книги / Применение метода конечных элементов

Переход к переменным интегрирования g и г) упрощает пределы интегрирования, что позволяет избежать трудностей, возникающих при рассмотрении элементов с криволинейными границами.

Объемные интегралы в (15.24) записываются в общем виде следующим образом:

- i - i

Этот интеграл может быть определен численно: сначала вычис­ ляется внутренний интеграл, в котором | считается постоянной, а затем вычисляется внешний интеграл. Вычисление внутреннего интеграла дает

матриц элемента в случае линейного четырехугольника необхо­ димы четыре точки интегрирования, для кубичного четырехуголь­ ника требуется уже 16 точек интегрирования. Эти точки интегри­ рования располагаются по элементу симметрично в соответствии

ijp,шбо |

Фиг. 15.9. Точки интегрирования, соответствующие чис­ ленному интегрированию выражения [N]T [N] по квад­ ратичному элементу.

со значениями координат, представленными в табл. 13.2. Распо­ ложение точек для квадратичного четырехугольника показано на фиг. 15.9.

Применение формул (15.28) требует большого объема вычис­ лений и не иллюстрируется здесь. Процедура расчетов по форму­ ле (15.28) совпадает с той, которая проиллюстрирована в гл. 13. Различие заключается только в большем числе точек интегриро­ вания.

Для составления матриц элемента в (15.22) необходимо опре­ делить два поверхностных интеграла:

Вычисление этих интегралов является относительно простой опе­ рацией, если элемент ограничен прямолинейными сторонами, но становится более сложным в случае криволинейных сторон.

Если стороны элемента прямолинейные, проще всего интегра­ лы в (15.29) вычисляются аналитически. После вычисления ко­ эффициентов матриц они могут быть сохранены в машинной па­ мяти для дальнейшего использования. Рассмотрим линейный че­ тырехугольный элемент, на второй стороне которого (узлы 2 и 3) наблюдается конвективный теплообмен. Вычисление интегралов начнем с вычисления функций формы при £=1, что соответствует рассматриваемой стороне. Вспоминая функции формы (15.4), имеем

20—763

От нуля отличны только те члены, которые связаны с рассмат­ риваемыми узлами.

Далее необходимо связать дифференциал длины dS с диффе­ ренциалом переменной интегрирования dr\. Преимущество интег­ рирования по 4 заключается в том, что при этом просто записы­

ваются пределы интегрирования. Дифференциалы dS и dr\ свя­ заны соотношением

Таким образом, имеет место равенство | det [/] | = 35/2, и диффе­ ренциалы связаны соотношением

35 V..

15.5. Прямоугольные призмы

Рассмотрим трехмерные элементы, которые принадлежат тому же семейству, что и четырехугольник. Семейство трехмерных призм в координатах £, rj, £ изображено на фиг, 15.10. Функции

8 узлов

4

20 узлов

32узла

Фиг. 15.10. Элементы в виде призм для трехмерных моделей.

формы для этих элементов приведены только в общем виде из-за большого числа узловых точек. Используя обозначения

£o = £?i=

так как ^ = — 1, п о = —ц, £о= —£• Используя эти выражения, по­ лучаем для Ni следующее соотношение:

* i = 4 - ( l - |) ( 1 - л ) ( 1 - 0 -

Квадратичный элемент (20 узлов)

U f > = - z - ( l - l2)(l + r]o)(l+Q-

Соответствующие выражения для узлов на других ребрах полу­ чаются перестановкой координат.

Кубичный элемент (32 узла)

Для угловых узлов

Приведенные выше выражения сводятся к их двумерному аналогу при £ = ± 1 . Так как при g = ± l или rj = ± l двумерные функции формы сводятся к одномерным функциям формы, рассмотренные трехмерные элементы могут быть объединены в один класс с соот­ ветствующими плоскими или одномерными элементами.

В случае трехмерных элементов сохранение непрерывности при переходе от одного элемента к другому означает непрерывность по поверхности, общей для двух соседних элементов. Таким обра­ зом, функции формы должны быть такими, чтобы неизвестные ве­ личины однозначно определялись их узловыми значениями в точ­ ках поверхности, общей для двух элементов. Приведенные выше функции формы обладают этим свойством.

Процедура составления матриц элемента почти идентична той, которую мы обсудили при рассмотрении четырехугольного элемен­ та. Матрица Якоби теперь имеет размеры 3X3, число точек ин­

элементов. При этом предполагается симметрия в аппроксимирую­ щем полиноме (порядок полинома по каждой из координат один и тот же). Общая форма интегралов записывается .как

Очевидно, что определение матриц элемента в данном случае

такими расчетами, приведенные цифры не должны удерживать от использования квадратичных и кубичных элементов.

Задачи

1___________ ,?__________ i

Кзадаче 162.

163.Определите .порядок интегрирования, необходимый для

численного определения интеграла j [1У]т [М]гЛ/ в случае элемен­ та из задачи 162.

164. Вычислите частные производные dNz/dx и dN2fdy в точке 1 = 7 2 , л= — 1 элемента из задачи 159.

165. Вычислите частные производные д Ы з / д х и d N ^ d y в точке

£= —7 4, т) = 1/2 элемента из задачи 159.

166.Напишите подпрограмму, которая будет вычислять част­

ные производные функций формы по х и у. Зависимость х и у от естественных координат считайте линейной, а для ср используй­ те выражение (15.11). Координаты (£, т]) точки, в которой вычис­ ляются производные, должны вводиться в подпрограмму в качест­ ве исходных данных.

167. Проинтегрируйте численно J [Af]TdS вдоль границы ц = 1

S

квадратичного элемента и сравните результат со значением, полу­ ченным аналитически.

168. Составьте блок-схему программы численного интегрирова-

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Cook R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley, N. Y.f 1974.

Zienkiewicz О. C., The Finite Element Method in Engineering Science, McGrawHill, London, 1971; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных эле­ ментов в технике, изд-во «Мир», М., 1975.