книги / Применение метода конечных элементов
..pdfСледующий шаг состоит в делении оси х на отдельные отрезки (числом от 50 до 100) и вычислении длин дуг, соответствующих каждому отрезку оси, по формуле
d% = У (Xj—Xt)2 + (Yj —Yf)2. |
(16.3) |
Сложение длин всех этих дуг дает длину дуги кривой в целом. Итак, в случае криволинейной границы возникает необходи мость определения координат одной или двух точек, которые де лят кривую на два или три участка равной длины. Расположение этих точек может быть определено в результате запоминания на капливаемых приращений длины дуги по х. Как только полная длина дуги станет известна, сравнительно просто пройти отрезок в обратном направлении и найти две точки на оси х, между ко торыми должен располагаться узел. Далее, считая изменение функции между этими двумя точками оси х линейным, определя ем х-координату узла. После определения х-координаты узла, его
у-координата вычисляется по формуле (16.2).
Задачи
169. Напишите программу для определения длины кривой, ко торая аппроксимируется кубичным одномерным элементом. Про верьте программу, рассматривая кривую у = 2 + х2 на отрезке от х = 1 до х = 2 . Сравните результаты вычислений по программе с результатами, полученными по формуле (16.1).
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ГАЛЁРКИНА
Уравнения для элементов, которые использовались в главах прикладного характера, были выведены в гл. 5 путем минимизации либо энергии деформации, либо функционала, связанного с рас сматриваемым дифференциальным уравнением. Существуют дру гие способы получения уравнений для элементов. Преимуществом этих способов является то, что отправной точкой для них служит непосредственно само дифференциальное уравнение и, кроме того, они исключают необходимость вариационной формулировки фи зической задачи. Один из способов, известный как метод Галёркина, был предложен в 1915 г. Галёркиным как приближенный метод решения краевых задач. В сочетании с интерполяционными соотношениями метода конечных элементов метод Галёркина весь ма эффективен при решении как краевых задач, так и задачи Коши.
В этой главе обсуждается применение метода Галёркина к решению дифференциальных уравнений первого и второго поряд ка. Эти области приложения достаточно хорошо иллюстрируют реализацию метода Галёркина, а также показывают возможность его применения в других прикладных областях.
17.1. Метод Галёркина
Метод Галёркина обсуждался многими авторами. Применения этого метода в сочетании с конечно-элементной моделью рассмат ривались в работах [2, 3, 6]1 Подробное изложение его содержит ся также в работе [4]. С помощью метода Галёркина получается приближенное решение дифференциального уравнения. При этом должно выполняться следующее условие: разность между прибли женным и точным решениями должна быть ортогональна функ
циям, используемым при аппроксимации. |
|
||
Если исходить |
из |
дифференциального уравнения Lu—f = О |
|
(L — дифференциальный |
оператор) и приближенное решение |
ис |
|
кать в виде w = |
то для него будем иметь Lu—/ = е, где |
е — |
остаток или ошибка, поскольку это решение только приближен ное. Мы хотим сделать е малой величиной, насколько это воз можно. При использовании одного из способов сделать е как мож-1
Подставляя (17.9) в (17.5), получаем в качестве исходного урав нения соотношение
*/ |
— f |
|
|
[NM\T JlL |
J L |
+ [ N M\T J L \ d x = 0. (17.10) |
|
d x |
J V d x |
dx |
E l I |
x i |
L (e ) |
|
|
Первое слагаемое в интеграле (17.10) представляет собой мат рицу коэффициентов элемента [&(е)] в уравнении
[£<*>] {У} = {р'}. |
(17.11) |
После суммирования по элементам второе слагаемое в интеграле (17.10) будет соответствовать вектор-столбцу {F}. Член вне ин теграла в (17.10) вносит вклад в вектор-столбец {F} при усло вии, что производная dy/dx (наклон) определена на каждом кон це элемента. Этот член не учитывается, если ничего не известно о наклоне в узловых точках.
Вычислим интегралы в (17.10):
или
(17.12)
Верхний индекс (е) отброшен, так как рассматривается отдель ный элемент. Интегрирование выполняется в пределах от нуля до L, так как функции формы в (17.7) выражены в местной системе координат с центром в i-ы узле. L — длина элемента. Для второ го интеграла имеем
L
MJEI 1
j W I N ) (17.13)
Mj/EI J d x = J t
0
Применение полученных соотношений иллюстрируется на следую щем примере.
можно записать
|
д2<р |
|
|
|
|
|
|
(17.16) |
[NV дх2 |
|
|
|
|
|
|
||
Теперь первое |
слагаемое |
в |
объемном |
|
интеграле преобразуется |
|||
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
f № - 0 - |
d v = \ -Л - П а/г ■ £ ) d |
V |
- |
\ H |
f f L - ^ - d V . |
(17.17, |
||
V |
V |
|
|
|
V |
|
|
|
По теореме Остроградского — Гаусса имеем |
|
|
|
|||||
|
f - J r ( W f ^ |
) |
d V = U |
N |
V |
^ |
l xd S . |
(17.18, |
V |
|
|
s |
|
|
|
|
|
Точно так же можно преобразовать интеграл |
|
|
Объединяя соотношения (17.17) и (17.18) с аналогичными соот ношениями для приведенного выше интеграла и учитывая, что
dV =tdA и dS =td%6,
уравнение (17.15) можно переписать в виде
г ( 1 К + | г ' « ) ‘ й 5 -
m r Q ) dA = 4 . (17.19,
А
Здесь предполагается, что толщина элемента t равна единице.
Поверхностный интеграл в (17.19) может |
быть |
выражен че |
||||||||
рез |
величину |
ду/дп, |
где п — внешняя нормаль к |
поверхности. |
||||||
В результате имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
[ ( д т т i!L |
1 Ш Ш * L \ d A -[{N \T QdA — |
|
|
|
||||||
J V |
дх |
дх |
+ |
ду |
ду I |
J |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—§1М\т^ г № = 0 . |
(17.20) |
||
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
Первый |
интеграл |
в |
(17.20) |
вносит |
вклад в |
матрицу [&(е)], вто |
||||
рой— в |
вектор {/<е)} |
из уравнения |
[•#*>] {ф} = |
{/<с>}. Третий |
интег |
рал участвует в образовании обеих величин [№е)] и {/(с)}. Очевид но, если ду/дп обращается в нуль на границе, то третий интеграл исчезает.
Неизвестная функция <р в уравнении (17.20) определяется со отношением
ф= [# ]{(£ },
так что
£ - [« 1 |Ф | " |
5 - |Л,|1Ф>- |
Подставляя полученные формулы в первый интеграл (17.20), имеем
что соответствует выражению |
|
J [В]т[В]А4{Ф} |
(17.21) |
А |
|
для задач теории поля. |
|
Третий интеграл в уравнении (17.20) |
заслуживает более де |
тального рассмотрения, поскольку образует конвективную матри цу >в задаче о переносе тепла. Предположим, что мы имеем ряд треугольных элементов вдоль вертикальной границы, как показа но на фиг. 17.1 (эта граница выбрана только из соображений простоты), и хотим вычислить интеграл
\N]T - ^ - d ^ |
(17.22) |
25
вдоль этой границы. Поток тепла вдоль границы соответствует теп ловым потерям, вызванным конвективным теплообменом, и пред
ставляется величиной |
|
^ T = h ( <Р5-Фсе), |
(17.23) |
где фs — температура границы тела, а фоо — температура |
окру |
жающей среды. |
|
Температура внутри элемента дается соотношением |
|
Ф= В Д + N p j + NkOk, |
(17.24) |
откуда имеем для точек поверхности |
|