книги / Применение метода конечных элементов

В разд. 13.2 были получены точные значения для рассматриваемо­ го интеграла с помощью соотношения (13.16). Только что вычис­ ленные значения хорошо согласуются с точными значениями при

L= 1 и hP= 1.

В табл. 13.3 приведен порядок квадратуры, необходимый для получения точного результата для одномерных элементов, пред­ ставленных на фиг. 13.5.

13.5.Субпараметрические, изопараметрические

исуперпараметрические элементы

Функции формы, которые связывают координаты х и £ в (13.30), идентичны функциям, описывающим распределение температуры внутри элемента [формула (13.29)]. Когда такое условие выпол­ няется, элемент называют изопараметрическим. Совпадение функ­ ций формы соотношения преобразования координат и интерполя­ ционного полинома далеко не всегда имеет место. В действитель­ ности изопараметрический элемент является скорее исключением, чем правилом.

Для упрощения ввода данных в ЭВМ и повышения эффектив­ ности вычислений следует использовать в соотношениях преобра­ зования координат возможно более простые функции формы. Ес­ ли элемент ограничен прямолинейными сторонами, то для описа­ ния преобразований координат достаточно линейных функций

того, какие функции формы — линейные, квадратичные или кубич­ ные— используются в формулах преобразований координат. Что­ бы показать это, опять коротко рассмотрим пример 128. Так как элемент изображается прямолинейным отрезком, -в качестве фор­ мулы преобразования координат могло бы быть использовано так­ же соотношение

Применяя линейные функции формы, получим

где Xi=42 и Xj = 3/2. Матрица Якоби имеет вид

1Л — ^ - Х | + т | М * — 4 - X .+ - J - X ,

Этот результат идентичен тому, что был получен в иллюстративном примере с использованием квадратичных функций формы. Фор­ мула преобразования координат может быть представлена с по­ мощью четырех узлов кубичного элемента, но матрица Якоби при этом не изменится.

Тот факт, что функция, описывающая преобразование коорди­ нат, не должна совпадать по порядку с интерполяционной функ­ цией, открывает новые чрезвычайно благоприятные перспективы. Можно описывать геометрию элемента независимо от аппроксима­ ции неизвестной величины. Это позволяет сочетать как интерпо­ ляционные полиномы высокого порядка с элементами простой гео­ метрии, так и элементы сложной формы с простыми интерполя­ ционными полиномами. В следующих двух главах будет рассмот­ рено применение элементов такого типа.

Два независимых множества узлов теперь могут быть заданы в некоторой области. Одно множество узлов определяет преобра­ зование координат (форму элемента), а второе — интерполяци­ онный полином. Что касается соотношения между числами узлов в этих двух множествах, то тут имеются три следующих варианта:

1. Число узлов, используемых для определения формы элемен­ та, меньше числа узлов, используемых при определении интерпо­ ляционной функции температуры, и т. д.

2.Число узлов, определяющих форму элемента, равно числу узлов, определяющих интерполяционную функцию.

3.Число узлов, используемых для задания формы элемента,

больше числа узлов, используемых для определения интерполяци­ онной функции.

В соответствии с этими тремя вариантами элементы называют субпараметрическими, изопараметрическими и суперпараметриче­ скими. Субпараметрические элементы преобладают там, где ис­ пользуются комплекс-элементы, потому что они применяются, ког­ да нет необходимости в иска­

формы элемента, от узлов, которые определяют интерполяционный полином.

Таким образом, приходится отказаться от обозначения узлов элемента буквенными индексами i, /, k, l, г; далее для этой цели будут использоваться числовые значения. Интерполяционная функ-

Включение элемента высокого порядка в область иллюстрирует­ ся на фиг. 13.9. Приведенная таблица устанавливает соответствие степеней свободы элемента в локальной системе координат с гло­ бальными степенями свободы. Соответственно меняется и нижний индекс величин. Интерполяционные функции для задачи о стерж­ не, изображенном на фиг. 13.9, запишутся теперь в виде

Нижние индексы функций формы не изменяются потому, что они не содержат никаких величин, связанных с глобальной системой координат.

Фиг. 13.10. Локальные и глобальные номера узлов, используемые в соотношениях преобразований координат.

Общее соотношение для отдельного элемента, определяющее преобразование координат, имеет вид

где R$ — выбранные функции формы. Символ R будет использо­ ваться для обозначения функций формы в соотношениях преобра­ зования координат с тем, чтобы избежать путаницы с функциями формы, которые применяются в интерполяционных уравнениях.

Система уравнений, аналогичная (13.44), может быть записана и для преобразований координат, если только определены глобаль­ ные координаты узлов элементов. Координаты узлов для стержня, изображенного на фиг. 13.9, приведены на фиг. 13.10 вместе с со­ отношениями включения элементов. Окончательные формулы пре­ образований координат имеют вид

Обсуждаемые в этом разделе положения являются исходными для понимания комплекс-элементов, рассматриваемых в следую­ щих двух главах. Главное помнить, что всегда существуют два множества глобальных узлов. Одно определяет глобальные степе­ ни свободы, связанные с интерполяционной функцией, а другое — форму элементов. Только в случае изопараметрического элемента оба эти множества совпадают.

Задачи

129.Получите выражение для функции формы кубичного эле­ мента и проверьте соотношение для Njt данное на фиг. 13.3.

130.Определите функции формы для квадратичного элемента, когда узел / расположен от узла i на расстоянии, равном Ы 3. Удовлетворяют ли эти функции формы критериям сходимости?

131.Решите задачу о переносе тепла в стержне (пример 127), используя один кубичный элемент. Сравните найденные значения

температуры с аналитическим решением (приведенным в приме­ ре 127) и оцените точность такой одноэлементной модели.

132.Проверьте функции формы квадратичного элемента, дан­ ные на фиг. 13.5.

133.Вычислите dNi/dx при х = 80 см для квадратичного эле­

мента, который имеет узловые координаты Х*= 0,25 см, ^/ = 0,75 см и Х*=1,25 см. Вычислите dNi/dx с помощью естественной системы координат и сравните результат со значением, полученным с по­ мощью функции формы, данной на фиг. 13.3.

134. Вычислите dNj/dx в точке х=0,3 см для квадратичного элемента с узловыми координатами Xi = 0 см, Х}=0,25 см и

Xk=0>5 см с помощью естественной системы координат и сравните результат со значением, которое получается при использовании функций формы, данных на фиг. 13.3.

номерного элемента, учитывая линейное изменение коэффициен­ та теплообмена h от нуля в узле i до Л0 в узле k. Периметр Р счи­ тать постоянным по длине.

137. Вычислите [&<*>] в случае, когда для определения темпе­ ратуры используется линейный интерполяционный полином, а для задания площади поперечного сечения применяется квадратичная интерполяция.

139.Проинтегрируйте численно функцию /(g) = 2g2 + g4 на от­ резке от — 1 до 1. Сравните результат со значением, полученным аналитически.

140.Измените программу TDHEAT так, чтобы она использо­ вала квадратичный элемент для решения одномерных задач о стержне.

141.Напишите подпрограмму, которая вычисляет dN$/dx в заданной точке (координата точки вводится) для линейного, квад­ ратичного или кубичного элементов. Функции формы должны быть

выражены в естественной системе координат.

ТРЕУГОЛЬНЫЙ И ТЕТРАЭДРАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Треугольные и тетраэдральные элементы нам уже знакомы. Простейшие из этих элементов широко использовались в первой половине книги. Теперь опять рассмотрим эти элементы в свете той информации, которая дана в гл. 13, и особое внимание уделим квадратичным и кубичным интерполяционным полиномам.

Естественные системы координат для треугольного и тетраэд­ рального элементов определены в гл. 3 и использовались в главах прикладного характера. Каждая координатная компонента для треугольного элемента представляет собой отношение расстояния от выбранной точки до одной из сторон треугольника к высоте, опущенной на ту же сторону. Координаты треугольника обознача­ лись через Lx Ь2 и L3Эти три величины не являются независи­

мыми, они связаны между собой соотношением

Lx-^r L3— \ . (14.1)

Интегральные формулы, использующие эти координаты, были вве­ дены в гл. 3 и нашли широкое применение в главах прикладного характера.

Каждому типу треугольных элементов соответствует интерпо­ ляционный полином определенного порядка. Квадратичный тре­

Интерполяционный полином для кубичного элемента представ­ ляется суммой членов, содержащихся в формуле (14.2), и всех ку­ бичных членов:

Кубичные треугольники (фиг. 14.1, в) отличаются от всех ранее рассмотренных элементов тем, что имеют внутренний узел. Все элементы более высокого порядка, чем квадратичные, имеют внут­ ренние узлы, т. е. узлы, расположенные внутри элемента.

Величины at в формулах (14.2) и (14.3) могут быть определены методами, изложенными в гл. 3. Алгебраические операции при

этом, однако, становятся более сложными, так как число узлов возрастает. Более предпочтительным оказывается непосредствен­ ное получение функций формы. Использование естественной систе­ мы координат значительно упрощает эту операцию в случае тре-

Фиг. 14.1. Линейный (а), квадратичный (б), кубичный (в) треугольные элементы.

угольного элемента. Мы начнем обсуждение треугольных элемен­ тов высокого порядка с рассмотрения непосредственного получения функций формы.

14.1. Функции формы для элементов высокого порядка

Определение функций формы для треугольных элементов высо­ кого порядка упрощается тем, что имеется возможность проводить линии, перпендикулярные L-координатам, каждая из которых пе­ ресекает ряд узлов (фиг. 14.2). Эта особенность сохраняется не­ зависимо от числа узлов, которые содержит треугольник.

Общая формула для вычисления функции формы имеет вид

где п — порядок треугольника, a F p — функции от L\, Lz и Ь з. По­ рядок треугольника п определяется как величина, на единицу меньшая числа узлов на стороне треугольника. Квадратичный треугольник имеет три узла на стороне и поэтому является эле­ ментом второго порядка.