книги / Волны пляски проводов ВЛ 6-500 кВ. Методика расчета больших амплитуд автоколебаний провода в пролете воздушной ЛЭП. Теория констант единого поля
.pdf4.ДИНАМИКА ВОЛН ПЛЯСКИ.
Впредыдущей главе была рассмотрена кинематика дуального процесса пляски: с одной стороны, - как распространяющейся со скоростью с авто волны состояний деформаций провода в пролете ВЛ (изгибов, закручива ний и сжатий-растяжений), с другой - их кинематических смещений по зам кнутой на себя траектории в направлении вектора-градиента их изменения во времени с локальной скоростью v. Мы выяснили главное свойстворас пределенной системы, что нельзя отождествлять изменения состояний
физической точки реального пространства напряженной среды провода с кинематическим движением самой этой точки. Необходимость “объедине ния” этих движений в едином пространстве представления объясняет пере ход к “движущимся” периодически изменяющимся масштабам длины и времени (парадоксам сокращения длины и замедления), которые связаны с эвклидовыми “покоящимися” масштабами преобразованием Лоренца. Об ратимся теперь к динамике процесса пляски, то есть, к взаимодействию сил на множестве точек “объединенного” или “парного” движения в простран стве представления. Замкнутое на себя множество-компакт этих точек со держит в себе целый ряд свойств характерных для волновой и квантовой механики при выполнении условий стационарности “в среднем” (см.(82)): несохраняемости у движущихся изосостояний их разнообразных видов ре активной энергии, ковариантности форм их записи и взаимотрансформируемости, сохранения “начальных” “покоящихся” инвариантов движения, появления нового вида энергии - спиновой, характеризующей гироскопи ческие свойства движения и др.
4.1. Потенциальная, кинетическая, спиновая, симметричная и антисимметричная, векторная полная энергии движения.
Мерой деформации состояний движения провода-волны (изосостоя ний) являются изменения их амплитуд “расстояний” 10 | , (45), зависящих от нуль-векгоров 0*,0 , параметризирующих движение. Ограничимся ли нейными их функциями, то есть, градиентами изменения амплитуд состоя ний волновой функции (76). При пляске локальные модули деформации состояний - их наименьшие верхние грани абсолютных величин деформа ции, - существенно меньше, чем их максимальные амплитуды на полупериодах колебаний. Такие деформации обычно именуют инфинитезималь ными, и для них в силу их малости несущественно, по какому из аргументов вести дифференцирование61 - по “покоящейся” или “движущейся” коор динате. Это справедливо до тех пор, пока меры этих координат можно считать постоянными и картина распределения малых амплитуд колеба
ний зависит целиком от наложения когерентных полуволн. Для высокоинтенсивной пляски сам процесс колебаний - суть изменения меры длины и времени колеблющихся полуволн среды при постоянстве скорости взаимо действия действующих на нее сил физических полей. По “соглашению” в п. 3.2г здесь мы обязаны пользоваться среднегеометрическими “движущи
мися” пространственно-временными координатами s, ct, входящими в про странственно - временной нуль - вектор 0 или фазу и=р0 функции vj/(0). Для упрощения записи мы далее не будем применять индекс среднегеометричности - шляпку Л над соответствующей координатой или функци ей и будем ее писать только тогда, когда ее отсутствие может привести к путанице в обозначениях. То есть, введем операцию замены обозначений
s(t),ct,i> идр s s(t),ct, v идр |
(94) |
Умножив меры деформации состояний на жесткости, которыми обла дает при этом провод на осях их движения в пространстве представления, получим обобщенные силы, деформирующие состояния и представляющие их движение. В каждой точке векторной линии волнового тела пляски имеет место равновесие сил (63.1), (60.2), I NT| =1 Ns| = me2, N^N*+N*= 0.
По обобщенному закону Гука62модуль нуль-силы N можно предста вить в виде произведения “жесткости деформации” - силы т с 2 - на величи ну деформации dT/d(0/p), выраженную в безразмерных единицах. То есть,
\тР |
г d У* |
2 |
г 9_ |
\ |
|
N = т с |
, |
. = т с е |
У |
= -s +ct |
|
|
< / - |
|
У |
||
|
w |
|
|
|
|
9_ |
= Ж |
Ж |
+ к , # |
) . . - gradr + l ^ L +f ( s j ct) |
|
|
os |
qjct |
|
c djct |
у
- нуль-вектор деформаций равновесного состояния, где f(s,jct) - функция, зависящая только от выбора системы координат, и 50 /ds = -р, 50 /д jet = р - условие параметризации изменения координат s, jet в фиксированной среднегеометрической точке автоколебаний.
В геометрии пространств доказывается, что при определенном выборе системы координат, именно, когда кривая Т(0) является геодезической пространства, и движение реализуется на ней как некоторое точечное ото бражение, функция координат f(s,jct), входящая в е, равна нулю. Тогда при IT 1= const также равен нулю и нуль-вектор деформации
£ |
д ¥ |
д Г |
(95) |
= |
= 0. |
||
|
3s |
3jct |
|
Нуль-вектор 8 примечателен тем, что в смысле абсолютного (ковариантного) дифференцирования на геодезической вычисляется в криволиней ных координатах (где f(s,jct)=0) после параллельного переноса из точки 0+d0 функции ¥(0+60) в точку 0, где она равна ¥(0), и там производится срав нение модулей значений функций 'Р(О) и ¥(0+с10), иначе сравнение теря ет смысл в силу наличия не равной нулю функции f(s,jct) до операции па раллельного переноса. Равенство е на геодезической нулю означает весьма удобное для интерпретации стационарного движения свойство Л'-функции: при параллельном преобразовании из точки в точку модуль интенсивности I, (77.1), - квадрат, нормы или длины вектор-функции сохраняется. Это оз начает, что изменение компонент функции при таком преобразовании, обыч но именуемом “параллельным переносом” компенсируется за счет поворо та самой системы отсчета. Следовательно, в определенном масштабе сохраняющаяся норма1 может “нести” на себе сохраняющиеся при всех опе рациях сдвига, переноса и вращений на геодезической “начальные” и алгеб раические инварианты движения. В псевдоэвклидовом пространстве с перио дически изменяющимися в целом на геодезической - эллипсе координатами, зависящими от изменения параметра v/c локальные их величины (при v/ c=const) подчиняются преобразованию “параллельного переноса” Лоренца, реализующего несобственное вращение инвариантов49. Повидимому, спра ведливо и обратное утверждение, что, поскольку “слияние” полуволн отобра жает именно преобразование Лоренца, нуль-вектор 0 является аргументом движения на эллипсе автоколебаний, являющимся геодезической такого дви жения, где геометрия траектории содержит в себе динамику движения сохра няющихся величинi=const.
Точки геодезической-годографа Л'-функции задаются координатами биортогональной системы координатных линий s, jet являющихся пересече нием ортогональных поверхностей по линиям кривизны (знаменитая тео
рема Дюпена52). Нуль-сила |
на геодезической состоит |
из |
взаимоуравновешивающихся сил Ns |
и N и направлена по касательной к |
|
ней. Найдем теперь мгновенную работу силы Nv Умножим силу |
на |
длину дуги dT геодезической. Учтя что,
№ - |
|
\ |
+ |
dd —edO, |
|
ds |
|
djet |
после перемножения находим следующее выражение для плотности Н век-
тор-функции реактивной (взаимообратимой) полной энергии движения изо состояний спиральной волны:
Нйв= N 'd4'= тсге2й в = тс2 |
|
V |
- 2 |
дГд*Г йв. |
|
|
|
(96) |
|||
05 ) |
Ь |
\OJCt |
|
ds djct |
|
{ - Т |
Ш |
|
|
|
|
В этом выражении можно различать следующие компоненты: |
|
||||
П = шс1Г-— Y |
|
|
(97) |
||
d s ) |
|
|
|
|
-потенциальная энергия, из которой (для сопряженного изосостояния, наоборот, - в которую) трансформируется величина
T = mc |
dct, |
(98) |
|
|
-кинетическая энергия, трансформирующаяся из (и, соответственно, в) П;
J = - 2 т с --------- = 2л/ТП |
(99) |
ds dct |
v f |
-спиновая энергия или энергия “в пути” - поток энергии состояний де формации провода при пляске, локализованный на полуволнах стационар ного процесса, и перемещающийся на оси провода волнообразно за счет упругих сил. Энергии П и Т образуют в (96) антисимметричную компонен ту энергии Я, (96), - лагранжиан L - своеобразную мгновенную или теку
щую амплитуду взаимотрансформации энергий, |
|
Ь=Т-П. |
(100) |
С учетом введенных обозначений вектор-функцию полной энергии Я, (96), можно записать так,
Я= -L-jJ. |
(101) |
Вектор-функция Я, (96), представлена здесь в квадранте s, t>0. Независи мость Я от выбора квадранта обязывает нас симметрировать Я относитель но операции инверсии s или t (порознь).
Изменив знаку s или t, находим совершенно аналогично выводу соотноше ния (96) сопряженное ему значение Я*
Я*= -L -jJ * (где J*= - J). |
(101.1) |
перемножив Я и Я* находим симметричнуюотносительно инверсий
координат или времени вектор-функцию |
[я|-м од уль, или |
“длину” век |
тор-функции Я, своеобразный “интервал” изменнения L и J или максималь |
||
ную амплитуду функции L при J=0: |
|
|
\H \2 =L2+J 2 . |
\H \=^1L2+J 2 |
( 102) |
|Я| = л/Г2 + Я 2 - 2 Ш + 4Ш = 7(Г + Я )2 =Т + П, |
(103) |
или так
(104)
Это симметричная функция полной энергии движения или гамильто ниан изосостояний. Из (99) видно, что спиновая энергия есть векторная
величина, которая ортогональна одновременно к векторам VT и л/п :
(105)
На рис.25 схематически представлена взаимозависимость всех реактив ных энергий движения изосостояния на геодезической как энергий “па раллельного переноса” на эллипсе пляски. Все эти энергии, сохраняя свою ковариантную форму записи в каждой “точке” движения, непрерывно де формируются в своей ориентации, так что сохраняется лишь одна их общая константа - покоящаяся энергия т 0с2. При этом взаимоортогональны: L и J,
образующие |tf|,(102); VT и >/п, образующие |
(105). |
Ковариантная связка энергий превращения - сопутствующий трехгранник энергий “параллельного переноса” среднегеометрической “точки” на эллипсе - геодезической в пространстве представления автоколебаний провода-волны:
Я, Т, J, Ь = Т - П , \Н\ = Т + П
- потенциальная, кинетическая,
спиновая, лагранжиан, гамильтониан
\
\ s |
осевинтового стационарного |
движения (см. (97)-(100), (106)). |
Действительноt феноменален процесс пляски: в нем не сохраняются локально ни масштабы длины и времени, ни взаймообратимые реактивные энергии, ни активные энергии накопления и потерь - все в движении. Сохра няется лишь “собственная” энергия, заполученная при “рождении” ВЛ - ве личина п^с2, - некоего “неделимого” изосостояния - частицы или кванта уп ругого взаимодействия физических полей и сил натяжения среды провода в пролете. Линейный интеграл от вектор-функции полной энергии Я,(96), и взятый вдоль какой-либо из сопряженных полуорбит автоколебаний в любой из нормальных плоскостей пролета имеет постоянную величину модуля соб ственной энергии Н0= т 0с2 для каждой из полуорбит, что отвечает усло вию (20) принципа стационарности “в среднем”на полупериодах:
jN ^d y = j |
”—' |
dju = 2 Jm0c2 sin jucosjudju = m 0c2 (105.1) |
|
o |
o |
P |
0 |
Волновые энергии П, (97), T, (98), J, (99), L,(100), | я | , (102), иЯ , (101) можно записать также в следующем компактном виде с гиперболическими функциями, которые, впрочем, легко обращаются в тригонометрические
по общим правилам (после замены 9 на |
, обращающей их в пе |
риодические функции): chp9 = cos jp 9, |
sh 9 = - j sin jp 9, |
учтя предварительно следующие соотношения:
d'F
dct
|
|
е м |
|
ое |
/ ? = TJ \ - V 2/ C Z |
|
ds |
39 ds |
н 89 |
^ |
ds |
||
н |
Имеем следующую дифференциальную систему уравнений для взаимосвя занных функций-плотностей энергий спирального движения:
П - т с |
i f d J P V |
m oc i ог , 2 л |
i i |
0 - потенциальная энергия; |
|||
I |
= —~ |
P sh в - mbc fkh |
|||||
|
2 |
|
1 2 |
m v |
|
|
|
г = т с ‘ Ш |
mac |
|
v |
- кинетическая энергия; |
|||
fi |
|
c1 |
fi |
|
|
L=тс [Щг] ~(~1г) |
|
] |
-л‘ч"н'жн‘,"; <106> |
|||||
. |
, |
|
г д У д Г |
- 1 1 //ь д |
- спиновая энергия; |
|||
J |
= - 2 т с |
— ----- — |
= 2т0с у |
sh0 |
||||
|
|
|
9cf |
9s |
' |
^ |
|
|
|
|
|
О Т |
ПС |
|
|
||
|
|
© |
g y V |
/? |
|
|
||
Я к /я с 1 |
|
1 |
^ |
|
|
~ гамильтониан; |
||
|
|
|
|
Ч |
5s у |
|
|
|
Я = |
^ - ( > |
s / i V |
- |
- ; V |
У'с^^ ~вектор - функция полной |
энергии "неделимого"изосостояния осевинтовой локализованной волны.
Система уравнений (106) - это локальные, точечные параметры полуорбит эллипса автоколебаний или полуволн процесса “слияний”. На сопря женной полуорбите действуют уравнения сопряженные с (106). Обе систе мы уравнений описывают единый процесс автоколебаний в течение периода. Известна критика Бриллюэна63 специальной теории относительности, ос новывающейся, как это теперь можно было бы вполне разумно допустить по аналогии с волнами пляски проводов,- на осевинтовых электромагнит ных автоколебаниях вакуума - среды (см. примеч. 80), что в ней инет мес та”потенциальной энергии, поскольку последней отводится роль нео пределенной “покоящейся” константы. В соотношениях (106) величина т 0с2 выполняет важную роль вполне определенной меры энергии, которую сис тема заполучила при своем “рождении”, и затем на орбите своего автоко лебания в качестве “нулевой” перемещает как т 0с2/р= т с 2.
4.2. Взаимозависимость изменений полной и спиновой энергий пляски.
Из спирального характера движения изосостояний на геодезической пе ремещения растянуто-изогнуто-закрученного провода следуют уравнения движения для скоростей, ускорений, которые были ранее нами приняты аксиоматически. В самом деле, из равенства нулю нуль-вектора деформа ций равновесного состояния (95) следует характерное уравнение для скоро сти изменения изосостояний
= з у = |
а т |
(107) |
|
djt |
С ds |
||
|
Аналогично, из равенства нулю второй абсолютной (ковариангной) производной
dlx¥ |
д2х¥ |
д2хУ |
d ijc J |
~ d ijctf + & г |
представляющей собоюусловие сохранения нормы движения | Т | , сле дует волновоеуравнение движения для *Р, (63.5),
a v |
а 2г |
Л |
|
|
(1 0 8 ) |
Уравнение (108) обеспечиваетековариантность изменения модуля пол ной энергии I#| при “свободном” движении изосостояний на временной оси ct, когда его изменение во времени равно изменению со скоростью с
энергии J на оси s. В самом деле, прямым вычислением находим |
|
|||||
т _ |
=тс |
ЭЧЛ2 |
(д ¥ У |
|
гЗ'РЭ 'р |
a / |
det |
■ * |
+ Гда |
ds \ |
-2т с |
-ч ’ |
|
det |
ds det) |
ds |
где использовано уравнение (108). Или
Ща /
det |
(J - согласно (99) или (106)). |
(109) |
ds |
|
Это закон сохранения взаимообратимых реактивных энергий: измене ние полной энергии на временной оси ct равно изменению спиновой энер гии или потоку энергии в пространстве. Закон реализуется “точечно” в пространстве представления движения на годографе 'Р-функции при усло вии стационарности “в среднем”, (82), для рассматриваемых нами высоко амплитудных спиральных автоколебаний. Он будет справедлив также для эллипса пляски в реальном пространстве для Z - функции, (42), но уже при малых амплитудах плоской стоячей волны пляски.
4.3. Переход от волновой механики к классической. Квантоме ханический подход к описанию спиральных автоколебаний.
В гл.З было определено, что “неделимыми” элементами движения авто колебаний провода-волны являются его изосостояния, описываемые волно вой функцией 'F, принадлежащей малому бруску ДО ее изменения на геоде зической в пространстве-времени изменения параметров движения системы, где изменением *F можно пренебречь и считать ее постоянной. Тем самым в рассмотрение вводится математическая “точка” или дискретный квант со бытий - “неделимое” образование из параметров системы, где v/c=const, по стоянны структура, метрика и инварианты, начальные условия движения. Теперь, наконец-то, мы можем отождествить состояние “точки” с ее движением, и это движение - изосостояний или тождественных самим себе квантов событий (непрерывных при пляске и в общем случае дискретных) в конфигурационном пространстве-времени представления движения. Ясно, что при тождественности сдвигов, вращений, инверсий стационарного дви жения на множестве ковариантных квантов-изосостояний реализацию само го движения должен осуществлять определённый математический аппарат. Например, можно попытаться представить движение каким-либо из трех ос новных ныне известных классических формализмов описания движения - по Лагранжу, Гамильтону или Гамильтону-Якоби. Осями движения являются ортогональные локальные координаты s и jet (или ct), зависящие, как и поло жено в классической механике, от реального времени t как параметра. “Про странственной” кривой будет служить годограф изменения состояний про вода-волны, описываемый Я'-функцией аргументов s, jet или пространственного вектора “расстояния” 19 1, (45),
Щ= fi4 s2 - c 2tz = /7л]s2+ (jet)2
Вкаждой точке кривой 'F(G) определена вектор-функция Я, (106), пол
ной энергии движения. |
“Дуга” векторной линии между какими- |
|
в |
либо двумя точками |
А и Л движения равна |
|
А |
Наличие у Я действительной и мнимой компонент, связанных с движе нием состояний деформаций на проводе и автоколебательном цикле, при водит к тому, что описание движения с помощью одного лишь лагранжиа на оказывается уже невозможным: появляется еще одна компонента, описывающая движение на орбите автоколебаний-спиновая энергия J, (106). Геодезическая траектория - кратчайшая между точками А и В - определя ется из условия равенства нулю вариации написанного выше интеграла,
в |
в |
|
в |
в |
J<5Hdt = 5 jHdt =- 6 Jbdt- |
pdt = 0. |
|||
А |
Л |
Л |
А |
|
Откуда следуют (см. Примеч.45 или, например, В.И.Арнольд. Матема тические методы классической механики. М.Наука. 1979,стр.49) уравнения экстремалей движения т а уравнения Эйлера-Лагранжа:
*d ' S L ' _9L ь —ft* |
d 'dj' 9J |
(110) |
|
dt |
9q |
= 0, |
|
dt V9P, |
|
||
где |
|
|
|
|
p = mc — , |
9 F |
(111) |
|
q = mc— |
||
|
9ct |
9s |
|
- обобщенные координаты движения изосостояний при автоколебаниях
(на орбите автоколебаний и на проводе, соответственно) или |
“парные па |
|
раметры” (см. далее); |
|
|
L = - j : ( p W ) |
, 2 |
(111.1) |
J= —pq |
||
|
ш |
|
- лагранжевая и спиновая функции энергий.
Подставляя в первое и второе уравнения (110) выражения для L и J, (111.1), получим системууравнений Лагранжа
2_fdp |
= 0, |
.2 |
dq |
\ |
= 0. |
(111.2) |
ш d T q |
J— |
— - p |
|
|||
|
ш |
dt H |
|
|
Модуль полной энергии |tf|,(104), в координатах p,q, (111), принимаетвид
Ttl ( » 2>
Это гамильтониан так называемого “осциллятора” - плоского локаль ного представления спиральной волны, - не содержащего энергию J, (111.1). 21 Гамильтоновом формализме с помощью гамильтониана | н \ , (112), простым дифференцированием можно получить каноническое уравнение движения Гамильтона для р и q как функций координат и вре мени. Гамильтониан | н\, (112), и лагранжиан L, (111.1), связаны друг с другом известным уравнением:
(112.1)
В этом виде гамильтониан по общим правилам классической механики оп ределяет уравнение движения в частных производных в форме Гамипьто- на-Якоби.
130