книги / Применение метода конечных элементов
..pdfИнтеграл от произведения {dNn/dxdN^ду) может быть вычис лен также с помощью интегральных формул, приведенных в гл. 3. Используем равенство
2 А
В рассматриваемом случае имеем |
|
|
|
|||
|
___г2иА -----------— — |
41 |
2 А — _ |
—М _ |
||
|
8 |
ь 2ал — |
8 |
|
8(6) |
|
А |
|
|
|
|
|
|
Г 1 0 / |
L d A — 1 0 |
1 1 1 1 |
2 Л — |
20А |
||
л |
|
8 |
4f |
|
8(24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
- ± - L \ d A = - |
8(6) |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Площадь элемента может быть вычислена с помощью формулы (3.9), что дает А = 8. Окончательно получаем
А
Этот результат в точности совпадает со значением, которое было получено численным методом.
В формулы для матриц элементов входят два типа поверхност ных интегралов:
^h[N]T [N]dS |
и |
^a[N]T dS, |
(14.14) |
S t |
|
S i |
|
где a — коэффициент вида ЛГ», |
q |
или рх. Эти |
интегралы могут |
быть очень просто определены с помощью соотношений, представ ленных в гл. 3. Наиболее просто вычисляется второй интеграл в (14.14), поэтому мы начнем с него.
Допустим,, что требуется вычислить интеграл |
^q[N]TdS вдоль |
|
стороны Li= 0 квадратичного |
|
s |
элемента, изображенного на |
||
фиг. 14.3,6. Запишем функции формы |
|
|
iVj= О, |
А^4— 4LJLJ, |
|
N2 = 0 , |
W5=Z ,8(2Z,3 |
1), |
Na= L 2 (2L2 — 1), |
Ne= 0. |
|
Теперь можно записать интеграл в виде
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
L 2(2 L 2- 1 ) d S _<72$345 |
1 |
(14.15) |
|
4-^JjT/g |
6 |
4 |
|
|
|
||
L 3(2 L 3 - 1 ) |
|
1 |
|
0 |
|
s.0 |
|
где2бз45 — длина стороны Li=0. Толщина элемента предполагается единичной. Окончательный результат получается такой же, как в случае одномерного квадратичного элемента: величина q распре деляется по трем узлам элемента в отношении 7б> 2/з, 7в. Форму лы, аналогичные (14.15), могут быть выведены и для других сто рон элемента.
Интеграл J* q[N]TdS равен s
|
О |
|
|
О |
|
|
0 |
|
|
1 |
(14.16) |
8 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
1
о
о
для стороны Li = 0 кубичного элемента. 2^4567 — длина стороны,
содержащей узлы 4, 5, 6 и 7. Соотношения (14.15) и (14.16) не применимы к осесимметрнческим задачам, если рассматриваемая сторона параллельна оси симметрии (всем узлам, расположенным на этой стороне, соответствует одно и то же значение радиуса).
Поверхностный интеграл j /t[W]r[Af]dS вычисляется таким же s
образом, как (14.15) и (14.16). Запишем окончательные выраже ния для стороны Li—О в случае квадратичного и кубичного эле ментов:
|
-0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0" |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
j h [Л7]г [(V] dS |
0 |
0 |
4 |
2 |
— 1 |
0 |
(14.17) |
$ЗЛ6 |
0 |
0 |
2 |
16 |
2 |
0 |
|
0 |
0 |
—1 |
2 |
4 |
0 |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Jh [N]T [N] dS =
$4587
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0" |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
128 |
99 |
—36 |
19 |
0 |
0 |
0 |
|
|
^264667 |
0 |
0 |
0 |
|
648 |
—81 |
—36 |
0 |
0 |
0 |
(14.18) |
|
0 |
0 |
0 |
—36 |
—81 |
648 |
99 |
0 |
0 |
0 |
|||
1680 |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
19 |
—36 |
99 |
128 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
О |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Соотношения, подобные (14.17) и (14.18), для других сторон за-, писываются аналогично. Значения ненулевых коэффициентов не изменяются, меняется их положение внутри матрицы.
14.4. Тетраэдральные элементы
Естественная система координат для тетраэдрального элемента вводится почти так же, как в случае плоских L-координат. Четыре безразмерных расстояния L\, Ьг, Ьз и L\ определяются как отно шения расстояний от выбранной произвольной точки элемента до одной из его сторон к высоте, опущенной на эту сторону из про тиволежащей вершины. Такие L-координаты называются объемны ми, они связаны между собой соотношением
L1 + L2 + Ls+ Li = l. |
(14.19) |
Функции формы для линейного тетраэдра представляют собой объемные L-координаты:
Nl = L 1 W2= L 2, Na= L 3 и N4 =L ,. |
(14.20) |
Функции формы для элементов высокого порядка могут быть по лучены из формулы (14.4) с учетом того, что Fe теперь определя ются уравнениями плоскостей, проходящих через соответствующие узлы, а не уравнениями прямых, как в случае треугольника. Ниже приводятся типичные функции формы для элементов различного порядка; элементы изображены на фиг. 14.4.
6
Фиг. 14.4. Расположение узлов |
в линейном |
(а), квадратичном (б) и кубичном |
(в) тетраэдральных элементах. |
Узлы 17—20 |
расположены на гранях тетраэдра. |
Квадратичный тетраэдр (10 узлов)
Для углового узла
N1 =(2L1 — l)Lj. |
(14.21) |
151.Вычислите dNJdx и dNJdy для элемента задачи 150.
152.Определите численно интеграл по объему элемента из за дачи 150 от произведения величин dN2/dx и дЫ2/ду. Результат
сравните с соответствующим значением, полученным путем точно го интегрирования.
153. Вычислите численно интеграл по объему элемента из за дачи 150 от произведения величин dN6/dx и dNe/dy. Результат сравните со значением, полученным путем точного интегрирова ния.
154.Покажите на конкретном примере, что при рассмотрении линейного треугольного элемента достаточно одной точки интегри рования для того, чтобы вычислить интеграл от произведения ве личин dNi/dx и dNf/dx.
155.Напишите подпрограмму, которая сможет вычислять все частные производные от функций формы по х и по у, если интер поляционная функция квадратична, а геометрия элемента может быть описана линейными функциями формы.
ЛИТЕРАТУРА
1 . Hammer Р. С., Marlowe О. Р., Stroud А. Н., Numerical Integration over Simplexes and Cones, Mathematics Tables Aids Comp.t 10, 130—137 (1956).