Z ,= - |- C ; .,s m |
яр + Д8 |
(136) |
|
|
|
2У- |
|
где |
|
|
|
"о = |
Т1 £оФ>Ф |
(137) |
|
Утт
- “нулевой” член Фурье-разложения;
(138)
- амплитуда первой гармоники, включающая в себя синусную СЦ1 и коси нусную ЬЦ1 компоненты, где
(139)
- синусная компонента,
JL.I |
(140) |
- косинусная компонента;
я |
(141) |
Д8 =—-arctg |
-“нулевой”аргумент или фаза первой гармоники. Вместо фазы Д8 можно рассматривать угловую “расстройку” др на оси углов атаки, который име ет “нулевой” член разложения а0, (137),
АР = ^ |
А8 (АР s А\|/0, рисЯ). |
(142) |
|
% |
|
Тогда Фуръе-разложение (136) примет вид
L0= - — -С* ,sin |
Tty |
(143) |
2 w |
2у |
|
(144)
где У = P - др. v-- < Найдем теперь общее выражение для коэффициентов а0, (137), CL,, (139), bu , (140), используя представление L0(p) в виде прямой суммы ломаных L0.
(Р), (127), (127.1).
Нулевой член а0, (137), равен
1 |
Т— |
|
. |
|
Р/.1 |
|
|
|
|
|
|
|
ъ — - |
I Ф ) ® — |
L |
® I |
j[p ,P + (p ,° - /> ,> ,№ = |
|
|
||||||
Утт - у ^ |
|
Утт |
(/) |
pj |
|
|
|
|
|
|
||
— ® |
£ Ь 4 !., - р ?)+ (р °-рЫ р « |
- р л ] |
|
|
|
(145) |
||||||
f_ |
/Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утт |
(#) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первая, синусная, гармоника Cw, (139), равна |
|
|
|
|||||||||
си = - — |
|
|
|
|
|
|
Ушт |
\pfi+(p°-p№ mj^dV = |
||||
’ ] |
Д ( р ) Я ш - ^ 2 - ф |
= - — |
Ф |
' ] |
||||||||
Утт _у |
|
^ У тт |
Утт _v |
|
|
|
Утт |
|||||
Утт |
(i) V |
|
. . |
|
2ул |
|
|
|
|
|
||
Все интегралы табличные, сразу можем записать |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
\ |
|
Q ,i— |
2 Р(Утт |
S in ^ L - S in ^ - |
|
р<+, •c o s^ ± l_ p /c 05 |
||||||||
2Утт |
||||||||||||
|
П |
|
|
2Улштт |
2у*~1тт у |
|
2уи |
тт )_ |
||||
+ -(р*~р)Ру C o s ^ — Cos *Р, |
|
|
|
|
|
|
(146) |
|||||
|
|
2уmm |
2уттj |
|
|
|
|
|
|
|||
Первая косинусная гармоника bu , (140), |
равна |
|
|
|
||||||||
bLi= — — J I |
0 ( p ) C o 5 - ^ & |
- f i f p = - — |
|
|
J [p fi+ ( p ? - |
|
|
|||||
Утт _у |
|
^У тт |
Утт |
(i) «у |
|
|
|
^Чмт |
||||
Откуда для табличных интегралов следует, что
(147)
Для практических расчетов наиболее важен частный случай высоко амплитудной пляски, когда рабочий участок возбуждения размещен на кривой L0(P) таким образом, что “квазидинамический” нуль ц/0 симмет рирует ниспадающую ветвь и рабочая точка системы (точка М на рис.8) не выходит за загибы ниспадающей ветви. Тогда число i ломаных равно 1, i = 1, р. = р,< О В этом случае полученные выше соотношения (145),
(146), (147) в силу симметрии размаха углов атаки относительно “начала” \\iQ- \рв —Д\|/0 существенно упрощаются. Коэффициенты а0, (145), ЬЦ],
(147), в силу равенств pi+1 = р., р°.=р. равны нулю. Остается синусный коэффициент CU1, который принимает вид:
Фурье-разложение (136) принимает вид (отсчетом у от vp0, (126))
~ |
Я |
7rv |
|
|
(148) |
где р - крутизна наклона ниспадающей ветви согласно (130), Утт~ максимальная амплитуда изменения углов атаки р на ниспадаю
щей ветви, “привязанная” к “аэродинамической яме” согласно (126). Вос пользуемся теперь полученными разложениями кривой L0(P) для вычисле ния коэффициента G/, (116).
5.4. Коэффициент аэродинамического качества профиля гололеда.
Выражение (116) для коэффициента баланса G/ высокоамплшудиой пляс ки с помощью соотношений (114.1), (148) для кривой
и среднего на полуцикле коэффициентасилы лобового сопротивления D0\ (16.1), равного DoL,
запишется в виде
ТоЛо |
|
|
|
f |
Л |
sin |
*о®оПо <*1 |
J,. |
71 |
|
2 v _ |
Gl = -Tjko |
|
V*o_ |
(150) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
JD ^ sin3 A:0co0T| fifr| |
|
1 |
|
-Tofko |
|
Преобразуем подынтегральное тригонометрическое выражение в чис лителе под корнем так
s i n -ЕЙ -.Sin &0G)0r | = Cos |
л р |
W l - Cos ^ - - Cos £0©0ri = |
2Уmm |
2УЯ |
2Уmm |
Для продолжения равенства учтем, что угол р и врем я т\ синфазы (Р=0 при Г)=0).
Следовательно, фазы изменения углов атаки и амплитуды равны,
|
|
|
|
|
лр |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2у„ |
Л а д - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда написанное выше равенство продолжится следующим образом: |
|||||||||||
|
|
= 1 - cos А0ш0т| = sin2 ^0©0т|. |
|
|
|
|
|||||
Теперь интеграл в числителе сразу берется и равен |
|
|
|
||||||||
8 |
1 |
|
1 |
■8т2к0(й0т\ |
|
|
|
|
|
||
% |
—Г|- |
4JL© |
2 7 6 р у „ £ |
|
(150.1) |
||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
owo |
|
|
|
|
К |
|
|
|
Интеграл в знаменателе выражения (150) равен |
|
|
|
|
|||||||
Ао |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Dp1 _ |
Jz>£ sin3 к0а0г\dr| = -2Z>0£ |
|
1 |
cosfr0(o0ri+7p — Cas3Ar0©0T| -Го/Jt. |
||||||||
|
3 A„<D0 |
||||||||||
-г.А. |
|
|
*o“ o |
3*0©o |
|
|
|
||||
= 0,42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(150.2) |
Подставляя выражения (150.1) и (150.2) в (150), |
находим |
|
|
||||||||
|
0,216Pi |
|
О/ |
|
|
|
|
|
|
||
|
Gl = |
|
|
|
'к а |
= Jo,65 -fi= - = 0,81 |
M BL, |
|
|
||
|
0.425Д,1 V |
|
V |
|
\ |
О0 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И Л И
G/ = 0,8lVZ, |
(151) |