книги / Волны пляски проводов ВЛ 6-500 кВ. Методика расчета больших амплитуд автоколебаний провода в пролете воздушной ЛЭП. Теория констант единого поля
.pdfТогда можно записать, что
Prdr = pr^ d t = p rcrd tt
. Згф , у. pvdrq> =р9 -~ -d t =p9c9dt
Д |
- А |
изменением количества движения |
Заменим импульсы сил p rdt и p ^d t |
||
изофаз согласно 2-му закону Ньютона, |
|
|
d2*F |
и |
ЪгТ |
d(mvr) = m—zf-dt |
d(mv9) =m - ^ - , |
|
где т - “движущаяся” масса, вовлеченная в движение изофазы; кРг, 'Тф - функции - компоненты на осях г, гср;
Л |
W л _ |
Щ |
Vr |
dji |
т dji |
скорости движения изосостояний на осях |
г, пр . |
|
Инерционные эквиваленты сил возбуждения запишутся в виде,
pTdr = тсг |
д2!Р dt |
d2*F |
p9dry = тс9 -jfiTM |
||
|
Ш2 - |
^ |
(6U )
(61.2)
Срезывающая сила W и сила кручения ДОР в каждом сечении провода х запи шется, как это обычно принято в курсе сопротивления материалов, в виде суммы сил, лежащих по одну сторону рассматриваемого сечения провода,
начиная от опоры (узла), в течение интервала времени f необходимого для
параметризации изосостояний в сечении £ с координатами crt и c ^ t ,
|
N r = \p rdr = fmcr |
~ ^ r d t (61.3) |
|
|
d r |
Силы |
, дгФ направлены по касательной к годографам ^ |
|
Это силы возбуждения для той части провода, куда к моменту времени f
волна уже пришла. Плотности этих поперечных сил возбуждения, записан ные под интегралом в выражениях (61.3), уравновешиваются плотностями поперечных сил реакции провода, порождаемые собственными моментами изгиба и кручения, и моментами изгиба и кручения, порождаемые проекци
ями j\fx , дгФ силы натяжения, соответственно. Плотности поперечных
сил реакции провода вычислим по общему правилу нахождения срезываю щих и крутящих сил по изгибающим, крутящим моментам как вторые про
изводные по координатам ^ и гф от указанных выше сумм, действующих
дА
на кусках crd t , C^dt провода. Приравняв плотности сил возбуждения и
реакций, получим уравнения волнупругой кривой оси провода:
|
E J ; |
d2% |
&2 4х |
|
|
|
*2 ^■NXlFr |
= т—^ г |
|
||
|
дх2 |
ф |
дх |
dt2 |
|
|
|
|
д2К |
э ! к |
(61.4) |
|
* \ 2 |
|
|
= т—^2ф |
|
|
(агф) |
|
|
dt2 |
|
где |
, GJ - жесткости поперечного сечения провода изгибам и кручени |
||||
ям, соответственно; Е ,G |
- модули растяжения-сжатия и сдвига; Уф , Jp- |
||||
моменты инерции площади сечения относительно оси гф |
и центра эллип |
||||
са пляски, соответственно; |
( [£ /ф ] = Нм2, |
[GJ ] = Нм2, |
[Е ] = [G] = Н/м2, |
||
[-Лр] = Ц 7] = м 4).
Введем теперьусловие абсолютной собственной гибкости и безкрутильности провода в виде требования малости собственных моментов изгиба и
кручения по сравнению с моментами сил |
д г* , д г ^ : |
|
|
1 4 ^ 1 « \»хЪ \ № |
р ^ \ « |
\N <t V - |
(«1-5) |
Тогда из уравнений (61.4) получим уравнения кинематических поперечных
(при наличии осевой растягивающей силы ]\[х) изгибных и крутиль
ных колебаний провода'.
N x d2% |
d2% |
Я* |
J |
2^ |
(61.6) |
||||
|
т |
дх2 |
дt 2 ’ |
т ( О г ф ) 2 |
d t 2 |
||||
|
|
||||||||
Или в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 а2^ |
а2^ |
2 |
d2i^ |
_ а 2!^ |
|
(61.7) |
|||
Сг |
д х2 |
~ а? 2 |
*с<р(сшф) 1 |
“ а? 2 |
’ |
||||
|
|||||||||
П г |
|
_ |
fir* |
|
|
m2 |
GnnSp |
|
|
|
|
IО т .™ |
(61.8) |
||||||
где |
’C* ~ i |
т |
" V |
тЯ1 |
J'x |
||||
* 4 т |
|
||||||||
- фазовые скорости волн колебаний. Здесь Gm —модуль закручивания
провода в пролете ВЛ (опытный параметр) ; J'p — F'R - поляр
ный момент инерции площади сечения р ' эллипса пляски относитель но его центра (центра кручения) с радиусом кривизны R — ^JfJh (где
Н, h - полуоси эллипса); J'x - момент инерции массы т относитель но центра эллипса пляски.
“Движущиеся” проекции j\)x , jy Ф силы тяжения провода для изгибных и крутильных кинематических колебаний выполняют роль жесткости на осях
г и гср . Отношение “движущихся” сил jy * , jy Ф к “движущейся” массе т
сохраняет константу движения - квадрат скорости сг и Су, соответствен
но. Периодически колеблясь, силы и масса в пучностях полуволн при v = О
обращаются в “начальные” “покоящиеся” равные |
N Q , N Q , где уравне |
ния (61.8) обращаются в “покоящиеся”, и из них следует, что |
|
No = т0сг2, К = Щс1. |
(61.9) |
Это “собственная”энергия изофаз, трансформирующаяся при движении.
3. “Гравитация” пространства представления пляски.
Обратимся теперь к силе ускорения jy T, входящей в нуль-силу д г ^ ,
(60.2). Эта сила нам хорошо известна из уравнения движения Ньютона, ко торому подчинено движение изосостояний локальной “покоящейся” массы т0провода-волны. Уравнение движения Ньютона для “движущейся” силы
|
|
N ' |
|
|
|
=ЛГ = - ^ - |
|
|
|
запишется так, |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
- N x =-т,о |
д2¥? |
д2Гх |
|
(62) |
* ~ т |
Ъ1г |
(1^1= 1)> |
||
ту
где 5^ - “движущаяся” компонента *F - функции на оси j t равная
при произвольной “покоящейся” функции
Или так, |
- N ' = -т д v |
* |
(62.1) |
|
|
|
djt |
|
|
где учтено, что |
д% |
Щ л |
|
|
тл |
sr -v - m v |
|
||
|
djtfi |
Р |
|
|
где |
v = ^ 5 _ |
( ^ = J / f - i ) |
(62.2) |
|
|
а/ Л |
р |
|
|
-скорость на орбите автоколебаний, |
|
|
|
|
|
|
та |
|
|
|
in |
= — |
|
(62.3) |
|
|
Р |
|
|
- “движущаяся”плотность массы-мера изменения энергии движущихся изосостояний. Из уравнения (62.1) следует, что линейная плотность мощ ности возбуждения движения, отнесенная на единицу длины пролета ВЛ численно равна “силе тяжести” или “силе гравитации” mG в простран стве представления движений, а в реальном эвклидовом пространстве - модулю силы, возбуждающей движение, N x =
т с -£r =mG. d(ct)
где - скорость движения изосостояний на проводе;
а2 г .
<?=
dtz
- ускорение в пространстве представления движений (G - “гравитация” G - поля движений.
(62.4)
(62.5)
(62.6) поле), иначе -
4. “Объективная” мера начального смещения трубки движения состояний провода-волны.
Уравнения движений на осях х, г, гф, полученные выше (60.14), (61.7), (62.6) можно рассматривать как компоненты или “проекции” уравнения
смещений изосостояний во времени (62.4) и записать в виде
|
|
|
|
тс |
a2IP |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y~-mGsi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д 2*К |
|
|
|
|
|
|
|
|
mcr ~fyA~~mGr> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
me: |
d2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
h- =mGa, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(arep) |
|
|
|
|
|
|
|
|
me |
a 2ie |
|
|
|
|
|
|
|
|
(dot)V = mG , |
|
|
|
|
|
где |
|
|
me] = N x, m c)= N rt m<%=N9, me2 = N x |
(63.1) |
|||||
- меры трансформации потенциальных энергий в кинетическую |
или |
||||||||
жесткости деформации изосостояний на осях х, г, пр, je t |
-величины |
Ах, |
|||||||
АГ,АУ,АХ, |
соответственно; |
|
|
|
|
|
|||
|
г |
- г д 2Г |
|
, |
d2*F „ |
2 |
(63.2) |
||
|
, Gr = сГ ------- |
73=72, G = c2----- |
|||||||
|
|
|
дх |
|
д г2 |
(агер) |
(да)1 |
|
|
-компоненты ускорений; |
|
|
|
|
|
||||
cx t |
Cr , сф, с |
- |
скорости изменения фаз на осях координат согласно |
||||||
(60.15), (61.8), (62.5), соответственно; |
|
|
|
|
|||||
4 |
• |
*5 |
• |
- компоненты Ч'-вектор-функции процесса пляски. |
|||||
Годограф Ч'-вектор-функции определяетлинии трубок векторного поля волнового тела пляски провода-волны. Введем единичные векторы каса тельной 15 и нормали 1п к годографу Ч'-функции,
дГ |
_ а 2ч/ _ а2ч> |
l’ ~ ds ; |
п~ ds2 ~ (det)2 ’ |
и рассмотрим уравнения линии векторного поля.
Величины Gx, Gr, С7ф как компоненты Q определят пространственную
линию векторного поля, дифференциальными уравнениями которой являются
dx dr d(nр) dGct) */|0|
Q ~ - G ' - ~ G ~ = ~IG ~ = T ’ (Щ = const), |
|
I Г |
ф */ |
где |
(dx)2+ (dr)2+ (dry)2+ (djet)2 = ds2 + djet2 = </|0|2, |
и |
|
G2X+ Ог! iG j + f'G 1 = 0 ; |
|
|
||
ИЛИ |
G) + j2G2 =0 |
(G]=G]+Gl+Gl). |
(63.3) |
|||
Модуль фазы волны 'F |
равен |
|
и имеет своими компонентами на |
|||
осях координат модули |
|
|
|
|
|
|
|
ф л Щ |
|
|
, |
|
|
которые взаимосвязаны уравнениями |
|
|
|
|||
|
dx |
dr |
dhp |
djct |
^|8j |
|
|
|
|
|
■Jbif' |
|
|
Это соответствует уравнению связи 'F и ее компонент в виде,
1п^ + 1п^ + 1п^+1п^ = 1пГ,
или |
(63.4) |
Из (63.3) следует, что |
|
|
G2 -G 2 = (G, +G)(G, - G) = 0• |
Оп^дадлядействительногопотокаэнергии G s = —G имеемвотовоеуравнаше
д2у, |
Qly, |
|
|
|
= 0 |
(при G,+G*0), |
(63.5) |
где с - скорость волн на линии трубки. |
|
|
|
Откуда, учтя, что т с2 = JVT=|7V5| , имеем уравнение |
|
||
|
д2Р |
|
|
|
Iл н - ^ г = * о , |
|
|
или |
а 0 * 1 , ' ) |
, |
|
|
|
|
|
Это дифференциальное уравнение равновесия изосостояний в пространстве представления движений, где на провод действует ускорение G . Величина
(63.6)
- это объективная мера начального смещения, при котором мощность вза имодействия физических полей эквивалентна кривизне трубки движения в начальной точке (см. примеч.51 и п.п.3.2д, 3.5а) и реализуется кинетоста-
тическоеравновесие.
В статическом режиме “застывшей” трубки состояния имеют постоян ную объективную меру во всех точках пролета. “Гравитация” G, (62.6), в этом случае переходит в гравитацию поля Земли с ускорением g , продоль
ноосевая сила натяжения N Q во всех точках пролета примерно равна силе
натяжения провода N Q . Тоща из (63.6) получим, что
гш.1= 1*3| |
J M |
(63.7) |
I 0 * mG NZ=N$ |
mg |
|
G=g |
|
|
Именно это условие и обеспечивает принадлежность начальных состояний статического провода в пролете ВЛ к группе “застывших” движений.
5. Статический провес и кинетостатическая амплитуда пляски.
Стрелку провеса / в точке М (рис.21) найдем с помощью волновой функции 'Р(^), (59), как разность изосостояний в точках В и М . Перейдем
от “движущихся” координат S к “покоящимся” £ согласно (35.5),
= £ =
учтя так же, что в точке В изосостояния имеют координату х д ,а в точке М
- х в — х .Тоща / равна
/- [ ^ * ] ( c li |
- c h |
). |
(64) |
Это общеизвестное уравнение статического провеса провода.53 Стрелка
fQв середине пролета при х = хв равна
(65)
где |
Ро J - |
- |
согласно (63.7). |
|
|
Щ>8 |
' |
' |
|
Разлагая функцию |
ch в ряд Маклорена и, удерживая только два члена раз- |
|||
ложения, получим (для |
/о |
|
||
Хв = ~ ) общеизвестное параболическое прибли |
||||
жение для стрелки / 0 в середине пролета ВЛ,
f |
x j |
m0gll |
(65.1) |
|
° |
2l\¥£\ ” |
8|7Уд | |
||
|
Пренебрежение членами разложения выше второго у функции ch - это допущение о пологости стрелок провеса провода, которое возможно при
условии малости безразмерного множителя |
хв |
|
, |
||
|
_ щ гЧ * _ 4 /, |
|
[Г,] |
2|ЛГ„'| 8|K \ 'h |
К |
ИЛИ |
& - « 0,25 |
(66) |
Условие пологости ВЛ, а такжеусловиеравноуровневой подвески провода в пролете ВЛ вносят значительные упрощения в модель пляски, позволяя принимать ограничение (53.1) о равенстве модулей длины пролета при дви жении волн “туда” и “обратно” при усреднении процесса во всех режимах работы провода при пляске, считать, что масса провода распределена вдоль оси х , а не вдоль провода, и допускать возможность замены цепной линии провисания провода на параболу в статике.
Кесельман53 показал, что для пролетов ВЛ длиной до 600 м и уклоном до 15° условие пологости вносит ошибку равную примерно 4%, условие равноуровневой подвески - около 0,4%. Ошибку вносимую при этом в мо дель пляски мы оценим в п.5.8.
Смещения провода при пляске обладают “безгистерезисностью”, “реак тивностью” или линейной упругостью “в среднем” (подробно о принципе стационарности “в среднем” см. п.3.5в), что означает подчинение пляски обобщенному закону Гука. Согласно этому закону в статическом режиме
стрелка / 0 ,(65.1), может быть записана в виде,
tn0gll _ Р0
8/V* |
К |
W - W I ) . |
(67) |
|
|||
где |
п |
1 |
|
Ро = 2 W°g/o; |
|
||
|
|
|
(67.1) |
К= Т
-коэффициент жесткости (обратная величина податливости или эла
стичпости) упругого смещения.
Власов19 широко использовал формулы (67), (67.1) в расчетах стрелок подъе ма провода под пантографом электровоза на контактной сети электрифи цированных железных дорог.
Найдем теперь динамическую амплитуду F0 подобную статической f 0,
(65.1), для пляски при условии, когда “движущаяся” и “покоящаяся” силы натяжения провода приблизительно равны,
В стационарном динамическом равновесном состоянии удобно использовать метод кинетостатики. Совершенно аналогично выражению для f Q, (65.1), для стрелки F0 будем иметь
F - |
m0Gl0 |
|
|
|
Го — 8N£ |
Jo ’’ |
|
(67.2) |
|
G |
(g= 9,81 м/с1) |
(67.3) |
||
где |
||||
8 |
|
|
|
|
- постоянная для каждого из элементов группы движения величина. |
|
|||
Для гармонического распределения ускорения |
G на полуволне-пролете |
|||
|
. |
|
2 |
|
средняя величина коэффициента A j, (67.3), равна — и среднее ускорение
G cp равно,
Gcp.= § g = 0,64g.
Следовательно,
F 0 = 0 ,6 4 /o |
(7L, = 0 ,6 4 g ) |
(67 .4) |
Двойная амплитуда или размах амплитуд пляски 2 F0 равен |
|
|
2F0. = Vo = 1,28f 0 |
(X = IX ь = 1,28). |
(67.5) |
Далее в п.5.1 будет найдено выражение для коэффициента X как функции интегральных параметров пляски. Затем статистическим анализом пара метров известных из литературы случаев пляски на реальных ВЛ (табл.4,5) будет найдено значение X
1,09 |
(две полуволны на пролет) |
|
^ “ 1,51 |
(одна полуволна на пролет) |
(67.6) |
Условие (67.5) реализуется по определению при “точечном” кинетостатическом равновесии, то есть, когда гармонические колебания реализуются не “в среднем” на полупериоде, а для сколь-угодно малого куска проводаволны или интервала времени периода колебаний, где балансируются ра боты возбуждения и торможения, и интегральное условие баланса (21) при нимает вид “точечного” уравнения (по абсолютным величинам)
Ws =Wr |
(67.7) |
Значение X = 1,28 определяет верхний предел максимальных амплитуд пляски, моделируемых колебаниями струны, когда не учитывается спи-
ральность волны, “релятивизм” колебаний на оси х (при |
л |
^ 1, см. п.3.6) |
|
и “гистерезисность” носит “точечный” характер. |
|
3.4. “Запуск” пляски и ее “исторический путь” развития.
Из практики экспериментов с пляской общеизвестно, насколько трудно возбудить искусственным путем не только спиральную, но и плоскую стоячую волну колебаний, добиться ее устойчивого стационарного ре жима. Казалось бы, все для этого налицо, однако, пляска “не идет”. Бо лее того, практически невозможно пляску возбудить из положения ста тическогоравновесия провода, где он обладает устойчивым равновесием и стремится всегда к нему возвратиться. Предварительно некие “боль шие силы” пляски должны вывести провод из положения устойчивого равновесия в квазистатическое неустойчивое, “запустить ” его про филь в “аэродинамическую яму”, где далее уже могут проявить себя
“малые силы” возбуждения и торможения пляски. “Запуск” провода в такое положение обозначим как “исторический путь” развития пляски. Это путь ВСО на рис.22а.
3.4а. Механизм “запуска” пляски в “аэродинамическую яму”.
“Большими силами” запуска процесса пляски в “аэродинамическую яму” являются силы тяжести провода и постоянная компонента аэродинамичес кой силы ветрового напора. Под действием этих сил провод в пролете как система физических маятников со стрелками / отклоняется от плоскости сво его статического провисания на некоторый угол у = у(х) В точке подвеса провода угол у = 0, в середине пролета он максимален, у < у0. Вместе с прово дом поворачивается профиль гололеда, выводя динамический угол атаки <р,