Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4672 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Применение метода конечных элементов

..pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
16.27 Mб
Скачать
☆

1 0 5

110

cionnn

 

115

 

120

 

125

non

1 3 0

 

L35

 

L U O

nno

 

145

non

 

1 5 0

 

1 5 5

1 6 0

165

170

1 7 5

1 8 0

185

1 9 0

195

2 0 0

-205

0 0 2 2 J

* 1 . 3

C I I . J ) =

t . 6

0 0 2 2 K * 1 . 3

2 2 C ! I , . J ) * C ! I , J I » B ! K , I I « 0 ! K , J l

M A T R I X M U L T I P L I C A T I O N T O O B T A I N E S M A N 0 E *

E S N а ( В Т ) ( 0 ) ( В ) з ( С ) ( В )

E F * ( В Т ) I D ) ( Е Т I = ( С ) ( Е Т )

0 0 2 7 1 * 1 , 6 S U M l z O . O

0 0 2 9 К * 1 , 3

29 SU M 1 = SU M 1*C II,K )* ET !K )

D O

2 7

J * l , 6

S U M z O . O

0 0

2 8

K = l , 3

28S U M = SUM »CCI,K)*B(K,J1

E S M 1 1 ,J )= S U M * T / !2 ,* A R 2 I

27 E F(I1= S U M 1*T 72 .

INSERTION OF

ELEMENT PROPERTIES IN

THE

GLOBAL

MATRICES

 

 

 

0 0 7 1 * 1 . 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I I = N S ( b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J 5 * J G F » I I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ( J 5 ) * A ( J 5 ) » E F ! I )

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 1 7 J * 1 . 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J J = N S ( J )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J J = J J * 1 - I I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I F I J J ) 1 7 ,1 7 , 16

 

 

 

 

 

 

 

1 6 J 5 = J G S M M J J - l ) * N P f I I

 

 

 

 

 

 

 

A ! J 5 I = A ! J 5 > » E S M ! I , J )

 

 

 

 

 

 

1 7 C O N T I N U E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 C O N T I N U E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M O D I F I C A T I O N A N D S O L U T I O N O F T H E S Y S T E f l O P E Q U A T I O N S

 

 

 

C A L L

9 0 Y V A L ( A ( J C S M f 1 ) , A ( j G F f 1 ) V N P , M B W , H C U

 

 

 

 

C A L L 0 C M P B 0 ( A ( J G S M » 1 I , N P , N B H I

 

 

 

 

 

 

C A L L

S L V B O C A I J G S M + 1 ) , A ( J G F f 1 I , A ! J P f 1 I , N P , N B W , N C L , I D l I

 

L O O P T O C A L C U L A T E E L E M E N T R E S U L T A N T S

 

 

 

 

 

W R I T E ! 1 0 * 8 0 )

 

T I T L E

 

 

 

 

 

 

80 F O R M A T С 1 H i , 2 0 Л 4 / / 1 X * 2 8 H E L E M E N T S T R A I N S A N D S T R E S S E S

 

 

 

I E L R = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I J =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 6 R E A O ( I N * 2 ) N E L . M D , X I . Y 1 . X 2 . Y 2 , X 3 , Y 3

 

 

 

 

 

D T = A ( N E L I - T E M P

 

 

 

 

 

 

 

 

G 0 T 0 3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R E T R I E V A L O F T H E

E L E M E N T N O D A L O I S P L A C E M E N T S

 

 

 

65 0 0 5 3 1 = 1 , 6 * 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N S 1 = J P * N S ! I )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N S 2 = J P * N S ( 1 * 1 »

 

 

 

 

 

 

 

 

U ( I ) * A ( N S 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 3 U ! I H ) = A ! N S 2 >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C A L C U L A T I O N

O F

T H E

S T R A I N

V E C T O R .

( S T R A I N )

(&) 10» - !E T «

 

 

0 0

5 5

1 = 1 , 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S T R A 1 1 1 * 0 . 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 5 5 < * 1 * 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 5 S T R A I I ) = S T R A ! I ) f f i ! 1 . Ю * U ( K ) / А Р 2

 

 

 

 

 

C A L C U L A T I O N

O F

T H E

S T R E S S

V E C T O R .

( S T R E S S )

(331 ( S T R A I N )

 

 

0 0 5 8 1 = 1 , 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S T R E ( I ) = 0 . 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 8

D O

5 8

K = l , 3

 

 

( I , K > * ( S T R A I N ) - E T ( I ) )

 

 

 

S T R E ! 1 1 * S T R E ( I )

 

 

 

C A L C U L A T I O N O F T H E P R I N C I P A L S T R E S S E S

 

 

 

 

 

A A = ! S T P f c ( l ) * S T R E ! 2 ) ) / 2 .

 

 

 

 

 

 

 

A 3 = S Q R T ! ! ( S T R E ( 1 ) - S T R E ( 2 ) I / 2 . ) • * 2 ^ S T R E Г З ) • * 2 »

 

 

 

5 1 = A A « - A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 2 = A A - ДВ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TM = A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I F ! A B S ( S T R E ( 1 ) - S T R E ! 2 ) ) . L T . 0 . 0 0 1 ) G O T O

 

 

 

 

A C = A T A N 2 ( 2 . * S T R E ! 3 ) , S T R E ! 1 ) - S T R E ( 2 ) >

 

 

 

 

T H M = ( ( 1 6 0 . 0 / J . 1 L 1 5 9 2 6 5 ) • А С I / 2 . 0

 

 

 

 

 

9 3

G O

T O

9 L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TNM = 9 0 . 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9U C O N T I N U E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P R I N T I N G O F T H E R E S U L T S

 

 

 

 

 

 

 

W R I T E ! 1 0 , 5 7 )

 

N E L

 

 

 

 

 

 

 

5 7 F O R M A T ! /

I X , 7 H E L E M E N T , I L I

 

 

 

 

 

 

W R I T E ( 1 0 , 9 5 )

 

 

S T R A ( 1 ) , S T R E ( 1 1 , S i , S T R A ( 2 ) , S T R E ( 2 ) , S 2 , S T R A ( 3 ) .

 

1 S T R E ! 3 ) , T M . T H M

* , E 1 2 . 5 , 5 X . « J H S X X = , E 1 2 . 5 , 5 X , 5 H S 1

= , E 1 2 . 5 / 5 X , 5 H ' T

95 F O R M A T !

5 X , 5 K E X X

 

I t

=•, E 1 2 . 5 , 5 X , 5 M S Y Y = , E 1 2 . 5 . 5 X , 5 M S 2

= . e i 2 . 5 / 5 X , 5 H G X Y = , E

1 2 . 5 . 5 X , 5 M

 

2 T X Y 3 . E 1 2 . 5 . U X . 6 M T M A X = , E l 2 . 5 , 6 X , 5 H A N & L E , F 8 . 2 , 8 H O E G R E E S

)

 

I F ( I P C H . E Q . C )

G O T O 8 6

 

 

 

 

 

 

9 6 W R I T E U P , 1 0 0 )

N E L , S T R E ! 1 ) • S T P E ( 2 ) » S T R E f l 3) * S . 1 » S 2 » TM

 

 

1 0 0 F O R M A T 1 1 3 , 2 X , 6 E 1 2 . 6 )

 

 

 

 

 

 

 

I J = I J » 1

 

 

G 0 T 0 8 6

 

 

 

 

 

 

 

I F ( I J . L E . N E )

 

 

 

 

 

 

 

S T O P

E N B

ЕМ

Модуль упругости

PR

Коэффициент Пуассона

ALPHA

Коэффициент теплового расширения

TEM P

Температура начального установившегося состояния

ТТолщина тела

JTAVE

Величина, которая определяет адрес последней ячейки

 

памяти, отводимой в одномерном массиве А для сред­

 

них по элементам значений температуры

ITEMP Контрольная

величина в задаче о тепловых напряжени­

 

ях. 1ТЕМ Р=1

означает, что средние значения темпера­

IPC H

туры элементов должны быть считаны

Контрольная величина, которая управляет выводом на

 

перфорацию значений напряжений в элементах 1РСН =1

 

соответствует перфорированию карт; 0 означает отсут­

 

ствие данных, предназначенных для перфорирования

В табл. 18.5 представлены исходные данные для задачи о вы­

точке,

обсужденной в гл. 12. Должна быть решена система из

190 уравнений, так как общее число узлов равно 95 и в каждом узле рассматривается по две неизвестные компоненты вектора перемещений. Число 0 в столбце 12 карты параметров указывает на то, что при решении задачи данные о температуре элементов не понадобятся в расчетах; число 1 в столбце 15 указывает на то, что значения напряжений в элементах должны быть отперфорированы для дальнейшего использования. Если в расчетах необходи­ мо учесть значения средней по элементам температуры, эти зна­ чения вводятся вслед за параметрами программы перед вводом карт с исходными данными элементов.

ЛИТЕРАТУРА

1.Collins R. J., Bandwidth Reduction by Automatic Renumbering, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 6 , 345—356 (1973).

2.Organick E. I., A Fortran IY Primer, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1966.

3.Steinmueller G., Restrictions in the Application of Automatic Mesh Generation Schemes by Isoparametric Coordinates, Intern. J. for Numerical Methods in En­ gineering, 8 , 289—294 (1974).

Глава 19

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Предыдущие 18 глав книги следует рассматривать как введе­ ние в прикладные аспекты метода конечных элементов. В них да­ ны обзор интерполяционных свойств базисных элементов и вывод основных уравнений метода как аналитически, так и с помощью численного интегрирования. Рассмотрены вопросы реализации ме­ тода на ЭВМ и получены численные решения некоторых простых задач с помощью ЭВМ.

Слово «введение» подразумевает, однако, существование до­ полнительного материала. Действительно, прикладные области, рассмотренные в этой книге, — только небольшая часть всех воз­ можных применений метода. Существует множество других обла­ стей приложения метода конечных элементов, которые не были здесь затронуты, например почти все разделы механики деформи­ руемого твердого тела, динамические задачи. Эти области обсуж­ даются в работах [1, 3, 7]. Современные прикладные аспекты ме­ тода рассматриваются в технической литературе. Обширная биб­ лиография по методу конечных элементов содержится в рабо­ те [6].

В этой книге не обсуждается математическое обоснование ме­ тода конечных элементов. В последние годы этой теме уделяется много внимания со стороны математиков. Математические аспек­ ты метода, такие, как исследование сходимости и оценки ошибок,

рассматриваются в нескольких книгах (см.,

например, [2, 4,

5]).

По мнению автора, настоящий учебник

снабдит читателя

ба­

зисной информацией, на основе которой каждый желающий смо­ жет углубить свои знания в любом из конкретных направлений. Читатель теперь должен обратиться к технической литературе, связанной с применениями метода конечных элементов в той об­ ласти, в которой он специализируется.

В настоящее время метод конечных элементов широко исполь­ зуется как эффективный метод решения инженерных и физических задач. Будущий инженер должен изучить основные идеи метода и современное его состояние. Именно изложению основ метода и и посвящена эта книга; аспекты современного его состояния остав­ ляются на усмотрение читателя.

ЛИТЕРАТУРА

1.Cook R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley, N. Y., 1974.

2.deBoor C., Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equa­ tions, Academic Press, N. Y., 1974.

3.Gallagher R. H., Finite Element Analysis Fundamentals, Prentice-Hall, Engle­ wood Cliffs, N. J., 1975.

4.Strang G., Fix G. J., An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1973.

5.Whiteman J. R., ed., The Mathematics of Finite Elements and Applications, Aca­

demic Press, N. Y., 1973.

6 . Whiteman J. R., A Bibliography for Finite Elements, Academic Press, N. Y., 1975.

7.Zienkiewicz О. C., The Finite Element Method in Engineering Science, McGrawHill, London, 1971: есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элемен­ тов в технике, изд-во «Мир», М., 1975.

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Вариационное исчисление связано с отысканием стационарных значений функционалов. Функционал представляет собой опреде­ ленный интеграл, который принимает некоторое числовое значе­ ние при подстановке каждой конкретной функции в подынтеграль­ ное выражение. Например, интегралу

ь

(а)

/ = j F ( x ) d x

а

 

при подстановке каждой конкретной функции F ( x )

соответствует

определенное числовое значение.

 

Основная задача вариационного исчисления состоит в отыска­ нии такой функции F ( x ), чтобы при произвольном бесконечно ма­ лом изменении этой функции бF ( x ) величина / оставалась неиз­ менной. Рассмотрим функционал

ь

/==I F^’ ф>4>*)rfx’

(б)

а

 

где х — независимая переменная; ф — переменная, зависимая

от х>

а фж — первая производная ф по х. Варьирование I вызывается из­ менением F ( x ) :

ьь

81 = j 8F(x) d x = j (-§£• бф +

бфх у х .

(в)

аа

Замечая, что

6 < Р *= -^ (6ф )

(г)

и интегрируя по частям второй член подынтегрального выражения, получаем

»

(д)

Функционал / принимает стационарное значение, если 6/ = 0. Величина 6/ в выражении (д) обращается в нуль, если равен нулю интеграл, входящий в это выражение, а, кроме того,

ф (а ) = const, ср (b) = const,

и, следовательно,

бф (а) == бф (6)= 0,

или

dF

.

ч

II

? %

т

д<Рх

^

 

 

 

 

 

 

о

(е)

(ж)

Так как 6ф произвольна на отрезке между точками а и 6, на этом отрезке должно удовлетворяться дифференциальное уравнение

что обеспечивает равенство нулю указанного интеграла. Функционал может иметь несколько независимых переменных.

Рассмотрим функционал с тремя независимыми переменными:

у , z, ф, фх, фу, фz) d V

(и)

V

Произвольному бесконечно малому изменению F ( x , у , г ) соот­ ветствует вариация функционала

v

Используя соотношение (г), получаем

dF

д

6F

д

v

б / - я * * - дц>х

дх (бф) •

Ж

л г (бф) +

dF

+ i - w ] dV . (л)

дср2

Интегрируя по частям второй член в (л) и применяя формулу Гаусса, имеем

dF

д

 

I д<Рх

дх W dV= $ - l r { T t i4')dV- №

( - £ r ) &fdv

V

 

 

или

 

 

 

uyuo ■

(м)

 

V

 

где 1Х — направляющий косинус нормали к поверхности с осью х.

25—763

Преобразуя аналогичным образом другие члены в (л) и объеди­ няя результаты интегрирования, находим для вариации функцио­ нала

Стационарное значение / получается только при условии, что выражения в скобках в обоих интегралах обращаются в нуль. Вы­ полнение этих требований позволяет записать дифференциальные уравнения и граничные условия, которым удовлетворяет искомая функция.

Соотношение (н) соответствует вариационной формулировке задач теории поля, обсужденных в этой книге. Рассмотрим функ­ ционал

J т [ * - ( - £ )■ + * - ( - £ )+ * - (4 У -Э Д *К -

М

V

 

Соотношение (н) устанавливает, что функция, сообщающая ста­ ционарное (минимальное) значение этому функционалу, должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению:

d F ____д

/

dF \

__ д_

(

dF

\

____ д

/

dF

 

д<р

дх

\

д<рх )

ду

\

д<ру

)

дг

\

ду2 )

'

Рассматривая по отдельности каждое слагаемое, имеем

Объединяя результаты последних преобразований, получаем

д3Ф

* ьг

д2ср

к ,

д2<р

0.

дхг

+

ду2

~д? =

Итак, функция, сообщающая стационарное значение функционалу из формулы (о), должна удовлетворять дифференциальному урав­ нению для задач теории поля.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Fung Y. C.f Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1965.

Huebner К. H., The Finite Element Method for Engineers, Wiley, N. Y.f 1975. Pars L. A., An Introduction to the Calculus of Variations, Heineman, London, 1962.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ СООТНОШЕНИЙ

Процедура минимизации, обсужденная в гл. 5,

включает диф­

ференцирование матричных произведений

[N]|{0}

и {Ф }Т[Л ]{Ф }

по {Ф }. где [N ] — вектор-строка и [ А ]

— квадратная матрица.

Указанное дифференцирование выполняется сравнительно просто, но так как этой операции не уделяется внимания в большинстве пособий по матричной алгебре, то мы расмотрим ее в этом при­ ложении.

Рассмотрим соотношение

 

 

 

 

 

 

Ф = М { Ф } ,

 

 

(а)

где

 

 

 

 

 

 

м

= ] а д ,

л а {0

^ =

1 0 ^ ,

.,

ф г].

Мы хотим

вычислить

величину

производной

ср

по {Ф }, т. е.

дф /3{Ф }. Эта производная определяется

следующим

вектор-столб­

цом:

 

 

 

 

 

 

<5ф

дФГ

дф

дф

Т {Щ

дф

дф7

Компоненты вектор-столбца производных (б) вычисляются с по­ мощью произведения (а), которое в развернутом виде записывает­ ся следующим образом:

Ф= N !<!>!+ N20 2 + . . + NrФг.

(в)

Дифференцируя последнее соотношение, получаем

дф

дф

= ЛГ,

дф

 

(г)

а®! = N lt

дФ,

ЭФГ

= N r.
2 X 2 :

Подстановка полученных выражений (б) дает

N A

дц>

N ,

(Б1)

= № т.

с>(Ф}

 

 

 

N Г

 

Дифференцирование {Ф}т [ # ] г по {Ф} приводит к той

же са­

мой формуле, так как это произведение идентично (в).

Рассмотрим теперь произведение вида {Ф}Т[Л]|{Ф}. Операцию» дифференцирования этого произведения легко проиллюстрировать,, если ограничиться малым числом коэффициентов в матрице [Л ]. Пусть симметричная матрица [Л] имеет размеры

и

[Ф1Ф2] •

Используя

условие

симметрии

*1 ,2 = 021,

запишем

произведение в виде

 

 

 

 

 

 

Ф = (Ф}г И] {Ф) =

ап Ф1 + 2а1гФ ]Ф 2+ а22ф2.

(е)

Дифференцируя

(е), имеем

 

 

 

 

 

 

~ ^ = 2апФ! + 2а1аФ2, - ^ - = 2 a 2^ +

2а22Ф2.

(ж)

Подставляя эти соотношения в (б), получаем

 

 

 

 

_£Ф __ Г 2ацФ1 + 2а12Ф2 1

2 Г au

а12 1

ГФХ1

 

 

д (ф }

[ 2а21Ф! + 2а22Ф2 J

а21

а22 [J

| Ф2) ’

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ({ Ф )Ч Л ]{ Ф } )= 2 [Л ]{ Ф } .

 

(Б2)

ОТВЕТЫ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ

2.R = 4.

3.См. фиг. 7.6.

5.См. фиг. 8.6 и 8.8 для аналогичного примера. II . а) # , = (4,5— х)/2,5, N j = ( x - 2)/2,5.

В)

-g - [

1 + 2 У],
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности